Problème des trois corps

1° — Soient trois corps de masse 7,, m,, m,, que nous assimilons à des points, c'est-à-dire dont les distances restent constamment très grandes par rapport à leurs dimensions. Ils s'attirent suivant des forces centrales proportionnelles aux produits des masses et en raison inverse du carré de la distance. A l’origine des temps, on donne leurs positions relatives et leurs vitesses en grandeurs et directions, ce qui revient à donner 18 nombres. Le problème dynamique est complètement déterminé puisque nous avons en tout 9 équations différentielles du second ordre, par conséquent 18 constantes arbitraires.

On demande de calculer pour un instant quelconque l’état du système.

Tel est l'énoncé du célèbre problème des trois corps.

Il est facile de poser les équations différentielles ($ 171); il est extra ordinairement difficile d'en tirer la solution numérique, la seule en définitive qui nous intéresse pratiquement. Nous vOuonS en effet calculer les positions de la Lune à tout instant, les prévoir plusieurs siècles. à l'avance (ce qui est de pure curiosité), mais surtout les calculer dans le passé pour contrôler les dates historiques au moyen des éclipses.

À la vérité il noûs suffirait d'avoir une formule empirique, c'est-à-dire. une série le termes en sinus et cosinus ayant pour arguments les. sommes ou les différences des multiples de certaines périodes convena- . blement choisies. Il faudrait seulement que les coefficients de ces.

termes diminuassent assez vite pour rendre le calcul possible.

Mais outre que les savants répugnent à l'emploi de formules empiriques, dont les coefficients ne représentent rien, ne s'expriment pas en fonction des données mécaniques du problème, il n’est pas facile de découvrir par simple tâtonnement la forme de ces termes, surtout quand ils sont nombreux. L’arbitraire du tâtonnement s’exagère à mesure que le nombre des termes augmente; au surplus on n’est jamais sûr de ce qu'on fait; il reste dans l'esprit le doute qu'on pourrait obtenir une bien meilleure réprésentation avec moins de termes.

2° — On s’est d’abord contenté d'une solution bâtarde. -

On a cherché la forme des intégrales développées en séries; d’où l'avantage d'être guidé dans le choix des périodes à faire entrer sous les signes sinus et cosinus. On s’est borné au nombre de termes qu'on a jugé suffisant; puis, de ces formes déterminées par la théorie, on a calculé au mieux les coefficients en s'appuyant sur un nombre suffisant d'observations aussi exactes que possible. La solution est donc théorique quant à sa forme, empirique quant à la valeur des coefficients.

En dehors des quatre grandes inégalités dont nous avons parlé ceidessus, toutes les petites inégalités n’ont été découvertes'que par l'intégration approchée des équations différentielles; les valeurs numériques de leurs coefficients n’ont été d'abord déterminées qu'en.cherchant à représenter au mieux un grand nombre des meilleures observations:

On a procédé de cette manière au long du xvin* siècle.

Pour prendre un exemple, les formules demi-empiriques employées par Mayer ou Lalande pour calculer la longitude lunaire comprennent de 10 à 14 termes à coefficients numériques. Le résultat du calcul diffère de celui des observations de moins d'une minute.

3° —\ A Ja fin du xvm° siècle, on trouva que cette solution manquait de rigueur scientifique. Il est clair que si, à un certain instant pris pour origine, nous nous donnons les masses relatives du Soleil, de la Terre et de la Lune, leurs positions, leurs vitesses en grandeur et direction, le problème est complètement déterminé. A la seule condition qu'il soit permis de négliger les rotations et de considérer les astres comme des points (ce que prouve le raisonnement), nous pouvons nous passer de toutes observations ultérieures.

Le raisonnement est incontestable en théorie; reste à à savoir ce qu'il vaut en pratique. Clairaut, d'Alembert et beaucoup d’autres doutaient qu'on parvint jamais à fixer par la théorie seule les valeurs numériques de toutes les inégalités. Ils reconnaissaient toutefois combien peu satisfaisante était la solution qu’ils possédaient, non seulement parce que la représentation à une minute près n’a rien de remarquable, vu la précision possible des observations, mais encore parce qu'ils n'ignoraient pas les variations arbitraires qu'avaient subies les coefficients numériques des meilleures formules : rien n'assurait contre la nécessité de les rectifier, de les remanier à nouveau.

Laplace, Damoiseau, Plana, Pontécoulant, Delaunay, et plusieurs

autres savants du xixe siècle montrèrent la possibilité de déduire les valeurs numériques des coefficients des seules donnéés strictement suffisantes à la fixation du problème.

4° — Mais on peut se proposer là solution sous deux formes théoriquement très différentes : ou bien on se contente, à partir des données strictement suffisantes, de déterminer numériquement les coefficients des séries résolvant le problème; ou bien on se propose d'obtenir les expressions liflérales des coordonnées de la Lune qui conviennent à tous les temps et n'aient besoin, pour être converties en tables, que de la substitution des valeurs numériques des éléments que la théorie doit nécessairement emprunter à l'observation. 6

Dans le premier cas on fait la théorie de la Lune, dans le second on

fait la fhéorie générale d’un satellite. Vous et moi nous nous contenterions parfaitement de la première solution; convenons qu'un mathématicien ne peut décemment s’en déclarer satisfait : il ajouterait plutôt un satellite pour avoir le problème des quatre Corps.

Dans le premier cas, les calculs sont numériques: dans ie second on travaille sur des formules littérales, ce qui double à peu près le labeur.

Tout le monde conviendra que la théorie où les coefficients sont exprimés littéralement, est plus satisfaisante pour l'esprit, ne serait-ce que dans l'incertitude de la valeur exacte des éléments numériques strictement nécessaires pour construire les tables. Si l'on se borne à calculer les coefficients à partir de certainés valeurs choisies au mieux à l'époque où l'on effectue les calculs, tout le travail est à recommencer si l’on juge que certaines valeurs différentes seraient préférables, puisqu'on n’a pas conservé trace de la manière dont les coefficients se déduisent des données fondamentales ou se déduisent les uns des autres. Au contraire le calcul nouveau des coefficients est facile quand on connaît leurs expressions littérales.

En définitive faire une théorie de la Lune, c'est aujourd’hui chercher intégrale des équations du $ 171 sous forme de séries en sinus et cosinus. Les arguments de ces lignes sont les sommes ou les différences des multiples de certains arguments élémentaires (en petit nombre). Les coefficients des divers termes sont exprimés littéralement en foncton des éléments strictement nécessaires pour que le problème soit dynamiquement défini.

5° — Le lecteur se tromperait étrangement sil croyait qu'une telle théorie est unique. Elle serait unique si tous les auteurs s'étaient astreints à employer les mêmes coordonnées. Mais outre que chacun, toujours pour les meilleures raisons du monde, les à choisies autrement que les autres, rien ne force à poser que les arguments des sinus et des cosinus y varient proportionnellement au temps. On peut trouver plus avantageux de développer les perturbations suivant des formules où les arguments des sinus et des cosinus sont, par exemple, les anomalies vraies ou les anomalies excentriques des astres perturbateurs. Ces

504 LA LUNE quantités ne varient pas proportionnellement au temps. Peu importe, si lon possède des développements assez rapidement convergents qui permettent de calculer les variables auxiliaires. Le calcul se fait alors en deux temps : on calcule d’abord les variables: on les substitue dans les formules donnant la grandeur cherchée.

De là résulte la possibilité de théories ayant des formes très différentes. ; |