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Ces développements ne sont assez convergents pour être utilisables que si le rapport R : D ou D : R est plus id que 3. C’est dire que pour la Terre la première planète pour laquelle ils puissent servir, est Jupiter. On est donc forcé de calculer les coefficients par une Fit méthode.

2° — MÉTHODE DE CLATRAUT.

Voici une méthode simple et intéressanté due à Clairaut.

Prat e PERTURBATIONS \ AT)

dits

.Posons : (R2+ D°9DR COS} 2 RD" f SDK

me —— cos) .

Il s'agit de développer en série une expression de la forme :

(a — cos)" — À + B cosô-+ C cos 20 on

Clairaut utilise le procédé que Fourier systématisera plus tard. . Multiplions successivement par d6, cos6.d6, cos 26. d6,... : intégrons entre 0 et 2x. Il vient :

PA

PA ire | B LÉ (a — cos6)" d0—+A, £ (a— cosf)" cosÿ. do T7.

et ainsi de suite, Pour calculer les coefficients A, B.,... de la série, on est donc conduit à des’ quadratures que l'on effectue sans difficulté en calculant un nombre suffisant d'ordonnées. On mesure les aires fragment par fragment en faisant passer par les points un arc de parabole, x | 254. Étude des perturbations. Perturbations compensées. 1° — TI résulte de la faible intensité des forces perturbatrices et de la petitesse de leurs effets instantanés qu'on peut étudier ces effets séparément, ce qui facilite beaucoup la solution du problème. Nous décomposons donc la force perturbatrice en ses Composantes suivant des directions convenables et traitons chacune d'elles séparément. Nous arrivons ainsi à quelques résultats simples, quasi évidents sans calcul. Au point de vue analytique, cela revient à ramener les équations différentielles à la forme linéaire et à représenter les actions perturbatrices par des séries; l'intégration se fait isolément pour chaque terme de la série. Au $ 262 je donne un exemple simple de la méthode.

L'étude des perturbations se complique lorsqu'il s'agit de sommer les effets instantanés et d'obtenir l'effet global au bout d'un temps très long. Mais nous voulons seulement faire comprendre la nature des phénomênes ; nous nous soucions fort peu de bluffer avec des pages d’une algèbre aussi ennuyeuse que facile (elle tient une place énorme sur le papier et se réduit à rien dans le cerveau); dès lors notre tâche est facilitée par les considérations suivantes.

On se rend.compte immédiatement de l'allure des phénomènes périodiques à courtes périodes. La difficulté est de savoir s'il subsiste une perturbation non compensée (l'expression est de J, Herschel) finissant par donner une inégalité à longue période, que nous pouvons appeler séculaire.

#° — Réduisons le système à trois corps : le principal $, l’étudié A et le. perturbateur P, A chaque instant ils constituent une figure SAP de configuration déterminée, En raison de ce que les durées de révolution moyennes sont incommensurables, au bout d'un temps plus ou moins Jong, la configuration prendra tous les aspects possibles. D'où résulte

440 PLANÈTES ET COMÈTES 1e

que les forces perturbatrices pénaRont toutes les valeurs et directions possibles.

Si nous sommes certains que pour chacune des positions de P par rapport à l'orbite de A, la compensation s'effectue pour une révolution, de À, nous sommes assurés que la compensation s'effectue au bout d'un. certain temps pour le système réel : il n'y a pas d'inégalité séculaire.

Il arrive parfois que les moyens mouvements sont presque commen surables. Par exemple on a pour la révolution sidérale de :

Jupiter. . .« A11ans 314,84 jours soit 4 332,59 jours. Saturne , . 29 — 166,98 — 10759,23 — L'année julienne est de 365,25 jours. au re

5 révolutions de Jupiter font 21 663 jours: : 2 révolutions de Saturne font 21 518 jours; la différence est de 145 jours pendant lesquels Jupiter décrit 12°et Saturne 5. Au bout de 21760 jours, partis d'une 8onjonction, les deux astres se retrouvent encore en conjonction et sur leurs orbites dans une position voisine de la première. Sur une telle période certaines inégalités ne se compensent pas : d’où une inégalité séculaire. Plus exactement l'inégalité est à très longue période, puisque les moyens mouvements sont voisins d'être commensürables, mais ne le sont pas exactement. La période compensant ces inégalités est de” 2 648 ans environ; en effet dans la période de 21760 jours le lieu, de la conjonction se déplace de 8°6’, angle contenu 44 fois dans la circonfé= de.

__ Les relations de commensurabilité Ain au premier chef se la théorie des petites planètes dont l'anneau se trouve entre Mars et Jupiter ($ 207). Cette dernière par sa masse joue un rôle considérable. +.

Le moyen mouvement diurne de Jupiter est voisin de 300”. : Or pour les nombres des petites planètes rangées par ordre croissant } : de leurs moyens mouvements, on trouve deux minimums principaux | pour 600 et 900 secondes. Les lacunes dans l'anneau d’astéroïdes répondent donc aux régions pour lesquelles le moyen mouvement est | double ou triple de celui de Jupiter. On constate des lacunes moins importantes au voisinage de 450,750 et 1050 secondes (commensurabilités, 3, 5, 7 demies). È Assurément il résulte de celte commensurabilité des inégalités à longues périodes; mais les astronomes discutent à savoir siles planètes doivent tendre à quitter les régions commensurables sous l'influence progressive des perturbations, ou si les lacunes sont dues à des causes. cosmogoniques, originales.

De toute manière THtuoice de Jupiter n’est pas niable ; mais on ne sait pas encore bien nettement si la commensurabilité crée la lacune, ou au contraire si la commensurabilité est une raison de stabilité.

AR

PERTURBATIONS Kai

moyenné pour l'orbite. Je signale ces divergences d'opinions pour montrer à quel point ces questions de stabilité ou d'instabilité à longue échéance, comme résultat de perturbations instantanées petites, sont vagues et mal définies,