XIV. — Des séries imaginaires

Soient respectivement

deux séries réelles, et posons

«0= <'o+ "f'oV^— I > "l= ^1+ '«'l V^— I » «2= ('2+ (V., V'— I ,

en sorte qu'on ait généralement

Un = V„ -+- IV„ ij — 1

La suite des expressions imaginaires

(3) «0, «1, «2, ...,' li,n •••

formera ce qu'on appelle une série imaginaire. Soit

(4 ) 5„= Uo-+- Ui ■+■. . .+ a„i = v^-h v^ -Jr...-\- t^rt i-+- (k'o-+- u',4-. . .-f- iv„, ) y/—

l'^« RÉSUMÉS ANALYTIQUES.

hi somirie des n premiers termes de cette série. Selon que, pour des valeurs croissantes de /^ s„ convergera ou non vers une limite fixe s, on dira que la série (3) est convergente et qu'elle a pour somme cette limite, ou bien qu'elle est divergente et n'a pas de somme. Le premier cas aura évidemment lieu si les deux sommes réelles

Co + Cl +...+ (.„,,

convergent elles-mêmes, pour des valeurs croissantes de n, vers des limites fixes, et le second cas, dans la supposition contraire. En d'autres termes, la série (3) sera toujours convergente en même temps que les séries réelles (i) et (2). Si ces dernières, ou l'une d'elles seulement, deviennent divergentes, la série (3) le sera pareillement. Si, dans le cas où la série est convergente, on pose

/«sera ce qu'on appelle le reste de la série prolongée jusqu'au /^'*^'»*'. Dans tous les cas possibles, le terme de la série qui correspond à l'indice Ti, savoir

Itn = '•« + »ï'« V^— ' '

est ce qu'on nomme son terme général. Soit p« le module de ce terme, en sorte qu'on ait

( 6 ) *•„ + (r„ v^— I = p« ( cos 0„ + v^^^ si n B„ ),

p,, désignant une quantité positive et 0,, un arc réel. Les séries (i), (2), (3) deviendront respectivement

(7) pocos5u, piC0s5,, p. cosSo, ...,

(8) posin^o, p, sin5,, p, sinO.,, ...,

r Po(cosôo+v''— ï sin^o,).

/q\ ' pi(cos5,+ v/^Tsin9,),

p.2(cos52+ v^— I sinSî),

et, comme la valeur numérique du sinus ou du cosinus d'un arc réel ne saurait surpasser l'unité, il est clair que, si les modules

(lO) PO, pi» P2» •••

forment une série convergente, les séries (7), (8), par conséquent la série (9), seront elles-mêmes convergentes. On peut donc énoncer ce théorème :

Théorème I . — Pour qu'une série imaginaire soit convergente, il suffit que les modules de ses différents termes forment une série réelle convergente.

On prouvera encore facilement que, pour étendre les théorèmes l, 11, IV, V, VI, VU du § VI au cas où la série

Mq, U^, ^2» • ■ •» "«» • • •

devient imaginaire, il sufTit de substituer dans ces théorèmes les modules des termes à leurs valeurs numériques. Ainsi, en particulier, on établira sans peine la proposition suivante :

TiiKORÈME II. — Soit Çl la limite ou la plus grande des limites vers lesquelles converge, tandis que n croît indéfiniment, la racine n'^"'^ du module p„ de u,^y ou bien encore une limite fixe vers laquelle converge, pour des valeurs croissantes de n, le rapport

La série (3) sera convergente si Ton a il<^\, et divergente si l'on ce i2>i.

Démonstration. — En effet, si l'on a i2<^ i , la série (10) étant convergente, la série (3) le sera elle-même, en vertu du théorème I; et si l'on a 12 > I , les plus grandes valeurs du module

croîtront avec n au delà de toute limite, ce qui ne peut arriver qu'au-

OEuvres de C— S.U, i.X. I7

tant que les plus grandes valeurs numériques des deux quantités

ou au moins de l'une d'entre elles, croissent de même indéfiniment. Donc, si l'on a 11> i, l'une au moins des séries (i), (2) sera divergente, ce qui entraînera la divergence de la série (3).

Considérons à présent une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de la variable x, savoir

(12) ''^OJl ^ y ^2 "^ y « . • •

Pour étendre les théorèmes VIII, IX, X du § VI au cas où, les coefficients «0, a^, «2» ••• étant imaginaires, la variable x est elle-même imaginaire ou de la forme

(i3) .r = /-(cos^ + y/— [ sin^),

r désignant une quantité positive et t un arc réel, il suffira évidemment de substituer dans ces théorèmes les modules de x, de «„, de a,^+^, ... à leurs valeurs numériques. Ainsi, en particulier, on déduira immédiatement du théorème II la proposition suivante :

Théorème III. — Si, p„ étant le module de <2„, (o désigne la limite ou la

plus grande des limites de (p^)", ou bien encore une limite fixe vers laquelle converge, tandis que n croit indéfiniment, le rapport

9ri±\

la série (12) restera convergente, tant que le module r de x sera inférieur à --, et deviendra divergente lorsqu'on aura r>> -•

L'une des séries imaginaires les plus simples est celle qu'on obtient en supposant que, dans la progression géométrique

la variable x soit imaginaire et déterminée par l'équation (i3). Si l'on

nomme s,i la somme des n premiers termes de cette progression, on trouvera, comme dans le § VI,

D'ailleurs le module de ce" étant la /i''"'"^ puissance du module /• de x, ce module et, par suite, celui du rapport

deviendront infiniment petits ou infiniment grands pour des valeurs infiniment grandes de n, suivant que l'on aura r < i ou r >> i . Donc, si l'on a r<i, ^rt s'approchera indéfiniment, pour des valeurs croissantes de n, de la limite s déterminée par l'équation

et la progression (i4) étant convergente offrira pour somme , en

sorte qu'on aura

(i6) i -\- ce -h J^-^ -\~ . . . = ••

1 — oC

Mais, si le module r de x devient supérieur à l'unité, la série (i4) sera divergente et n'aura plus de somme. Il résulte effectivement du théorème III que la série (i4) sera convergente quand on aura /■< i, et divergente quand on aura r>> i.

Si l'on posait

(17) J7=r ;;(cOS^ + V'^" ' S^I^O»

S désignant une quantité positive ou négative et/ un arc réel, le module de X ne serait autre chose que la valeur numérique de 5, et l'équation (16) donnerait, pour des valeurs numériques de s inférieures à l'unité,

i I + z{co?,t + y/ — 1 sin^) -t- z^{cos2t -\- \/— i sin2^) 4-. . .

\ I — zcost — zsint^ — I

Comme on a d'ailleurs

(i — ^ cos,t — z ûnt^— i) (i — ^ cos^ 4- zsmt^— i) = (i — 3 cosO"+ (^ sinO^= ' — 2^ cos^ 4- z^

et, par suite,

I — z cos t -^ z sin t y — i

I — s cos^ — ^sin^V^— I \ — "i z coi t -\~ z-

la formule (i8) pourra s'écrire comme il suit

1 -i-^cos^ + :;-cos2^ + . . . + (:;sin^ -h z^sinit +'. . •) V^— ' I — z coat z sinf

2ZC0St-\-Z^ I— 2SCOSi + -3^

et comprendra les deux équations réelles

I + z cos t -\- Z^ cos 2 ^ + . . . =

; sin f + ^- sin 2 f + . . . r=

I — :;cos/

F — 2Z cosi + z sin^

I — 2Z COS.t H-

qui subsisteront, ainsi qu'elle, pour des valeurs de z comprises entre les limites

En appliq'uant le théorème III aux deux séries

1, ii.x,

qui, pour des valeurs réelles de x renfermées entre les limites — i, H- 1, représentent les développements des fonctions \(i-^x), {\^xY, et, supposant [j. réel, on prouverait encore que, pour des valeurs de x imaginaires et déterminées par l'équation (17), ces deux séries sont convergentes comme la série (i4), tant que :: demeure compris entre les limites (21).

Quant à la série