Calcul des perturbations

1° — Me plaçant au point de vue qui vient d'être précisé, je vais donner au lecteur une idée de la manière dont on a calculé les inégalités. C’est le principe même des méthodes de Clairaut, d’Alembert,.… que je vais indiquer.

Posons que tout. se passe dans un plan.

Les équations de la Dynamique sont :

C 46 el DORE NE D Tr e0s0; y —=rsin0.

{1 n’y a aucune difficulté à les transformer en coordonnées polaires (voir Mécanique Rationnelle).

Admettons l'existence d’un potentiel V(r, 6). On trouve :

dr dONXCE SV dE S déAsrav —r( gr) RATE IT = (1)

Or dV : dr est la force dirigée suivant le rayon vecteur, dV : rdô est la force normalement au rayon vecteur. Posons donc :

dé Ne Pre M CRÉATEURS (9) Mere Pa TT (r T)=r

M est la masse du corps principal; ® et II sont des fonctions des coordonnées r et 6. Intégrons ces équations (1).

29 __ Dans le cas où la force normale au rayon vecteur est nulle, nous avons ($ 163) :

r°d0 — Cdt.

Nous avons maintenant : |

rd0—CVT+ 2 dt, (3) en posant : fu td 0 Cp. (4)

En effet comparant (2) et (3), différentiant (4), on trouve :

d STE TO A HAE TA #5" d0 ANNEE Ur IC rat D'où : G die” c dp dé <= [Lr

VI+2o dt V1+2: d6 dt.

Substituant de : dé et dô : dt leurs valeurs, on retombe sur une iden-

tité.

3° — Transformons la première équation (1).

p eus dr "dr:d0 “ie dé — do dt:

Utilisons l'équation (3) pour éliminer le temps. Des calculs faciles donnent :

(rer r uen ss 20 (de) Posons : A+Q)(1+90)=1+ 2 ….. (5) } Ps /

Tous calculs faits, il reste :

Le 00 (6)

Les deux derniers termes du second nombre de l'équation (5) contiennent la masse principale au dénominateur: or la somme des masses de toutes Îes planètes n'est pas la sept centième de celle du Soleil. Comme © et II contiennent ces masses en facteurs, le second membre de (5) est presque égal à l'unité; : et Q sont donc très petits : on les développe en séries rapidement convergentes.

Posons : Q— a cosn0. (7) L'intégrale de l'équation (6) est, en remplaçant s par sa valeur :

19 Sin — h cos0 — 7 cosn0.

C'est l'équation de l'orbite elliptique {roublée ($ 250). Les trois premiers termes du second nombre sont celles d'une ellipse dont @ : M est le paramètre ou l'ordonnée du foyer ($ 160) : aie).

Le dernier terme exprime le changement dû à la force perturbatrice. On: peut remplacer Q par une série; l'intégration se fait terme à terme, l'équation différentielle étant linéaire.

4° — Pour simplifier l'écriture, posons M—1, C—1. La quantité b étant petite, nous avons :

di=ai:r"(E&— 0).

Puisque nous prenons le paramètre de l'ellipse égal à 1, l'ellipse troublée se met sous la forme : ;

TI ecospo +2,

d'où : r?— 1 + 2e cos p0 — 27 — 6eZ cos p0, dt: d’—1+%ecosp0 — 27 —6eZ COS pÜ — p — Dee COS PO,

La correction est donc :

di= —(22 + 6p)d0 —2e(3Z ++) cosp0. d6.

5° — Le calcul des perturbations se trouve donc ramené à la recherche du développement en série de la fonction Q; ce qui est long, mais ne présente aucune difficulté particulière si l'on connait les orbites des corps perturbateurs. |

Nous rencontrons ici notre éternel cercle vicieux apparent : comment introduire ces orbites puisque précisément il s'agit de les calculer?

. La réponse est toujours la même : dans le calcul des perturbations il suffit d'introduire des orbites approchées. à

Le développement en série de la fonction perturbatrice est le principal souci des géomètres astronomes. Il s'agit d'obtenir les séries les plus convergentes de manière à diminuer le nombre des termes à à calculer.

Nous avons défini trois espèces d’angles servant à fixer les positions d'une planète ($ 84) : l'anomalie vraie, l'anomalie moyenne (qui est le temps à un facteur constant près), l’'anomalie excentrique. On a essayé des développements suivant les cosinus et sinus des multiples de l'un ou l’autre de ces angles.

Il semble d'abord plus naturel d'utiliser des développements où le temps intervienne comme argument explicite des lignes trigonométriques; mais ils convergent lentement. Assurément quand on développe en fonction des anomalies vraies ou des anomalies excentriques des astres en présence, on n’a pas immédiatement le mouvement en fonction du temps : peu importe si les développements qui donnent l'inconnue en fonction de la variable auxiliaire, et la variable auxiliaire en fonction du temps, convergent tous deux rapidement.

Je reviens plus loin ($ 294) sur le problème dit des trois corps.