I, JO
qui, pour des' valeurs réelles de x, représente le développement de e^ , on la trouvera convergente pour toute valeur imaginaire, mais finie, de la variable x.
§ XV. ~ T)es exponentielles imaginaires . Développements des fonctions
coso;, sin^.
Désignons à l'ordinaire par e la base des logarithmes népériens, et par A un nombre quelconque. Si la variable x est réelle, les deux
fonctions
seront toujours développables par les formules (12) et (20) du § VI! en séries convergentes, ordonnées suivant les puissances entières et positives de x, en sorte qu'on aura
(2) A-*^ ri:: I + a; 1 A H ^ -^ ^ r/- -f- .
D'autre part, comme, en posant
(lA)"
ou a,,
on en conclut
— ou —
a„ n -\- i Un II H- 1
puis, en faisant croître indéfiniment le nombre n.
il suit (lu théorème III du paragraphe précédent que les séries
resteront convergentes si la variable x devient imaginaire, sans que; son module se réduise à ± 00, c'est-à-dire pour toute valeur imaginaire et finie de x. Cela posé, après avoir démontré l'équation (2) dans le cas où la variable ce est réelle, concevons qu'on étende cette équation au cas même où la variable x devient imaginaire, et qu'on s'en serve alors pour fixer le sens de la notation A"^, c'est-à-dire pour définir une exponentielle imaginaire. En prenant
on réduira la formule (2) à la formule (i), par laquelle se trouvera définie l'exponentielle imaginaire ^'^; et, comme, en remplaçant a? par cc\A dans l'équation (i), on fera coïncider son second membre avec celui de l'équation (2), il est clair qu'on pourra fixer encore le sens des notations
à l'aide de la formule (i) jointe à la suivante :
Observons maintenant que l'équation (i) du § VII pouvant être étendue au cas où a et ^r deviennent des expressions imaginaires, on en tirera, comme dans le § VII,
(6) lim(i -ha)'"=i+ ^H 1 — x+...,
pourvu que, le nombre entier m venant à croître indéfiniment, l'expression imaginaire a s'approche indéfiniment de la limite zéro, mais de manière à vérifier la condition
(7) \\m{mx) ^:^ X.
KÉSUMÉS ANALYTIQUES. 135
On aura donc, sous cotte condition,
(8) lim(i + a)'"~e-^,
quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de œ. Ainsi, en particulier, comme on vérifiera la condition (7), en posant
Cf. = — )
m la formule (8) donnera généralement
(9) e^= lim ( i-t- --
Si dans la formule (9) on remplace x par j, on obtiendra la formule semblable
e>'=lim( 1+ ^ ) ,
et de cette dernière, jointe à la formule (9), on tirera (10) e-^eJ'— - lim 1+ — [ ^ + /H -\\ ■
D'ailleurs, si l'on pose on en conclura
I / xy
lim mct.—-\nw{œ-^y-\ ^ ) = i' -f- /,
par conséquent
Donc la formule (10) pourra être réduite à
(•0 e^er— e^^y.
Si dans cette dernière on remplace x et y par J^IA et ylA, on trouvera, en ayant égard à l'équation (5),
(•2) k^' ky — k.^'+y .
Ainsi les formules (11), (12), qui expriment une propriété fondamen-
talo des exponentielles dont les exposants sont réels, s'étendent au cas même où les exposants deviendront imaginaires. Ajoutons que de ces formules on déduit immédiatement les suivantes
(i3) ^x+y+z+... =e^ gy e= . . .,
(i4) A^+^+=-^-— A^AJ^A". . .,
quel que soit le nombre m des variables x, y, z, . . .; puis, en posant x=y = z=...,
Entin, si dans les formules (ii) et (12) on remplace x par x — y, on en déduira immédiatement les deux suivantes :
(18) ^""''=iJ-
Concevons ii présent que dans l'équation (9) on écrive x\!- i au lieu de x, et que dans la formule ainsi obtenue, savoir
on attribue à x une valeur réelle. Si l'on pose
on aura
(21) iH v/— I = /'(cos^-i- v'^— 1 sin/),
(22) (iH V ') = '"'"(cosm^ + V— I sinwf).
De plus, comme, en vertu de la seconde des formules (20), l'arc / aura
t — arc tang —
pour limite zéro, l'équation (77) du § XII donnera
,. ianst ,. X lim — ^- —- Iim — r= i t mt
OU, ce qui revient au même,
Wmmi ^=1 x .
Entîn, puisque la première des équations (6), (7) (§ VII) entraîne toujours la seconde, et qu'on a évidemment
,. m X- ,. x'^ hm - — , =:: Iim — = o, "?. m- im
on trouvera encore
lim /■'" — lim ( I + -'^- V — e» = i . Donc on tirera de l'équation (20)
et la formule (19) donnera
(^4) e^v'-iz= coso; H- v^ - 1 sin.37.
Ainsi toute expression imaginaire qui a l'unité pour module et peut en conséquence s'écrire comme il suit
cos^ H- \ — I sin^,
X désignant un arc réel, se confond avec une exponentielle imaginaire et de la forme
Si l'on attribuait à x une valeur en partie réelle, en partie imaginaire, si, par exemple, on supposait
7, - désignant des quantités réelles, on tirerait de la formule (ri),
ORuvrfi dt C. ~ S. M, l. X. l8
jointe à la formule (24),
(20) er-i--s/-' = ey(cosz -f- v^— i sin^).
Si dans cette dernière équation on remplace y et s par jlA et ^1 A, on en conclura, eu égard à la formule (5),
(26) AJ-+W^=:AJ'[cos(^IA) +v''^ sin(slA)].
Les formules (26), (27) fournissent immédiatement les valeurs des exponentielles
correspondantes à une valeur imaginaire quelconque de la variable oc. Lorsque dans la formule (24) on remplace x par —x, on obtient la suivante
(27) e-^v'-i izz cosjc — V — > sin^c,
de laquelle on tire, en la combinant avec la formule (24),
(28) 2 cosj7 = e■^^^ + e-^\/"', 2 sin^v ~ ' = ^'*^^^' — ^"'^^'^ ou, ce qui revient au même,
(20) cosa^=- ■•> sin.rrz. ;
Ces dernières formules subsistent, comme les équations (24) et (27), pour une valeur réelle quelconque de la variable x. En les étendant au cas même où x devient imaginaire, on pourra s'en servir pour fixer dans ce dernier cas le sens des notations
cos^, sin^.
Si à l'aide de l'équation (i) on développe, suivant les puissances entières et positives, le premier membre de la formule (24), on trouvera
(3o) coSuT + vA-- I sin^ r= 1 + xsj— i 7V^ ï -1 o~T +•■■■>
par conséquent
cos.r =z I —
sino^ =; J" —
Les formules (3i), qu'on peut aussi déduire des équations (29), subsistent pour des valeurs finies quelconques, réelles ou imaginaires de la variable x.
De la formule (2/1), jointe aux formules (20), (22), (25), (26) du § XIII, il résulte que, si a, h désignant deux quantités réelles quelconques, on pose
(3?.) p — vV^2+6^ C — arclanj;-.
on aura, pour des valeurs positives de a, non seulement
mais encore
a -h h\/— I — pe^V-V
a -4- h \/— I =^ pe'^ v'-i e
k désignant un nombre entier quelconque, et pour des valeurs négatives de a, non seulement
mais encore
En résnmé, on aura
rt + b\J— I =— peW-i,
QC^V
la valeur de 6 devant être déterminée par la première ou la seconde des deux formules
9r=rDZ2A'7:,
liO RÉSUMÉS ANALYTIQUES.
suivant que la quantité réelle a sera positive ou négative. On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème I. -- Toute expression imaginaire
a -\~ b\ — I est le produit d'un module réel
p z=L ^a^+ bpar une exponentielle imaginaire de la forme
et dans laquelle 0 désigne un arc réel déterminé par l'une des équations (38), (39).
A l'aide du théorème I, joint aux formules (i3), (i5), (17 ), il sera très facile d'effectuer la multiplication, la division ou l'élévation à des puissances entières d'une ou de plusieurs expressions imaginaires dont les modules ne se réduiraient pas à l'unité. Car, si l'on pose
a-\-b^l^i — pe^^-\ a'-\-b'\/—i = p'e^'\^'\ a"-hb'\^—i
p, p', p", .. . étant des quantités positives, etO, Q', 6", . . . des arcs réels, on trouvera
(4o} (a +- 6 V/--7) (a'-t- 6\/— T) (a"+ b" v'-^) . ..:=pp'p". . . e(84-9'+0"...)v/-"f,
Il est aisé de s'assurer que la formule (34) s'accorde avec la formule (33), et la formule (36) avec la formule (35), attendu qu'on a généralement
(43)- e-'^'^v'-i — cosaA-Tr ± v/~-~7 sina A't: --- i,
(44) e±(2/.+ i;7r^/-i = cos(2A' + Ott ± v''^sin(2A- + 1)7: = - i.
Il y a plus : si t désigne un arc réel, on ne pourra évidemnrient satisfaire à Téqualion imaginaire
OU, ce qui revient au même, aux deux équations réelles
(46) cos^zni, sin^ = o qu'en posant
(47) t--±:xkr,,
et attribuant au nombre k une valeur entière. Pareillement on ne pourra satisfaire à l'équation imaginaire
OU, ce qui revient au même, aux deux équations réelles
(49) cos< — — I, sin« — o qu'en posant
§ XVI . — Relations qui existent entre les sinus ou cosinus des multiples d'un arc et les puissances entières des sinus et cosinus du même arc.
Si dans la formule (i5) du paragraphe précédent on remplace x par a? y/- I , elle donnera
g.«x\/-i(ga;v'-l)"'
ou, ce qui revient au même,
cxi%mx + V'— isinm^ — (cosxh- y ' ~ ïsiiij:)'"
— cos^ + mcos"'-',z;sin^V''~ • — {"^)i cos"'--a.- siii-j? — (m)3 cos"'-''j7 sin^j: v'~ i 4-. . . .
i42 RÉSUMÉS ANALYTIQUES.
On aura donc
cosrna- =r cos'"^ — (m), cos'" -j? sin-x + (/w)4 cos"'-'*.r sin^^ — .
OU, ce qui revient au même,
( cosm^--; [i — (m)., tang-^ -h (m)^ tang^x — . . .] cos'"j7,
( sin/w^ — [m tangj:- — (/?i)s tang^^ +. . .] cos'"j7,
puis on en conclura
m tangic — (m'is langea? + . . .
(3) tangm.37 =
