Position de la question. ss
1° — Dans le chapitre précédent nous avons expliqué quelles difficultés présente l'établissement des Tables de la Lune, c'est-à-dire des tables permettant de calculer, à une époque quelconque passée ou future, la longitude et la latitude géocentriques du centre du disque lunaire supposé complet. Nous avons considéré la Lune comme un point. Or nous savons tous qué la Lune possède un diamètre
entier; cherchons les causes de ces variations.
Le disque lunaire ne présente pas un aspect uniforme : l'étude
nographie) mérite de nous arrêter quelques instants. Les variations de la partie vue (/ibrations) fournissent des indications sur la rotation de la Lune autour d’un ‘axe passant par son centre de gravité.
2° — Cherchons d'abord la forme générale de la trajectoire lunaire
* par rapport à des axes de directions invariables passant par le centre
du Soleil.
Pour simplifier admettons que la Lune reste toujours dans l’écliptique. | Le rayon de la courbe quasi circulaire que décrit la Lune autour de
la Terre, est 388 fois plus petit que la distance de la Terre au Soleil.
520 à LA LUNE
Conséquemment bien que la Lune fasse environ 13 tours autour de la’ Terre pendant que la Terre fait un tour autour du Soleil, sa vitesse linéaire propre est petite par rapport à la vitesse d'entrainement : elle est en moyenne 29 fois plus petite.
3 — Partant de là, représentons le mouvement de la Lune. Comme première approximation, nous devons combiner deux mouvements circulaires de même sens.
- Les équations d’un tel mouvement sont :
x —R cosmt +-rcosnt, O — mi, y=Rsinmt+rsinné, nt.
D'où pour le rayon vecteur b et la vitesse linéaire v :
= R+ 7? + 92Rrcos(n — m)t, = MR? + n°7? + 2mn Rr cos(n — mé.
Le rayon vecteur oscille entre un minimum R—7 et un maximum
Fig. 233. 4
R-+7r : la Lune décrit donc une courbe sinueuse de part et d'autre de la trajectoire quasi circulaire du centre de la Terre; elle se rapproche et s'éloigne alternativement du Soleil.
La vitesse linéaire oscille entre un maximum »mR-+nr, et un minimum »mR— nr; comme nr est beaucoup plus petit que mR, elle ne s’anaule jamais. Il est facile de vérifier que l'angle
ET arc tg(y : æ),
varie toujours dans le même sens. | La figure 233 représente schématiquement la courbe décrite. En L, la Lune est en opposition, en L, elle est en conjonction. En L, et L,, la Lune est en quadrature.
De L, à L, s'écoule un mois synodique.
.. En L, Ja Lune est dans son premier quartier; elle est pleine en La Le he quartier arrive en L,; la Lune est nouvelle en L,, A l'échelle de la figure, l'écart entré la courbe sinueuse et la trajectoire du centre de la Terre est très exagéré. La courbe tourne tou- © jours sa concavité vers le Soleil (au contraire de ce que représente la
\ ASE : ; \ PHASES . : 521 figure 233). Pour le montrer, on calculera son: rayon de courbure. Dans l'expression simple obtenue, on substituera les valeurs numériques
n:m—13. R:7— 388. On vérifiera que le rayon de courbure ue peut devenir infini. |
303. Résolution in absStracto du problème des phases. 1° — Les phénomènes rentrent dans l'énoncé suivant. Une sphère de centre L, opaque et de surface diffusante (Lune), se
Fig. 234.
trouve devant un point lumineux très éloigné S (Soleil) qui en éclaire sensiblement un hémisphère. Elle est regardée par un observateur T (Terre) beaucoup plus rapproché que S, mais qui cependant la voit sous un diamètre apparent petit. fe
On demande ce que l'observateur T voit de la sphère L (fig. 234).
En raison de l'éloignement du point S, les droites LS, TS, sont sen- Siblement parallèles. Appelons < l'angle marqué (distance angulaire des centres du Soleil et de la Lune vus de la Terre.
La lumière et l'ombre sur la sphère L sont limités par un grand cercle ALD qui se projette suivant une ellipse sur le plan BCL normal à TL. La partie éclairée vue par l'observateur T est limitée par le grand cercle de contour apparent, et par une moitié de cette ellipse (moitié comprise entre les extrémités du grand axe).
529 + LUNE Soit R le diamètre apparent de la sphère L : les axes de l’ellipse es R, R cose.
La largeur BC de la partie lumineuse est : P—R(1 — cos e).
Dans le haut de la-figure 228’on ne voit de la sphère qu'un croissant. 2° — Exprimons la distance angulaire des astres en fonction des
RTE A et L du Soleil et de la Lune, et de la latitude / de la Lune. \ On a (fig. 235) :
cose — cos(L — À). cos].
D'où pour la largeur de la partie éclairée visible :
P=RfI—cos(E— A). cosl)]. 3
La latitude / dela Lune reste toujours inférieure à 50 dont le cosinus est 0,996. Avec une grande approximation, on a donc simplement :
P=R[1— cos(L — )A].
Pour la conjonction (L— A), P est nul; la Lune est nouvelle. : Pour les quadratures, l'ellipse est évanouissante; la pe vue estun demi-cercle. + Pour l'opposition (L— A+ 180°), l'ellipse se confond avec le cercle de contour apparent : la Lune est pleine. A 1 Dans toutes les positions, la droite AA qui joint les cornes, est un Hs diamètre du cercle de contour apparent (fig. 234). ;
PHASES » 523 Ce diamètre est normal au tableau de Îa figure 234, plan déterminé par les centres des trois astres T, L, S. 3° — A la vérité la Lune n'est pas dans l'écliptique. Conséquemment -pour la conjonction définie par la condition : L— A, la largeur de la partie lumineuse n’est pas nulle; on a : \
P—R(1— cos).
La plus grande valeur que / puisse prendre, correspond à la position A de la Lune, à 90° de la ligne des nœuds du plan de son orbite; le Soleil est alors dans la direction TB (fig. 235). On a :
Lors de la conjonction et de la position favorable, on verrait donc un mince croissant de Lune; la droite reliant les cornes serait parallèle à l'écliptique. De même lors de l'opposition, la Lune ne serait pas ronde; il en manquerait un mince croissant. Képler affirme effectivement que la Lune est visible méme en conjonction, lorsque sa latitude est alors voisine du maximum, c'est-à-dire égale à l'inclinaison du plan de V'orbite lunaire sur l'écliptique. En SE admettant la réalité de l'observation REA -de Képler, toujours est-il que des con- Ÿ Verticale ditions atmosphériques spéciales sont nécessaires.
