n), lang'j? H- (//i)4 tang*j

Si, pour fixer les idées, on pose successivement m = 2, m — 3, m = 4, . . . , les formules (i ) et (3) donneront

(5) tang2^

( 008 2^=3 cos^ .27 — sin^j7, r sina^r z= 2 sin^ic cos^r,

2 langer

I — lang-j;

( cos3.r = cos^^r — 3 cos^r sin^^r, / sin3.3:" -= 3 cos^j; sinx — sin^j7,

3 tang^r — tang^x (7) tang3.r -iz- ^

(9) tang4^

I — 3 lang-.37 ( 0084-^ = cos*.x- — 6 cos^.37 sin-.ï' + sin* j?, ( sin4-a" =^ 4 cos^iT sin.37 — 4 cos.r sin^.3:', 4(tangx — tang^oc)

1 — 6 tang^.3? -r- lang*.af

Les formules (i), dont les seconds membres entraînent toujours un nombre fini de termes, peuvent servir à déterminer cosmx et s'inmx en fonction de sin.r et de cos^.

On peut aussi exprimer les puissances de sin^ et de cosas- en fonction des sinus et cosinus des arcs multiples de x. En effet, on tire des

formules (28) du paragraphe précédent

(II

puis on en conclut : i" en supposante impair

1 cos'" J' = — ^-r r cos inx -\- m ces ( /m — 2 ) x + . . . + ( //* )„, , cos x 1 , l 2'"-» [ —r \

/ sin"'.z; = - — -^^ — {?>mmx— msin(m— 2)^ + .. .±: (/«)/« -^sin-^l;

•ï" en supposant m pair

I' cos'"^= — ^ rcosmj?4-m cos(/« — 2)j:-v. . . --f- (/«),„ cos2j7+ |-("0,„|, 2'"" V~' "^

sin'" X = -^ fcos m j: — /?i cos ( m — 2 ) X -i- . . . q= ( m ),„ cos 2 .r ± i ( //* )„, I .

Si, pour fixer les idées, on pose successivement m= 2, m ^^3, m = 4» •••» on tirera des formules (11) et (12)

( sin-^=--|( — C0S2j:^' + i),

[ COS'^ = I (C0S3^ -I- 3 cos J7),

1 sin^.27 = { (sin3j7 — 3 sin^),

[ C0S*J7 = |(C0S4.3? -h 4f*OS2X + 3),

(i5) ■ { sin*J7 =- |-(cos4^ — 4 C0S2J: + 3),

§ XVII. — Sommation des sinus ou cosinus d'une suite d'arcs représentée par les différents termes d'une progression arithmétique.

Considérons une suite d'arcs en progression arithmétique ou de la forme

(i) 9, ÔH-f, 0+2^ ..., B + {n-i)t,

144 RESUMES ANALYTIQUES.

0, / désignant deux quantités réelles ain un nonibre entier quelconque. On aura

1 cos9-h cos(9 4-0 +cos(9-+- 2 0 H-. . . + cos[0 + (/ï — i)^]

(2) j -f- |sin9 + sin(9 4-0 + sin(ô + 20+...+ sin[0 + (rt — i);]|y/^T

D'autre part, si dans la formule (i5) du § XIV, savoir

3) \ -[- 3P + or- -h. . . + x"-^ — = ,

on pose on trouvera

ou, ce qui revient au même.

I + e'v'-l-|-e2^/-i.4-. . .4- gf/v-lj^v'^:

^{n~\)t,'^i \,,rn

2 sin -\! — I

On aura donc par suite

sin(0 -^ \t + nt) — sin(9--fO" ^ cos^— i^ — cos(0 — i^ + «0

2Sin- 2sin-

et la formule (2) fournira les deux équations réelles

|cosg-^cos(9 + 0 + cos(9 + 20+... + cos[9 + (/.-^0^]^^ii:ri^ + ^^^Zlli£l

I 2 sin -

sinô + sin(9-.0 + sin(9 + 20+...+ sin[9 + («-OO- "-"— "-^^^^^^^ ! 2 sin -

RÉSUMÉS ANALYTIQUES. i'*5

Si dans les équations (i) l'arc 0 se réduit à zéro, elles donneront

I I sin(/i — \)t

[ I -+- cos « 4- cos 2^4-...+ cos {n-~ i)t= - + (6)

sin -

I t l COS(/i — ^)t

sin ^ + sin 2 « + ... H- sin ( « — I )/:=:- col -

sin -

Si dans les mêmes équations on pose nf — -i- ou / = — ? leurs seconds membres s'évanouiront. Enfin, si l'on pose /z/ = tt ou / = ^' on

trouvera

cos 9 -f- cos [ 9 + - ] + cos ( 0 H j + . . . + COS ( 9 H 71

Sin —

sin y + sm I y H — I + sin ( 9 h- --

Soit maintenant s une longueur comptée sur une droite AB que renferme un certain plan OO'O"; que dans le même plan on mène par le point 0 : i° une perpendiculaire MN à la droite AB; 2'^ n autres droites qui comprennent entre elles des angles égaux dont chacun aura évidemment pour mesure le rapport