Î TT
in II
Le système de ces dernières droites offrira une espèce de rose des vents; et, si l'on nomme 0 le plus petit des angles qu'elles forment avec la droite MN, ô sera compris entre les limites o, --• Ajoutons que les diverses droites dont sera composée la rose des vents formeront avec MN des angles respectivement égaux aux différents termes de la progression arithmétique
r> n ^ n 271 . {fl —l)n
OEuvres de C. — S. U, t. X. "9
Cela posé, soient
«0, (fl, Ct-i,
les projections orthogonales de la longueur s sur les droites dont il s'agit. En vertu du théorème I du § XII, a,n sera le produit de s par le cosinus de l'angle aigu compris entre une de ces droites et AB ou, en d'autres termes, par le sinus de l'un des deux angles que forme la même droite avec MN perpendiculaire à AB. On aura donc
«,„— -5sm y 4-
et, par suite,
sin9 + sinf 5
mn
sin
sin(ô+^l;:)]
Soit d'ailleurs u. la moyenne arithmétique entre les projections a^,, a,, ... , a,j, de longueur s, en sorte qu'on ait
On tirera des formules (8) et (g), jointes à la seconde des équations (7),
par conséquent
n/jL — s
cos( 6
sm
sin
cosi
in
Donc, puisque 0 est compris entre les limites o, --, on conclura de l'équation (10) que la longueur s est renfermée entre les limites
«atang — , /m sin — 5
2n ^ in
KÉSUMÉS ANALYTIQUES. 1^7
ou, si l'on fait, pour abréger,
entre les limites
, lan?:a , sina
Concevons à présent que le nombre n croisse indéfiniment. L'arc
in
s'approchera indéfiniment de la limite zéro, et les rapports
tanga sina oc a
de la limite i {voir le § XII). Donc, pour des valeurs infinies de /z, les expressions (12) deviendront égales entre elles et à ^tïjx, et l'on pourra en dire autant de la longueur s. Ainsi se trouve démontrée la proposition suivante :
Théorème I. — Si l'on nomme n le nombre des droites dont se compose une rose des vents tracée dans un plan quelconque et [X la moyenne arithmétique entre les projections sur ces droites d'une longueur rectiligne s mesurée dans le même plan, celte longueur sera précisément équivalente à
la limite vers laquelle converge le produit /
(l3) iTTfX
pour des valeurs croissantes de n.
Si, en attribuant au nombre n une valeur considérable, on prend ^ir{jL pour valeur approchée de s, l'erreur commise sera représentée par la valeur numérique de la différence
et, puisque la longueur s est renfermée entre les quantités (12), nous pouvons conclure que l'erreur commise sera équivalente au produit
ikS RÉSUMÉS ANALYTIQUES.
de ^TTf/. par une quantité renfermée entre les limites
D'ailleurs, en vertu des formules (h) du § XV, les différences
sina a- a*
Pin a ^^^ a- / i\ a* / 1 \ i a^ i a*
seront développables en séries convergentes dont les termes alternativement positifs et négatifs offriront des valeurs numériques de plus en plus petites, lorsqu'on supposera
et, par suite,
Donc alors, en vertu du théorème II [ du § VI, on aura
, t;\ sina a- tt- i
et
sma a- tî- i
cosa < — =
/ a\ tanga tt- séca i
puis, en supposant par suite
HZ 3,
a^-, sec ot
et ayant égard aux conditions
7r2=::(3,i4io...)2- 9,869...<io, — < <,, <^ <
24 'M . 5^3 ^jq8
on tirera des formules (i5), (i6)
sina I tanga i
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorè3IE II. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème 1, si Ion prend pour valeur approchée de s la quantité
l'erreur commise ne surpassera pas le produit de cette valeur approchée par — 1 pourvu que le nombre entier n ne soit pas inférieur à 3.
§ XVIII. — Relations qui existent entre le périmètre d' un polygone plan et les sommes des projections des éléments de ce périmètre sur diverses droites. Rectification des courbes planes.
Théorème 1. — Un polygone étant tracé dans un plan quelconque, si
l'on nomme n le nombre des droites dont se compose une rose des vents construite clans le même plan , A la somme des projections absolues des divers côtés du polygone sur l'une de ces droites, M la moyenne arithmétique entre les valeurs de A correspondantes aux diverses droites et S le périmètre du polygone, on aura sensiblement, pour des valeurs considérables de n,
(0 S = iTrM.
De plus, si le nombre entier n surpasse 2, l'erreur que l'on commettra en prenant ~tM pour valeur approchée de S sera inférieure au produit de cette valeur approchée par - - •
Démonstration. - Soient
Si, s , s , . . ,
les longueurs des divers côtés du polygone, et
les moyennes arithmétiques entre les projections de s, ou de s', ou de /', . . . sur les diverses droites dont se compose la rose des vents. On
aura évidemment
M = p. -I- JUl' + ]!/" 4- . . .
et, par suite,
^T:M = \T:ix-h l TT/ji' + i v:ix" -h . . . .
D'autre part, si l'on prend pour valeurs approchées de
les quantités
|7:fx, \t:ix', \t:ix\ ...,
les erreurs commises, en vertu des théorèmes I et II du paragraphe précédent, seront respectivement inférieures aux produits de ces quantités par --• Donc l'erreur commise sur la somme
.v + .ç'4-,ç" + ...— S sera inférieure au produit de ~ par la somme
i 71^ + I- TTf/' + i TT/Jl" + . . . z= i 71 M.
Cette erreur commise étant très petite pour des valeurs considérables de n, on aura sensiblement alors
S = |7rM.
Corollaire I. — Il est clair que la démonstration précédente est applicable, non seulement à un polygone fermé, mais aussi à un polygone ouvert, c'est-à-dire à une portion de polygone et même à un système de polygones ou de portions de polygones, quel que soit d'ailleurs le nombre de leurs côtés.
Corollaire IL — Dans le cas particulier où l'on considère un polygone convexe et fermé, la somme A des projections des côtés du polygone sur une droite est évidemment double de ce qu'on pourrait appeler la projection dû polygone, c'est-à-dire double de la longueur lit qui ren-
ferme tous les points de cette droite avec lesquels peuvent coïncider les projections de points pris au hasard sur le périmètre du polygone. Par suite, la moyenne arithmétique M entre les diverses valeurs de A correspondantes aux diverses droites dont se compose la rose des vents sera double de la moyenne arithmétique iW entre les diverses valeurs de M qui représenteront les projections du polygone sur ces diverses droites ou, si l'on veut, les dimensions du polygone mesurées parallèlement à ces mêmes droites. On peut donc encore énoncer la proposition suivante :
Théorème II. — Étant donné dans un plan quelconque un polygone convexe et fermé, si l'on nomme n le nombre des droites dont se compose une rose des \)enl s construite dans le même plan, M la moyenne arithmétique entre les projections du polygone sur ces diverses droites et S le périmètre du polygone, on aura sensiblement, pour des valeurs considérables de n,
De plus, si le nombre entier n surpasse 2, l'erreur que l'on commettra en prenant iz Jll pour valeur approchée de S sera inférieure au produit de
cette valeur approchée par — •
Concevons maintenant que les polygones dont il est question dans les théorèmes I et II soient inscrits à des courbes données. Si les côtés de ces polygones deviennent infiniment petits et le nombre de ces côtés infiniment grand, le périmètre de chaque polygone aura pour limite la longueur ou le contour de la courbe circonscrite. Par suite, on déduira immédiatement des théorèmes I et II ceux que nous allons énoncer :
Théorème III. — Etant donné dans un plan un contour quelconque S, si l'on nomme n le nombre des droites dont se compose une rose des vents construite dans le même plan , A la somme des projections absolues des diverses parties du contour sur une des droites et M la moyenne arithmétique entre les valeurs de A correspondantes aux diverses droites, on
aura sensiblement, pour des valeurs considérables de n,
(0 S:^J7rM.
De plus, SI le nombre entier n surpasse i, l'erreur que ion commettra en prenant -^r.M pour valeur approchée de S sera inférieure au produit de cette valeur approchée par — •
Corollaire I. ~ Ce théorème subsisterait encore si l'on représentait par S le système d'une ou de plusieurs longueurs, mesurées sur une ou plusieurs lignes droites ou courbes fermées ou non fermées.
Corollaire H. — La valeur approchée de S étant calculée à l'aide de la formule (i), l'erreur commise ne dépassera pas la neuvième partie de cette valeur, si l'on prend n = 3, la vingt-cinquième partie si l'on prend n = 5, et la centième partie si l'on prend n= lo. Dans le premier et le second cas, M sera la moyenne arithmétique entre les sommes des projections absolues des éléments de S sur trois ou cinq droites respectivement parallèles aux côtés d'un hexagone ou d'un
décagone régulier.
Corollaire III. — Si S représente le système de plusieurs courbes fermées et tracées dans l'intérieur d'un cercle décrit avec le rayon R, si d'ailleurs on suppose que le système de ces courbes ne puisse être traversé par une droite en plus de im points, on aura évidemment
A <c 2 /n . 2 R et, par suite,
puis, en observant que la formule (2) devient rigoureusement exacte pour des valeurs infinies de n, on tirera de cette formule, jointe à la condition (3),
(4) S<m.27TR.
Théorème I\. — Etant donnée dans un plan quelconque une courbe convexe et fermée, si l'on nomme n le nombre des droites dont se compose
une rose des vents construite dans le même plan, M la moyenne arithmétique entre les projections de la courbe sur ces diverses droites et S le périmètre de la courbe, on aura sensiblement, pour des valeurs considérables de n,
(2) S^TTiïl.
De plus, si le nombre entier n surpasse 2, l'erreur que l'on commettra en prenant ir JH pour valeur approchée de S sera inférieure au produit de cette valeur approchée par -^ •
Corollaire I. — Une courbe convexe est, comme l'on sait, celle qu'une droite ne peut traverser en plus de deux points. Cela posé, concevons que S représente le périmètre d'une courbe fermée et convexe, tracée dans l'intérieur d'un cercle dont le rayon soit R. On tirera de la formule (4), en y posant m—\,
S<27rR.
Corollaire II. — Si S représente la circonférence d'un cercle décrit avec le rayon R, la projection de S sur une droite quelconque, et par suite la quantité M elle-même, se réduiront évidemment au diamètre 2R, Donc alors la formule (2) donnera, comme on devait s'y attendre, *
(5) Sr=27rR.
§ XIX. — Sur les puissances fractionnaires, ou irrationnelles, ou négatives d'une expression imaginaire. Résolution des équations binômes et de quelques équations trinômes.
Pour rendre plus clair ce que nous avons k dire sur les puissances fractionnaires, ou irrationnelles, ou négatives des expressions imaginaires, il sera utile de rappeler d'abord les définitions relatives aux puissances des nombres.
Elever A à la puissance du degré x (x étant positif), c'est chercher
0£ufrcsdeC. — S.U,U\. 20
un autre nombre qui soit formé de A par la multiplication, comme x est formé de l'unité par l'addition. Pour bien comprendre la définition précédente, il faut distinguer trois cas, suivant que x est entier, fractionnaire ou irrationnel.
Lorsque x désigne un nombre entier, ce nombre est la somme de plusieurs unités. La puissance de A du degré x doit donc alors être le produit d'autant de facteurs égaux à A qu'il y a d'unités dans x. Ainsi, par exemple, si l'on prend
a? = 3 = IH- I -t- I ,
on aura
A^=rAAA.
Lorsque x représente une fraction - (m et n étant deux nombres entiers), il faut, pour obtenir cette fraction : i" chercher un nombre qui répété n fois reproduise l'unité ; 2° répéter m fois le nombre dont il s'agit. Il faudra donc alors, pour obtenir la puissance de A du degré — : i° chercher un nombre B tel que la multiplication de /i facteurs égaux à ce nombre reproduise A; 2° former un produit de m facteurs égaux au nombre B. Quand on suppose en particulier m = i, la puissance de A que l'on considère se réduit à celle dont le degré est -, et se trouve déterminée par la seule condition que le nombre A soit équivalent au produit de n facteurs égaux à cette même puissance. Si, pour fixer les idées, on suppose a; = f, alors aux équations
^ i r 2 II
correspondront les deux suivantes :
Lorsque x est un nombre irrationnel, on peut en obtenir en nombres rationnels des valeurs de plus en plus approchées. On prouve facilement que, dans la même hypothèse, les puissances de A mar-
quécs par les nombres rationnels dont 11 s'agit s'approchent de plus en plus d'une certaine limite. Cette limite est la puissance de A du
degré x.
D'après les définitions qui précèdent, la première puissance d'un nombre n'est autre chose que ce nombre lui-même. Sa seconde puissance, ou son carré, et sa troisième puissance, ou son cube, sont les produits de deux ou trois facteurs égaux à ce même nombre. Quant à la puissance du degré zéro, elle sera la limite vers laquelle converge la puissance du degré x, tandis que le nombre x décroît indéfiniment. Il est aisé de faire voir que cette limite se réduit à l'unité, d'où il résulte qu'on a, en général,
Ajoutons que, si l'on désigne par x, y, z- des nombres quelconques, on établira facilement les formules
(2) A*AJ^ = A^+y,
et que, si dans l'équation (2) on pose x^y = s, on en tirera, pour des valeurs de x inférieures à s,
(5) ^^'"== xi- La formule (5), étendue au cas où x devient supérieur à s, par
exemple au cas où s s'évanouit, sert alors à définir les puissances négatives de A. C'est donc uniquement comme définition d'une puissance négative du degré —x que l'on pose l'équation
En partant de cette dernière formule, on prouvera sans peine que les équations (2), (3), (4), (5) Subsistent lors même que les nombres a?, y, z, ..., s, ou quelques-uns d'entre eux, se changent en des quantités négatives.
Dans l'élévation du nombre A à la puissance dont le degré est x, le nombre A s'appelle racine, et la quantité x, qui marque le degré de la puissance, se nomme exposant. Extraire du nombre A la racine du degré x, c'est chercher un nouveau nombre B qui, élevé à la puissance du degré x, reproduise A; ce nouveau nombre sera évidemment la puissance de A du degré -> puisque, en vertu de la formule (4)» on aura
Soit maintenant a-\-b y/— i une expression imaginaire quelconque, a, b désignant deux quantités réelles. En généralisant les notions que nous venons de rappeler, on obtiendra les définitions suivantes relatives aux puissances fractionnaires ou négatives de a H- è v^— i .
Extraire la racine /x'^™" de l'expression imaginaire a + b s/— i , ou, en d'autres termes, élever cette expression à la puissance du degré - (n désignant un nombre entier quelconque), c'est former une nouvelle expression imaginaire dont la puissance /z'^™^ reproduise a-hb yj— i . Ce problème admettant plusieurs solutions, comme on le verra tout à l'heure, il en résulte que l'expression imaginaire a-\-b\J—i a plusieurs racines du degré n.
Pour élever l'expression imaginaire a-h b \/~ i à la puissance fractionnaire du degré —, il faut, en supposant la fraction — réduite à sa plus simple expression : i" extraire la racine /î'^"^ de l'expression donnée ; 2** élever cette racine à la puissance entière du degré m.
Enfin élever l'expression imaginaire a + b sj— i à la puissance négative du degré —mou — ~ ou ——> c'est diviser l'unité par la puissance du dearré m, ou -> ou —
En vertu des définitions précédentes, extraire la racine /i^^™^ de l'expression imaginaire a-h b\J— i , c'est déterminer les valeurs imaginaires de X qui vérifient l'équation binôme
que l'on peut aussi présenter sous la forme
(8) ^-''zrzpe^^,
pourvu que, les valeurs de p et (^ étant
(9) p = y'a2+6% Ç = arctang-
et k désignant un nombre entier quelconque, l'on prenne
(10) e=:i:±2kT:
si la quantité a est positive, et
si la quantité a est négative. Or il est clair qu'on vérifiera l'équation
en prenant
et l'équation
en prenant
a;«= peW-i e±2/.-7rvPî
