Méthode de Cassini

1° — Cassini et après lui La Caille ont développé une méthode graphique qui est entièrement contenue dans les formules es . La projection d'un parallèle terrestre est une ellipse; comme le mobile réel se promène sur le parallèle d’un mouvement uniforme, le mobile projeté se déplace sur l’ellipse suivant la loi des aires, pour le vecteur issu du centre de l’ellipse.

Éliminons AI — L entre les deux premières formules du $ 336; il vient :

(y —Rsin/. cosD} = cos

Gus sin? D ï (3)

- L'ellipse projection du parallèle (trajectoire d’un point terrestre en projection) a pour demi-axes :

suivant Ox R cos /; suivant Oy R cos/. sin D.

Son centre est au point æ—0, y —R cos D, où le pôle nord terrestre se projette sur xOy. È

Les extrémités du pelit axe ont pour coordonnées y =Rsin({+D).

Nous pouvons marquer sur l’ellipse les positions qu'un lieu déter- -

© Fig. 265.

miné y occupe d'heure en heure: connaissant la longitude relative d’un autre point, le même problème se trouve ipso facto résolu pour lui.

2° — Cette ellipse est coupée par une des droites © déterminées au $ 333, en deux points R et S; nous calculons aisément les heures pour lesquelles les mobiles fictifs qui décrivent les trajectoires ©, arrivent en ces points. Nous savons donc quels lieux du parallèle sont aux mêmes instants sur les points R et S. En ces lieux l’éclipse est du nombre de doigts qui correspond à ©. (

Au point de vue analytique, le problème revient à poser :

hat, | nm + bt, dans l'équation (3), £, et n, étant choisis pour le nombre n de doigis désiré.

I faut résoudre l'équation quadratique en # :

En + a+ (mn + DER sin{. cosD} : sin°D — R?cos/, (4)

Transportant ces valeurs du temps dans l'une des équations (2) du $ 336, nous avons les longitudes des lieux correspondants.

* ni

« Nous déterminons ainsi point par point les courbes marquées six doigts, neuf doigts... de la figure 266.

3° — DÉTERMINATION DES COURBES TERMINALES. Ê La projection du centre de la Lune se meut sur la trajectoire :

E—%=-+ al, 1 = H + bé,

Considérons ce centre comme entraînant un cercle de rayon À +à (S 333). | L'équation de ce cercle ‘est :

(œ—#— at} +(y —H— bi} —(Aa +5). (5) Il coupe le disque terrestre :

va tu R?, en deux points tels qu'on 6 :

et NP EST Te TAISÉ

La fonction f est parfaitement déterminée par substitution dans (5).

Nous connaissons donc les coordonnées +, y, des points du contour du disque terrestre pour lesquels l'éclipse commence au temps /; les formules (1) nous donnent leurs coordonnées géographiques.

4° = CoURBES DES LIEUX OÙ L'ÉCLIPSE COMMENCE ET. FINIT A UNE HEURE . }

C'est le problème dont nous avons déjà indiqué la solution au $ 335.

Les points de la surface terrestre pour lesquels l’éclipse commence et finit à une heure £, sont projetés sur la circonférence :

(x —° } + (y — nn} = (A +), avec la condition :

E=Z + al, n=H + bi.

Leurs coordonnées géographiques sont donc liées par la relation ;

[R cos/.sin(Æ — L)—??

+ [Rsin/.cosD —Rsin/.sinD. cos(A — L)— 1? — (A +35).

Par hypothèse le temps À est connu; £, 1, A sont donc connus. L'équation fournit une relation entre letl 50 —— DÉTERMINATION DE LA COURBE POUR LAQUELLE LE SOLEIL SE LÈVE