ï — cos

2Tr

en observant que l'arc | a pour complément ^^ pour supplément -^ et que 2sin^ représente le côté de l'hexagone inscrit au cercle dont

le rayon est l'unité.

Observons encore que, si l'arc 2a est renfermé entre les limites o, T., cet arc, dans le cercle qui a pour rayon l'unité, sera nécessairement plus grand que sa corde 2 sina et plus petit que la somme 2 tanga des deux tangentes menées par ses extrémités et prolongées jusqu'à leur rencontre mutuelle. On aura donc alors

2 sin a < 2 a < 2 tang a =; 2

sina cos a

puis on en conclura

sina cosa

ou, ce qui revient au même,

sina I > > cosa.

Cette dernière formule, n'étant point altérée quand on y remplace a par — a, subsistera certainement pour toutes les valeurs de a comprises

entre les limites -, -• Il est d'ailleurs facile de s'assurer qu'elle

s'étend à toutes les valeurs de a renfermées entre les limites -- -, Si maintenant on suppose que la valeur numérique de a diminue et

s'approche indéfiniment de la limite zéro, on aura

(70) limcosa—ji.

Par suite, la formule (74) donnera

/ £\ 1- sina

(70) lim = I,

et de cette dernière, combinée avec l'équation (70), on tirera encore

sina

lim = I,

a cosa

ou, ce qui revient au même,

(77) lim — 5- =1.

§ XIII. — Des expressions imaginaires et de leurs modules.

En Analyse, on appelle expression symbolique ou symbole toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par elle-même, ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle qu'elle doit naturellement avoir. On nomme de même équations symboliques toutes celles qui, prises à la lettre et interprétées d'après les conventions généralement établies sont inexactes, ou n'ont pas de sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts, en modifiant et altérant selon des règles fixes ou ces équations elles-mêmes ou les symboles qu'elles renferment. L'emploi des expressions ou équations symboliques est souvent un moyen de simplifier les calculs et d'écrire sous une forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence. C'est ce qu'on a déjà vu dans le § IV, où la formule (4i) fournit une valeur symbolique très simple de l'inconnue x assujettie à vérifier les équations (39). Parmi les expressions ou équations symboliques dont la considération est de quelqtie importance en Analyse, on doit surtout distinguer celles que l'on a nommées imaginaires. Nous allons montrer comment l'on peut être conduit à en faire usage. ■

HÉSUMÉS ANALYTIQUES. 117

D'après ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent, le sinus et le cosinus de l'arc a^-hy sont donnés en fonction des sinus et cosinus des arcs x ety par le moyen des formules

cos(^ -+- j) — cos^cosy — sin^sinjK, sin (j7 -i- y) = sino^ cosy + sinj cosx.

Or, sans prendre la peine de retenir ces formules, on a un moyen fort simple de les retrouver à volonté. Il suffit, en effet, d'avoir égard à la remarque suivante :

Supposons que l'on multiplie l'une par l'autre les deux expressions

symboliques

cos^ + \J~ i s\njc,

cosy -+- \/— I sin/,

en opérant d'après les règles connues de la multiplication algébrique, comme si \/— i était une quantité réelle dont le carré fût égal à — i. Le produit obtenu se composera de deux parties : l'une toute réelle, l'autre ayant pour facteur y'— i î et la partie réelle fournira la valeur de cos(.r -h y), tandis que le coefficient de y - i fournira la valeur de sin(j7 + j). Pour constater cette remarque, on écrit la formule

( cos(^ + j) -4- v^'— I sin(x -f- y)

( = (cosj7 -^s/— f sin^) (cosj -i- y^ i sin/).

Les trois expressions que renferme l'équation précédente, savoir

cos^ 4-\/— I sinj7, cos/ 4- v/— I sin j-, cos(.z -f- j) -+- y,/— i sin( j? + /),

sont trois expressions symboliques qui ne peuvent s'interpréter d'après les conventions généralement établies, et ne représentent rien de réel. On les a nommées pour cette raison expressions imaginaires. L'équation (2) elle-même, prise h la lettre, se trouve inexacte et n'a pas de sens. Pour en tirer des résultats exacts, il faut, en premier lieu, développer son second membre par la multiplication algébrique, ce qui

réduit cette équation à

j cos(. 27-^7)+^/— isin(^ + j)

( — cos^cosj- - sin^r sinjH- ! sinj^cosj -h sinjcos^)^/ i .

Il faut, en second lieu, dans l'équation (3), égaler la partie réelle du premier membre à la partie réelle du second, puis le coefficient de V— I dans le premier membre au coefficient de \/'~i dans le second. On est ainsi ramené aux équations (i), que l'on doit considérer comme implicitement renfermées l'une et l'autre dans la formule (2).

En général, on appelle expression imaginaire toute expression symbolique de la forme

a, h désignant deux quantités réelles, et l'on dit que deux expressions imaginaires

sont égales entre elles lorsqu'il y a égalité de part et d'autre : 1° entre les parties réelles a et c; 2" entre les coefficients de s'— ~i , savoir h et (L L'égalité de deux expressions imaginaires s'indique, comme celle de deux quantités réelles, parle signe =, et il en résulte ce qu'on appelle une équation imaginaire. Cela posé, toute équation imaginaire n'est que la représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles. Par exemple, l'équation symbolique

équivaut seule aux deux équations réelles

Lorsque dans l'expression imaginaire

le coefficient h de y - i s'évanouit, le terme bsf^ est censé réduit à zéro, et l'expression elle-même à la quantité réelle a. En vertu de

cette convention, les expressions imaginaires comprennent, comme cas particuliers, les quantités réelles.

Les expressions imaginaires peuvent être soumises aussi bien que les quantités réelles aux diverses opérations de l'Algèbre. Si l'on effectue en particulier l'addition, la soustraction ou la multiplication d'une ou de plusieurs expressions imaginaires, en opérant d'après les règles établies pour les quantités réelles, on obtiendra pour résultat une nouvelle expression imaginaire qui sera ce qu'on appelle la somme, la différence ou le produit des expressions données. Par exemple, si l'on donne seulement deux expressions imaginaires « -h /> y - i » c -h f/y''— I , on trouvera

(4 ) {an- b v'— i) M- (c 4- d\J— i) ;-- a -I- c* -t- ( 6 4- <i ) v^— 7 ,

(5) (a -F ^v'—i^ — {c -^ds/'^^\) = a — ç -H ( 6 ^d)\/'^~^i ,

(6) (a -(- b\'— i) X (c + d\/— i} = ac— bd-i- {ad^ bc)\J—i .

Il est bon de remarquer que le produit de deux ou plusieurs expressions imaginaires, comme celui de deux ou plusieurs binômes réels, restera le même, dans quelque ordre qu'on multiplie ses différents facteurs.

Diviser une première expression imaginaire par une seconde, c'est trouver une troisième expression imaginaire qui, multipliée par la seconde, reproduise la première. Le résultat de cette opération est le quotient des deux expressions données. On se sert pour l'indiquer du signe ordinaire de la division. Ainsi, par exemple,

représente le quotient des deux expressions imaginaires a 4- 6 y'— i, c -h d\J — I .

Élever une expression imaginaire à la puissance du degré m, m désignant un nombre entier, c'est former le produit de m facteurs égaux à cette expression. On indique la puissance m'*^""" de a -i- b \^^i

par la notation

On dit que deux expressions imaginaires sont conjuguées l'une h l'autre, lorsque ces deux expressions ne diffèrent entre elles que par le signe du coefficient de y^ i . La somme de deux semblables expressions est toujours réelle ainsi que leur produit. En effet, les deux expressions imaginaires conjuguées

donnent pour somme ia et pour produit «--f- b-. La dernière partie de cette observation conduit à un théorème relatif aux nombres et dont voici l'énoncé :

Théorème L —Si l'on multiplie l'un par l'autre deux nombres entiers dont chacun soit la somme de deux carrés , le produit sera encore une somme de deux carrés.

Démonstration. — Soient

les deux nombres entiers dont il s'agit, a-, b-, c-, d- désignant des carrés parfaits. On aura évidemment les deux équations

1 {a + b \/ — i) (c -h d\/ — i) =3 ac — bd -j- {ad + bc) \'' — t ,

\ ( a — b\l — \) {(*— d\f— i) =z ac — bd — (ad -h bc) \/— i ,

et, en multipliant celles-ci membre à membre, on obtiendra la suivante

(8) (a^H- b'^) {c^ -h d-^) = (ac — bdy- -^ (ad + bc)\

Si l'on échange entre elles dans cette dernière les lettres a et b, on trouvera

(9) (a'--^b'-){c^-i-d') = {ac + bdr-^{ad—bc)-.

il y a donc, en général, deux manières de décomposer en deux carrés

le produit de deux nombres entiers dont chacun est la somme <le deux carrés. Ainsi, par exemple, on tire des équations (8) el ((j)

On voit par cei^ considérations que l'emploi des expressions imaginaires peut èlr'» d'une grande utilité, non seulement dans l'Algèbre ordinaire, maistencore dans la théorie des nombres.

Quelquefois o\\ représente une expression imaginaire par une seule lettre. C'est un artifice qui augmente les ressources de l'Analyse et dont nous ferons souvent usage.

Une propriété remarquable de toute expression imaginaire a -h b\l— I, c'est de pouvoir se mettre sous la forme

p(cosô -H v'— I sin^),

p désignant une quantité positive et 0 un arc réel. En efï'el, si l'on pose l'équation symbolique

(lo) a + b\J — 1 =z p(cos9 + \' — I sin{y)

OU, ce qui revient au même, les deux équations réelles

(il) a = pcos5, Z/rrrpsinÔ,

on tirera

a2+ ^;2z=; p2(cos-ô + sin^^) = p-,

et, après avoir ainsi déterminé la valeur du nombre p, il ne restera, pour vérifier complètement les équations (lo), qu'à trouver un arc 0 dont le cosinus et le sinus soient respectivement

(i3) rns B — — i sin9

Or on lire/les formules (i3)

, ,, , siiiô b

(i4 lang5=: z==--

ces 9 a

OEuvresdeC.— 's.\\,\..\. l6

D'ailleurs si l'on désigne généralement par la notation

arctang,a?

l'arc qui, ayant x pour tangente, offre la plus petite valeur numérique possible et se trouve en conséquence renfermé entre les limites

on vérifiera la formule (i4) en posant

(i5) 9 = n7r -+- arc lanir — >

Il représentant une quantité entière positive ou négative. Entin, comme tout arc renfermé dans les limites — -> h- - a un cosinus po-

sitif, on peut affirmer que l'arc 0 déterminé par la formule (i5) offrira un cosinus positif si n est pair, c'est-à-dire si l'on a

(i6) 9=±: 2A-7H- arc lans->

tétant un nombre entier quelconque, et un cosinus négatif si n est impair, c'est-à-dire si l'on a

(17) 9 = ±:(2A" ^-I)^r^-al•ctanf?-•

Cela posé, de l'équation (i4)» présentée sous la forme

cos9 sinS

on déduira immédiatement la formule

cosi9 sin9 i

et, par conséquent, les équations (i3), pourvu que l'on détermine 0

(*) En général, de la formule

abc'"'

par la formule (iG) quand «sera positif, et par la formule (17) quand a sera négatif. Dans l'une et l'autre hypothèse, le nomhrc entier k pouvant recevoir une infinité de valeurs, on obtiendra aussi une infinité de valeurs de 0 propres à vérifier les formules (11) ou, ce qui revient au même, les formules (10).

Kn résumé, si l'on pose

('8) p — v/a^+/>% Ç = arc laiiL' - ,

et si Ton désigne par ^ un nombre entier quelconque, on^ura, dans le cas où a sera positif,

(19) a + 6v/^^=p[cos(C± 2^71) + v/^sin(Ç ±2A-7:)J, par conséquent

(20) a + /y\/— i = p(cosC-+- v''— isinÇ) (cos2 A'ti ± v/— ^S'ii^At:), et, dans le cas où a deviendra négatif,

(21) a+ èy/— i = p|cos[C±:(2A'4-i)7r] + v/^sin[C±(2Â' + i)7r]j,

(22) « + Z;y/— i = p(cosC+v/— ^sinC) [cos(2/r-M)Tr± ^^sin(2A- +i)7:|

Comme on a d'ailleurs

(28) C0S2Â-TC + v^— I sin^A-Ti = 1,

(2/i) cos(2A- + i)7:d=v^^ sin (2 A 4-1)71 = — i,

dans laquelle a, j3, y, ...,«,//,<?, ... représentonl des quantités quelconques, on lire

et, par suite,

a b C — /rt2^//2^c* -+-... '

le double signe riz devant être réduit au signe -H quand la fraction - est positive, et au signe — dans le cas contraire.

124 HÉSUMÉS ANÂLYTIOUES.

les formules (20), (22) donneront, si a est positif,

( 20 ) a -]- b \'— I =1 p ( cos C H- v^— I siri C)

el, si a est négatif,

(26) a + b\J— I =— p(cos^ -h y/—» sin^).

Au reste, il est facile de voir que la formule (19) coïncide avec l'équa- (ion (2j), et la formule (21) avec l'équation (26).

Lorsque l'expression imaginaire a -\- bsj — i se trouve ramenée à la

forme

p(cos!y + \'— I sin5),

la quantité positive p est ce qu'on appelle le module de cette expression imaginaire. Comme des quantités «, b supposées connues on ne déduit pour le module p qu'une valeur unique déterminée parla formule (12), on peut évidemment énoncer la proposition suivante :

Thkorkju: II. — L'égalilé de deux expressions imaginaires entraîne toujours r égalité de leurs modules.

Il suit encore de la formule (12) que deux expressions imaginaires conjuguées

ont pour module commun la racine carrée de leur produit.

Lorsque, h étant nul, l'expression imaginaire a-{-b\— hq réduit il la quantité réelle a, la formule (12) donne simplement

Ainsi le module d'une quantité réelle a se réduit à sa valeur numérique \ja-.

Toute expression imaginaire qui a zéro pour module se réduit elle-même à zéro, et réciproquement, comme le sinus et le cosinus d'un arc ne deviennent jamais nuls en même temps, il en résulte qu'une expression imaginaire ne peut se réduire à zéro qu'autant que son module s'évanouit.

Observons enfin que les définitions données dans le § III des va-

KKSUMKS ANALYTIQUES. 12o

riahlos intiniinonL petites et infiniment grandes, des fondions continues ou discontinues, explicites ou implicites, entières ou fractionnaires, etc., doivent être étendues au cas même où les variables et les fonctions dont il s'agit deviennent imaginaires.

Toute expression imaginaire dont le module se réduit à l'unité,

étant de la forme

cos.r -+- V'' — 1 sin.r,

on effectuera sans peine la multiplication, la division ou l'élévation à des puissances entières d'une ou plusieurs expressions imaginaires qui auraient l'unité pour module. En effet de la formule (i> ) on déduit immédiatement la suivante

I (cos.r + y— I sin./') (cosr + V ' sin v) (cos; h- \/— i '!>\i\z) . . .

( =z cos(./-+/4-- + . . .) +> — • sin(.r 4- J-+- c +. . .),

(juel que soit le nombre m des variables -r, y, z, .... De plus on tirera de la formule (2), en y remplaçant a- par .r — y,

lcos(a; — /) -+- v/— I sin(j:- — /)[ (cosj + v'^ - 1 sinj) ~ cos.r + y/— i sin.r,

ou, ce qui revient au même,

, y^ cos.r H- v'— J sin.r ^ ^ , . ,

(^.8) -7='-'~. =^COS(.r— j)4-v— ism(.r--j);

cos r ■+■ v~ I sm/

et, de la formule (27), en posant .r = y = ^ = . . .,

(29) (cosj"-hy, — I sin.r)'"::^ coswi.r H- y'' — I sin/^.r.

Cela posé, il deviendra facile d'effectuer la multiplication, la division ou l'élévation à des puissances entières d*unc ou de plusieurs expressions imaginaires dont les modules ne se réduiraient pas à l'unité.

(^ar, si l'on pose

a -h b v'— I = p (ces 0 -+- \J— 1 sin Ô),

a' + b' \''^^i = p'(cos 0'-\- ^~ s\nO'), a' -h b"\J— I = p"(cosf5"+ v^'--^ sin 5"),

126 RESUMES ANALYTIQUES.

0, p', p", . . . étant des quantités positives, et Ô, 0', 0", . . . des arcs réels, on aura évidemment

{a^b sT^i) (a'+ b' s/'^i) {a" + b" y/^) . . .

= pp'p" . . .(cos9 + \/^7sin9) (cos5'+ v/^7sin0') (cosô"+ ^^^sin5"). . ., a + b ^ — I p cos^H-y/ — isin9

(a + ^»v''— i')'"=P'"(cos5 4- v/^Tsin9)'", puis on en conclura, en ayant égard aux formules (27), (28), (29),

=:pp'p".. .[cos(9 -f- 5'+ 5" + . ..) + v/'^sin (9 + 0'+ 5" + . . ,)],

(3i) ^,'^^,^,— :^;g,[cos(9-e-)+v/^sin(0-eo],

(3-2) (fl'4-^'/^)"'=p"'(cosm9 + v/^sin'^ï^)-

De ces dernières équations on déduit immédiatement la proposition suivante :

Théorème III. — Le produit, le quotient et les diverses puissances entières dune ou de plusieurs expressions imaginaires ont pour modules le produit, le quotient et les di^^erses puissances de leurs modules.

On peut encore démontrer facilement cet autre théorème :

Théorème 1\ . — La somme de deux expressions imaginaires offre, ainsi que leur différence, un module compris entre la somme et la différence de leurs modules.

Démonstration. — En effet, soient

a + b\J— I =ip (cos^H- sj— isinô), a' + b' ^— i = (p' cosO'4- \/ — i sin5')

deux expressions imaginaires qui aient pour modules p et p', la somme et la différence de ces deux expressions, savoir

(p cosô 4- p' cosô') + (p sin5 + p'sin0') \J— i et

(p cosô — p'cosô') + (psin^ — p'sin0')v/— i,

auront pour modules deux quantités positives dont les carrés seront respectivement

(33) (p cos9 -f- p' cos9'y-h{p sin9 + p' sin9')2= p2^ 2pp' cos(9 - Ô') + p'^

(34) (pcos(? — p'cos9')2-i-(psin5 — p'sin9')2=p2— 2pp'cos(9— 9') + p"-

D'ailleurs, cos(0 — 0') étant renfermé entre les limites —i, -hi, chacune des quantités (33), (34) sera comprise entre les limites

p2 2pp'+p'2^(p p')2^(p'p)2^

et sa racine carrée entre la somme p 4- p' et la valeur numérique de la différence p — p', ce qui suffit pour la démonstration du théorème IV.

Corollaire. — La somme de plusieurs expressions imaginaires offre un module inférieur à la somme de leurs modules.