LA MATHÉMATIQUE IDENTIQUE AVEC LA LOGIQUE

Mais , qu'elle appartienne à Burdin ou à M. Comte, cette proposition n*est pas soutenable. De Taveu de toup , la mathématique est une science déductive, c'est-à-dire qui, partant d'axiomes ou faits primitifs donnés d'intuition, chemine de conséquence en conséquence , sans autres limites que les limites successives et provisoires de la science ellemême. Aussi , pour cela, ne citerai «je d'autre autorité que celle de M. Comte : « Cette science initiale (la mathématique ) avait à construire toute la vraie logique déductive. ( Politique positive y 1. 1, p. 544.) » Puisque la mathématique est une science déductive, il faudrait , pour qu'elle devint la logique ou y équivalût, que la logique ne comprit rien déplus que la déduction. Car, si- la logique comprend plus que la déduction , la mathématique , qui ne comprend que cela, n'est pas la logique. Posée en ces termes, la question est résolue de soi. Il sufBt de nommer les catégories, le syllogisme et surtout l'induction. L'identification de la logique et de la mathématique est donc impossible. Ou, si l'on admet que tous les modes logiques se trouvent dans la mathématique, il sera facile de montrer qu'ils se trouvent également dans toute autre science ; ce qui réduira à rien la prérogative demandée pour la mathématique.

Dans son bon temps, M. Comte avait dit que la logique, restée rudimentaire entre les mains des métaphysiciens , devait s'augmenter de toutes les méthodes qui caractérisent les sciences particulières, à savoir l'observation, l'expérimentation, la classification, la comparaison, la filiation. C'est là un de ces aperçus , secondaires sans doute , mais pleins de grandeur et de nouveauté, dont M. Comte a semé son système de philosophie positive. Mais, s'il en est ainsi, que devient l'idée de prendre la mathématique pour la logique ?

La logique s'applique à toutes les sciences ; il n'en est pas une qui ne soit sous sa dépendance ; cela n'a vraiment

pas besoin d'être dit. Au contraire , la mathématique cesse très-Yiie d'être applicable aui sciences supérieures. Là encore, la logique et la mathématique se distinguent profondément. De quelque côté qu'on examine la question , on ne voit, dans cette tentative de les identifier , que l'effort d'un esprit qui, placé dans le mysticisme des illusions subjectives, croit, par sa seule parole, dompter les réalités objectivés. Ce que je viens de dire est relatif aux applications de la logique. Reste à examiner la logique en soi , afin de reconnaître si , là, elle convient en quoi que ce soit avec la mathématique. La logique est la science des formes de la pensée. Dans toute connaissance, il y a deux choses, l'objet et le sujet : l'objet donne la matière du raisonnement; le sujet donne la forme. En un mot, la logique est l'étude des conditions intellectuelles auxquelles la connaissance est soumise; la connaissance ne résultant jamais que de la réalité objective combinée avec Tordre subjectif. La manière mentale de connaître n^est pas plus arbitraire , n'est pas moins déterminée que la manière d'être de l'objet à connaître; toutes deux ont leurs lois. La logique peut sans difficulté fonctionner à vide ; on l'a vu durant tout le règne scolastique du syllogisme ; elle recevait de pures figures et ne rendait que des figures ; mais les conditions mentales de la connaissance n'y étaient pas moins fidèlement observées; il n'y manquait que la réalité objective. A son tour , cette réalité objective n'est pas, à tout moment de l'évolution , dans un état qui lui permette d'entrer sous la fonction et le jeu de la logique; et c'est cette entrée successive sous l'organe logique de plus en plus perfectionné et puissant qui forme le progrès de la science. Mais cela même prouve invinciblement la distinction entre une science quelconjque, qui est particulière, et la logique, qui est générale. La mathématique compte et mesure les choses et leurs mouvements ; et justement, à ce titre, elle n*est pas la logique.

LaisBoas pour an moment toute celte démonatration, et, supposant que noua n'ayons rien examiné, admettons avec H. Comte que la mattiématique soit la logique, puis suivons-en les conséquences ; c'est encore un moj'en de Juger la proposition. Or, les conséquences qui en résultent sent subversives de la philosophie positive. Tranifbrmée en lo> gique, la mathématique devient subjective comme elle, ou, en d'autres termes, une des formes de l'entendement; ses axiomes, qui en constituent le principe et sans lesquels elle n'aurait rien à déduire, au lieu d'être des résultats d'expérience, comme nous le soutenons, prennent le caractère subjectif; ce ne sont plus des vérités expérimentales, ce sont des vérités innées. Ici reparaît la grande querelle entre les métaphysiciens et leurs adversaires, les premiers soutenant que les axiomes mathématiques sont subjectlh, innés et dérivés de l'idéalité métaphysique, les seconds soutenant qu'ils sont objectifs et fournis par une expérience immédiatement confbndue avec l'intuition. On peut voir, dans le chapiire v du livre deuxième de la Logique de M. Mill, une savante et décisive discussion qui démontre rjue ces axiomes, n'échappant pas à la condition imposée à tous les points de départ des sciences, sont des faits, seulement ici tellement simples que le travail mental y est à peine sensible et que l'esprit n'a besoin que de les apercevoir pour les accepter. I! n'est pas besoin de dire que la philosophie positive tout entière est du cAté de M. Mlll ; et M. Comte y était encore quand, & son tour, en IBM, il écrivit ce passage, qui mérite d'être cité ; ■ Le véritable esprit philosophique, dit-il, est beaucoup plus caractérisé par l'induction que par la déduction. Celle-d, d'après son uniformité nécessaire, s'adapte indlfTéremmeol à tout régime intellectuel. Si la science où elle prévaut le plus constitue pourtant le vrai berceau de la poaitivité, c'^t uniquement parce que l'exlréme simplicité des phénomènes mathéma-

tiques permet (l*y établir sans effort des principes solides. Une induction facile et souvent inaperçue^ réduit alors presque tout le travail logique au seul enchaînement des conséquences. Quoique les autres sciences fassent nécessairement un grand usage de la déduction, la complication graduelle des phénomènes y détermine une prépondérance croissante de Tinduction. Celle-ci manifeste mieux le principal caractère de l'esprit positif, la subordination normale du raisonnement à l'observation. On peut même dire que, à mesure que nos théories quelconques s'éloignent davantage de Tétat métaphysique, l'induction y remplace de plus en plus la déduction, qui d'abord y régnait souverainement. La raison moderne est donc caractérisée surtout par la construction de la logique inductive à peine entrevue dans l'antiquité {Politique positive^ 1. 1, p. 517). »

Pourquoi donc cette transformation de la mathématique en logique? < C'est afin, nous dit-il, de rendre la logique inséparable d'une doctrine capable d'en manifester toutes les parties essentielles qui ne peuvent surgir que d'après des exercices décisifs ; et ces exercices ne sauraient offrir la simplicité scientifique qui seule convient aux appréciations logiques, qu'en étant toujours restreints à l'existence pleinement universelle réduite à ses trois éléments nécessaires, nombre, étendue, mouvement (5yn{/^e subjective^ p. 55). » Si la mathématique n'est donnée que comme un thème d'exercices simples où la logique trouve le mieux à jouer, il est évident qu'on aurait pu prendre un autre thème moiqs simple si l'on veut, mais, comme la mathématique, thème à exercice. De sorte que, maintenant, de l'aveu de M. Comte, la logique n'est pas la mathématique, mais quelque chose qui s'exerce le plus simplement et le mieux dans la ma-> thématique.

1. Comme on voit, M. Comte adopte ici, et a?ec toute raison, la thèM de M. MiU.