Eléments de Bessel

Nous sommes ramenés aû problème suivant. D’après le $ 333, nous connaissons sur le plan +0y (fig. 254), les trajectoires rectilignes des points où l'éclipse est totale, de 11 doigts, de 10 doigts... etc.

Il s’agit de déterminer quels sont les lieux de la Terre tournant autour de son axe qui voient successivement l'éclipse sous ses différents aspects; géométriquement parlant, qui coïncident pour un certain instant avec les lieux précédemment déterminés.

Représentons la sphère terrestre; je crois inutile au delà de toute | expression d'introduire l’ellipsoïde terrestre, vu la précision très limitée

ÉCLIPSES Re 581

des mesures d'éclipse et la parfaite inutilité pratique actuelle des résultats. À à L’axe Oz est dirigé vers le Soleil; Oy est choisi de manière que le

plan z0y contienne l'axe de la Terre du côté nord: énfin Ox est dirigé

de manière que de Oz à Ox on aille dans le sens direct.

‘Fig. 264.

Le point À de la surface mobile est défini par sa latitude / et par sa

longitude L.

A est l'angle horaire du Soleil par rapport au méridien de Paris P;

l'angle que fait à chaque instant le cercle horaire du lieu A avec le plan

yOz (qui par hypothèse contient le Soleil), est A — L. Vu le sens de la rotation de la Terre, A croît en fonction du temps. Les longitudes L sont comptées positivement vers l'ouest comme les angles horaires.

Le point À de la sphère mobile étant donné, calculons ses coor-

données cartésiennes. R sera le rayon conventionnel de la sphère ter-

restre, par suite le rayon du cercle de projection. Les formules de la trigonométrie sphérique donnent immédiatement

cos x, cosB, cos y. D'où :

x—R cos/.sin(A— L), y=Rsinl.cosD—R cos/.sinD .cos(# —L). a z—Rsinl.sinD+R cos/. cosD . cos(Æ— L)- 4)

Lot

. D'autre part sur le plan xOy nous avons pour l'antisoleil des trajectoires de la forme (S 333 et 337). .

LE Er n— Mn + dk; MENT

Le calcul des éclipses revient donc à chercher pour quel temps { le point æ, y, coïncide avec le point 6, n; C'est-à-dire à résoudre le SyStème : |

at R cosl.sin(m—L+ nt) :

fn + bE=Rsin/, cosD —Rcos/. sinD. cos (m — L+ np), (2)

m est une constante qui dépend de l’origine choisie pour les temps.

Pour m—0, l'origine des temps est le temps vrai de Paris.

D'après les formules nous avons en effet x — 0 pour L=Æ—0, ce qui correspond au passage du Soleil dans le méridien de Paris.

337, Obtention des équations des trajectoires rectilignes.

1° — Au $ 332 les trajectoires rectilignes sont déterminées par rapport à la trace de l’écliptique sur le disque terrestre; ici nous prenons pour axe Ox la trace de l'équateur. Cherchons quel angle font ces traces,

Soit 1 l'inclinaison de l'équateur sur l'écliptique.

L'écliptique passe par Oz, sa normale est donc dans le plan æOy; elle doit faire l'angle : avec l'axe du monde.

Dans le triangle rectangle IIMN, nous avons :

cost — cosD. cosy.

Aux équinoxes D —0, la trace de l'écliptique fait l'angle i avec Ox. Elle est dirigée suivant OE, à l’équinoxe dé printemps, suivant OE, à l’équinoxe d'automne.

La trace est comprise entre E et E, du solstice d'hiver au solstice d'été, entre Eet E, du solstice d'été au solstice d'hiver suivant,

L’angle L est nul aux solstices, |

2° — Nous pouvons aussi bien tracer les trajectoires en nous servant des ascensions droites et des déclinaisons.

Nous porterons alors suivant Oy la déclinaison relative de la Lune par rapport au Soleil, suivant Ox le produit de l'ascension droite relaive par cosD. En effet l'ascension droité est un angle dièdre formé par un plan qui tourne autour de ON.

CON d'A GC D A Ce, nt PRE Te SPP LCR VO LUN end ER CRE

À la distance angulaire 90 — D, une variation AR d'ascension droite

équivaut à un déplacement cos D.AZR.

3 — Il est intéressant de retrouver les mêmes résultats en parlant

des formules générales de transformation des coordonnées écliptiques en Coordonnées équatoriales,

ÉCLIPSES « | 583 ! Les formules ordinaires de transformation des coordonnées rectargulaires donnent : | xæ—cost.dL—siny.dl, y—sint.dL+cosy.dl. (1) |

avec la condition : cosi— cos D. cos.

La seconde formule (1) devient :

cost COS?t T1 cosD : ge 40 cos D ns (2)

Céci posé, partons de la première formule de transformation du $ 18. sin D —sin/.cosi+cos/.sint.sinL.

Différentions et posons {= 0. Il reste :

cosD . dD —cosi. dl +sini. cosL.dL. (3)

Or nous avons la relation générale sin D —sin£. sin L. Substituons à cos L sa valeur :

à PC DES VI per siwD

“sin?i ;

il vient :

sinicosL Ysini—simwD cos D = cost Ur es Ru OCT Sen cos D it cos D LA “co D

À partir de (3) nous retrouvons donc la formule (1) en posant : y = dD,

De même à partir de la deuxième formule du $ 18, on trouve :

cosD. ar = LS db Voie J'ANERReNe cos cos" D Il faut donc poser x — cos D. dAÆ pour retomber sur la première formule (1).