Stabilité du système solaire

1°— Tel que nous le voyons, le système solaire est composé de planètes de masses si petites rapport à celle du Soleil que leur somme n'en vaut pas la sept-centième partie; les excentricités des orbites sont très faibles ainsi que les obliquités des plans orbitaux sur l’écliptique.

Ceci posé, de grandes modifications sont-elles possibles?

n52 PLANÈTES ET COMÈTES

Le sens même de cette question'est précisé par la réponse qui affirme la stabilité du système solaire.

Soit m les masses relatives des astres férnaut notre système, par rapport à celle du Soleil prise pour unité; soit e les excentricités, a les. grands axes.

Voici d’abord la proposition fondamentale de Lagrange.

En ne tenant compte que des premières et des secondes puissances. des masses, mais en tenant Compte de toutes puissances des excentricités el des inclinaisons, les grands axes des orbites n'éprouveront que * des variations périodiques se compensant au bout d’un temps relativement court. Les grands axes des orbites sont donc invariables en moyenne.

En regardant les excentricités et les inclinaisons comme des quantités petites dont il est légitime de négliger les carrés et les produits, les orbites resteront presque circulaires et peu inclinées les unes sur les autres.

Plus précisément voici l'énoncé des théorèmes de Lagrange.

Le produit m V a e?, est constant.

Comme actuellement sa valeur est petite (vu la petitesse des excentricités actuelles), celles-ci ne peuvent croître indéfiniment,

Le produit Ÿm ÿ a tg°i, est constant.

Comme actuellement les inclinaisons sont toutes petites, aucune d'elles ne peut croître jusqu’à des valeurs notables.

Lagrange fait observer que si les excentricités des orbites et les tangentes des inclinaisons qui appartiennent à des masses très grandes, sont petites à un instant donné, elles le seront toujours. Mais celles qui appartiennent à des masses très petites, peuvent croître d'une manière considérable, les sommes restant constantes, puisque la compensation peut s’effectuer par une variation très petite des excentricités ou des inclinaisons des planètes dont les masses sont grandes.

En définitive pour savoir ce qu'il en est, on est forcé de recourir aux équations différentielles qui contiennent les perturbations : ce qui ne laisse pas de diminuer beaucoup l'intérêt de ces propositions en apparence générales, mais ce qui éclaire leur nature et en supprime Île . mystère. En particulier elles ne s'appliquent pas aux petites planètes.

2° — Le lecteur comprend maintenant la nature de stabilité des orbites des grosses planètes. Des variations séculaires existent pour certains éléments. Par exemple, l'écliptique se déplace par rapport aux étoiles. Bien que l'expérience ne puisse montrer la périodicité du phénomène, nous sommes assurés : d’abord qu'il s’agit affectivement d’un phénomène périodique, ensuite que son amplitude est petite.

Le grand axe est de tous les éléments des orbites planétaires celui dont les variations séculaires sont les plus importantes, non seulement parce qu'il influe d'une manière évidente sur la forme de l'orbite, mais encore parce qu'il détermine la période ou, ce qui revient au même, le moyen

Die:

mouvement, La moindre altération du grand axe agit d'une manière exagérée sur la durée de la révolution, comme il résulte de la troisième loi de Képler. On voit tout l'intérêt que présente la proposition que les grands axes ne sont soumis à aucune inégalité séculaire, les inégalités périodiques se compensant après un temps plus ou moins long. Cela revient à démontrer que les durées de révolution-sont constantes en moyenne, où qu'il est légitime de chercher une valeur moyenne de la durée de révolution.

Appliquons à la Terre : on trouvera la même durée moyenne de l'année sidérale en prenant la moyenne de mille révolutions ou d'un million.

3° — Donnons une idée de la manière dont on démontre ces théorèmes fameux. Admettons la première Proposition; tirons en les deux autres.

Pour simplifier l'écriture, appliquons le théorème des aires ($ 172) aux seuls mouvements des astres autour du Soleil supposé fixe; la généralisation ne présente aucune difficulté. En vertu des équations du $ 163, l'aire décrite dans le temps dt est proportionneile à Cd/:

C lui-même est proportionnel à ÿ a(l —e),

Multüplions par la masse correspondante; projetons sur l'écliptique:

écrivons que les aires se conservent, Il vient la relation :

Zn ali — €”) cosi— Constante,