I -+■ 1.2.3. . .VI
Si les valeurs particulières de x, représentées par x^,x.,, . . . , x,n, se réduisaient aux différents termes de la progression géométrique
I, /■, /•-, ..., /■'", alors, en posant
H zz: (^0 + «1 ^ + . . . -t- a,„ X'",
on aurait, pour déterjniner les facteurs inconnus a^, a^, ... , a,^, des équations linéaires dont les premiers membres seraient semblables aux premiers membres des formules (7) du § IV, et par suite on obtiendrait les valeurs de «o» ^i» •••» <^m en ajoutant les équations dont il s'agit, après les avoir respectivement multipliées par les coeflicients des diverses puissances de x dans les développements des produits
{jo— i) {a: — r-). . .{x — /•'«),
On trouverait ainsi
, «,„—(i + /• + .. . + /■'"-*)«„,,+ . ..±ur...r
Observons enfin que, des formules (7) et (18), on déduira facilement celles qui seraient relatives au cas où les valeurs particulières de x coïncideraient avec les différents termes d'une progression quelconque, soit arithmétique, soit géométrique.
i6 RÉSUMÉS ANALYTIQUES.
^^ YI. — Des séries convergentes et divergentes, et en particulier de celles qui représentent les développements des puissances entières et négatives d'un binôme.
On appelle série une suite indéfinie de quantités
qui dérivent les unes des autres suivant une loi connue. Ces quantités elles-mêmes sont les différents termes de la série que l'on considère. Soit
la somme des n premiers termes, n désignant un nombre entier quelconque. Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s,^ s'approche indéfiniment d'une limite finie s, la série sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la série. Au contraire, si, tandis que n croît indéfiniment, la somme s^ ne s'approche d'aucune limite fixe, la série sera divergente et n'aura plus de somme. Dans l'un et l'autre cas, le terme qui correspond à l'indice /z, savoir w„, sera ce qu'on nomme le terme général. Il suffît que l'on donne ce terme général en fonction de l'indice n pour que la série soit complètement déterminée. Si, dans le cas où la série est convergente, on pose
r„ sera ce qu'on appelle le reste de la série prolongée jusqu'au ^ieme terme.
L'une des séries les plus simples est la progression géométrique
qui a pour terme général x'\ En la substituant à la série (i), on aura
5„= I + X +. . . + ^"-2+ ^""', SnX-=iX -\- X--\- . . .-\- X"^~^ -\- X"^,
RÉSUMÉS ANALYTIQUES. kl
et, par suite,
ce — l i — X
On peut mettre cette valeur de s^ sous la forme
et, comme, pour des valeurs croissantes de n, la valeur numérique de la fraction
converge vers la limite zéro ou croit au delà de toute limite, suivant qu'on suppose la valeur numérique de x inférieure ou supérieure 'a l'unité, on doit conclure que dans la première hypothèse la progression (4) est une série convergente qui a pour somme
tandis que, dans la seconde hypothèse, la même progression est une série divergente qui n'a plus de somme. Si, dans la première hypothèse, on prend s^ pour valeur approchée de s, l'erreur commise sera mesurée par la valeur numérique du reste
On indique généralement la somme d'une série convergente par la somme de ses premiers termes suivie de points ou d'un etc. Ainsi, lorsque la série (i) sera convergente, on aura
et l'équation (7) donnera, si la valeur numérique de x ne surpasse pas l'unité,
(9) I + JT -h ^'-t- ^'+. . . = =r(l — x)
FI résulte de cette dernière formule que la progression géométrique
a pour somme la première des puissances négatives entières du binôme
Hn vertu des définitions ci-dessus adoptées, pour que la série (i) soit convergente, il est nécessaire et il suffît que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme s^ vers une limite fixe : en d'autres termes, il est nécessaire et il suffît que, pour des valeurs infiniment grandes de /i, les sommes
diffèrent de la limite s, et par conséquent entre elles, de quantités infiniment petites. D'ailleurs les différences respectives entre la première somme s^ et les suivantes sont respectivement
■^«+2 ^n—— ^'rt ~1~ "/î-(-l>
"S/î-i-3 S ^ :^^ 11^ -\- ll,i-i^\ H- W,j+2,
Donc, pour que la série (i) soit convergente, il est d'abord nécessaire que le terme général u^ décroisse indéfiniment, tandis que ii augmente. Mais cette condition ne sufïît pas, et il faut encore que, pour des valeurs croissantes de n, les différentes sommes
c'est-à-dire les sommes des quantités
prises, à partir de la première, en tel nombre que l'on voudra, finissent par obtenir constamment des valeurs numériques inférieures à toute
limite assignable. Réciproquement, lorsque ces conditions sont remplies, la convergence de la série est assurée.
11 résulte encore de ces principes que, si une série convergente est uniquement formée de termes positifs, la convergence continuera de subsister, lorsqu'on changera les signes de tous ces termes ou de quelques-uns d'entre eux. Car, en opérant ainsi, on ne pourra que diminuer la valeur numérique de la somme des termes qui suivront un terme quelconque.
Pour plus de commodité, nous désignerons dorénavant par
(lo) Uo, U„ U2, ...
les valeurs numériques des différents termes de la série (i), de sorte qu'on aura
Un—Vrt OU «„=:— U„
suivant que u„ sera positif ou négatif. Cela posé, il est clair que, si la série (10) est convergente, la série (i) sera convergente à plus forte raison. De plus, il sera facile d'établir la proposition suivante :
Théouème I . — Soit Q. la limite ou la plus grande des limites vers lesquelles converge, tandis que n croît indéfiniment, la racine /ï'^""" de- la valeur numérique de u^, c'est-à-dire l'expression
La série (i) sera convergente si l'on a ^<^i, et divergente si l'on a 12>i.
Démonstration. — En effet, soit U un nombre renfermé entre les limites i et (2. On aura, dans la première hypothèse,
Alors, si n vient à croître au delà de toute limite, les plus grandes valeurs de
en s'approchant indéfiniment de û, finiront par devenir inférieures
OF.uvrcsdeC. — '^.\\,\.\. 7
à U, et on même temps les plus grandes valeurs numériques de m„ deviendront inférieures à U". Donc, dans la première hypothèse, les termes de la série
finiront par devenir (abstraction faite des signes) inférieurs aux termes correspondants de la progression géométrique
et, comme cette progression sera convergente, U étant < i, la série (i)
sera elle-même convergente. Au contraire, dans la seconde hypothèse,
on aura
Alors, si n vient à croître au delà de toute limite, les plus grandes va-
leurs de (± u^)", en s'approchant indéfiniment de (2, finiront par devenir supérieures à U, et les plus grandes valeurs numériques de m„ supérieures à U". Donc alors on trouvera, dans la série
un nombre indéfini de termes supérieurs aux termes correspondants de la progression géométrique
par conséquent, un nombre indéfini de termes supérieurs à l'unité, U étant > i; et la série (i) sera nécessairement divergente.
Si, pour des valeurs croissantes de n, la valeur numérique du rapport
(II)
Un
c'est-à-dire la fraction
converge vers une limite fixe Q, alors, en désignant par c un nombre
aussi petit que l'on voudra, on pourra donner au nombre m entier une valeur assez considérable pour que, n étant égal ou supérieur à m, chacun des rapports
et, par suite, la moyenne géométrique entre ces rapports ('), ou le
quotient
restent compris entre les quantités
Si maintenant on fait croître indéfiniment le nombre n sans changer
la valeur de m, l'expression
convergera vers la limite
et l'expression (12) vers la même limite que la suivante :
Donc la limite de cette dernière, devant rester comprise entre les quantités (2 — £, (i + £, quelque petit que l'on suppose le nombre £, coïncidera nécessairement avec la limite 12 de la valeur numérique du rapport
On peut donc énoncer le théorème suivant :
Théorème II. — Si, pour des valeurs croissantes de n, la valeur numé-
(') Lorsque n quantités positives n, a\ a". ... sont toutes supérieures à un nombre donné g-, et toutes inférieures à un autre nombre donné //, le produit naa'... est évidemment compris entre les limites g^", //"; et, par suite, la racine /<''■"* de ce produit ou la moyenne géométrique entre les quantités a, a', a", ... se trouve elle-même comprise entre les deux nombres s-, //.
rique du rapport ^^^^ converge vers une limite fixe ù, la série (i) sera convergente ou divergente suivant que cette limite sera inférieure ou supérieure à l'unité.
Lorsque, la série (i) étant convergente et composée de termes alternativement positifs et négatifs, la valeur numérique U„ du terme général décroît sans cesse pour des valeurs croissantes de n, alors, la valeur du reste rn pouvant être présentée sous la forme
ou sous la suivante
,•„ = (- lY'^ [(U„ - U„+i) + (U„+2 - U„+3) + • • •]'
selon que le premier terme u^ est positif ou négatif, le reste r„ change de signe quand on fait croître n d'une unité. Par suite, la somme s de
la série est comprise entre
Sfi et •^/j-M»
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème IIL — Lorsque, une série convergente étant composée de termes alternativement positifs et négatifs, la valeur numérique de chaque terme est inférieure à celle du terme précédent, la somme de la série est comprise entre le premier terme et la somme des deux premiers , entre cette dernière somme et celle des trois premiers , etc.
Si l'on multiplie par une constante a les différents termes de la série (i), on obtiendra la suivante
(i3) «Wo> ««1» «"2> •••
dans laquelle la somme des n premiers termes, savoir
rt ( Mo -+- "l + • • • -^- "«-1 ) = ^^«'
convergera vers une limite fixe as si la somme des n premiers termes de la série (i) converge vers une limite fixe s, et ne convergera vers
aucune limite dans le cas contraire. Cette remarque suffît pour établir le théorème suivant :
Théorème IV. — 5/ l'on multiplie les différents termes de la série (i) par une constante a, la nouvelle série ainsi obtenue sera convergente ou divergente suivant que la série (i) sera elle-même convergente ou divergente, et Ion aura dans le premier cas
(i4) aao+ ««1+ aUi-{- . . .= a(î<o+ "i + "2 + • • •)•
Corollaire. — Si, dans l'équation (i4)» on change a en -, on trouvera
Si, les séries
Uq, Mj, «2» • • • »
Wo, Wi, iVi, ...,
étant convergentes et ayant pour sommes respectives s, s\ s" on
fait
S'n~ <'o + ^1 +• • •+ *'«-!, 5;; = Wo -+- W, + . . . + W„i ,
alors, pour des valeurs croissantes de n, s^ convergera vers la limite s, s'^ vers la limite s', . . ., et par suite les sommes
Sn ~^ ^n^ Sn-\- Sfi-h S,i, ...
des n premiers termes des séries qui auront pour termes généraux convergeront vers les limites
On peut donc encore énoncer ce théorème :
Théorème V. — Lorsque plusieurs séries sont convergentes , l'addition de leurs termes généraux fournit le terme général d'une nouvelle série qui est elle-même convergente et dont la somme résulte de l'addition des sommes des séries proposées.
On a, en vertu de ce théorème,
Théorème VI. — Si, les deux séries (18)
Uq, Mj, W,, . .
étant convergentes et ayant pour sommes respectives s, s', chacune de ces deux séries reste convergente lorsqu'on réduit ses différents termes à leurs valeurs numériques, alors la série
(^9) "o*'o> «o^^iH- «i^'o, «0^2+ Wit^i+ «2<'0> •••,
dont le terme général est
sera elle-même convergente et aura pour somme le produit ss' , en sorte qu'on trouvera
( Mo + «1 + «2 + • • • ) ( ^'O + t^l H- ^'2 + • . . )
Démonstration. - Soient s^, s]^ les sommes des n premiers termes des séries (18), et s]^ la somme des n premiers termes de la série (19). Représentons par m le plus grand nombre entier compris dans ^~',
et supposons d'abord que les différents termes des séries (i8) soient tous positifs. On aura évidemment, dans cette hypothèse,
< («0+ Wi + . . .+ ?<„-i)(('o-+- t^l + . . •+ ^„-,) > («0+ «l + . • .+ U,n) (^0+ t'i + . . .4- i'oi)
ou
^ ^iii + l ^m+l •
Concevons maintenant que l'on fasse croître n au delà de toute limite. Le nombre m, qui ne peut être que '-^—^ ou '^-^— ' croîtra lui-même indéfiniment, et les deux sommes s„, ^,„+< convergeront vers la limite s, tandis que s[^ et s'^,^^^ convergeront vers la limite s'. Par suite, les deux produits Sns[^, ^/n+.^i„+, et la somme s^, comprise entre ces deux produits, convergeront vers la limite ss'-, ce qui suffît pour établir le théorème énoncé. Il en résulte aussi que l'expression
convergera, dans l'hypothèse dont il s'agit, vers la limite zéro.
Supposons à présent que, les différents termes des séries (i8) conservant les mêmes valeurs numériques, tous ces termes, ou quelquesuns d'entre eux, viennent à changer de signe, ce changement ne pourra que diminuer la valeur numérique du second membre de la formule (21). Donc cette valeur numérique, ou celle de la différence
convergera encore, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro, et s"^ vers la limite ss' du produit s^s'^^. Donc alors la série (19) sera encore convergente et aura pour somme le produit ss'.
Lorsque, les termes de la série (i) renfermant une certaine variable ûOy cette série est convergente et ses différents termes fonctions continues de x dans le voisinage d'une valeur particulière attribuée à
56 RESUMES ANALYTIQUES.
cette variable, la somme s^ des n premiers termes, le reste r^ et la somme s de la série sont encore trois fonctions de la variable x, dont la première est évidemment continue par rapport à x dans le voisinage de la valeur particulière dont il s'agit. Gela posé, considérons les accroissements que reçoivent ces trois fonctions, lorsqu'on fait croître X d'une quantité infiniment petite. L'accroissement de s„ sera, pour toutes les valeurs possibles de n, une quantité infiniment petite, et celui de r„ deviendra insensible en même temps que r„, si l'on attribue à n une valeur très considérable. Par suite, l'accroissement de la fonction 5 ne pourra être qu'une quantité infiniment petite. De cette remarque on déduit immédiatement la proposition suivante :
Théorème VII. — Lorsque les différents termes de la série (i) sont des fonctions d'une variable Xy continues par rapport à cette variable dans le voisinage d'une valeur particulière pour laquelle la série est convergente , la somme s de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de x.
Considérons à présent une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de x, c'est-à-dire une série de la forme
et soit (0 la limite ou la plus grande des limites vers lesquelles converge, pour des valeurs croissantes de n, la racine n^*""^^ de la valeur
numérique de «„ ou l'expression (±: «,,)". Comme la limite ou la plus grande des limites de
sera
il est clair que la série (22) sera convergente quand la valeur numérique du produit wa? sera inférieure à l'unité, c'est-à-dire quand la
valeur numérique de x sera inférieure à -■> et divergente quand la valeur numérique de x deviendra supérieure à -• Ajoutons que cd sera
précisément la limite de la valeur numérique du rapport ^^^; si,
(Xft
pour des valeurs croissantes de n, cette valeur numérique converge effectivement vers une limite fixe. On peut donc énoncer ce théorème :
Théorème VIII. — Si oj désigne la limite ou lapins grande des limites
de l'expression (=b ««)", ou bien encore une limite fixe vers laquelle converge, tandis que n croît indéfiniment, la valeur numérique du rapport
la série (22) sera convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites
et divergente pour toutes les valeurs de x situées hors de ces limites.
Si la série (22) est convergente pour des valeurs numériques de x inférieures à un nombre donné c, ce nombre sera nécessairement inférieur ou tout au plus égal à -, et la série (22 ) continuera d'être convergente quand on remplacera chaque terme par sa valeur numérique. Gela posé, on déduit immédiatement du théorème VI la proposition suivante :
Théorème IX. — Si deux séries ordonnées suivant les puissances entières et positives de x, savoir
, ,. i Cfo, (7, J-, <72^^ . . .,
( ho, b^x, bn.x"-, . . .,
sont convergentes pour des valeurs numériques de x inférieures à un nombre donné c, la série
(25) «0^0, («0^1 + «i^o)-^*^, {aobo.-haibi + aobo)jc\ ...
sera elle-même convergente entre les limites
OEuires de C. — S. U, t. X. o
et l'on aura, pour des valeurs de x renfermées entre ces limites,
( = «0^0 H- («0^1 + «1^0) ■^^ -!- («0^2+ «1^1-+- a^bo)x^
Corollaire L — Si deux ou plusieurs fonctions de x représentées par y, z-, . . . sont développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et positives de oo pour des valeurs de x comprises entre les limites — c, -\- c, le produites... sera, pour les mêmes valeurs de x, développable en une semblable série.
En supposant j = 5 = . . . , on obtient cet autre corollaire :
Corollaire IL — Si une fonction de x représentée par j est développable en une série convergente de la forme
pour des valeurs de x comprises entre les limites — c, -h c, le carré, le cube de j et ses diverses puissances seront, pour les mêmes valeurs de X, développables en de semblables séries, de sorte qu'on aura
Théorème X. — Lorsque deux séries convergentes, ordonnées suivant les puissances entières et positives de x, conservent des sommes égales pour toutes les valeurs numériques de x qui ne surpassent pas un nombre donné, ces deux séries sont nécessairement identiques.
En effet, admettons que, pour des valeurs numériques de x inférieures à c, on ait constamment
rto + «1 d? + aa ^^ + . . . = 60 + b^x + b^x^^ . . . ,
on en conclura, en supposant ^r = o,
«0 =■ bç, et, par conséquent,
puis, en posant de nouveau x = o,
«1= 61, et ainsi de suite.
Concevons maintenant que dans la formule (5) on attribue à la variable x un accroissement a, dont la valeur numérique soit très petite et inférieure à celle de i - ic. Cette formule donnera
et, comme on aura
on trouvera encore
I -I- (j7 + a) + (^^+ 2a,3; + a^) +. . . puis, en multipliant successivement la somme
i — cc (i — x)'^ {i — x-y^ par les différents termes du polynôme
(i^«) ,ia^'«-'— {n),oc''jr''-^ — . . .— a", et ayant égard aux formules (i4) et (26), on tirera de l'équation (28)
+ [1 + 2.z' + 3^* + . . .4- (/i — 1) ^"-^ja
60 RESUMES ANALYTIQUES.
D'ailleurs, en vertu du théorème X, les coefficients des puissances semblables de a devront être les mêmes dans les deux membres de l'équation (29). On aura donc encore
I T T*" /ï rg\tt — 1
(5o) / ^ ' {^ — xf {^ — xf \ — X
I + 'ix + ^x--\-... .-h (/i — \)^x''-
(l — xy {l — xf (1 — X)'
et généralement
(^^) i I X"- nx''~^ («),„-, iC«-"'+'
D'autre part, il est facile de s'assurer que la série
(32) I, {m),„,x, {,n-^i),„^x\ ..., (/« - 1),„, j7"-"% ..., qui a pour terme général
(33) {^m-^ n — \)„,.ix"',
reste convergente pour toute valeur numérique de x inférieure à l'unité. Car, pour déduire la série (32) de la série (22), il suffit de
poser
et l'on trouve alors
Or, si l'on fait croître indéfiniment le nombre ji, sans changer la valeur de m, la valeur précédente du rapport ^^^^' convergera vers la limite w = i. On aura donc aussi - = i, et la série (32), en vertu du théorème VIII, sera convergente pour les valeurs de x renfermées entre des limites x= — i,x= + i. Donc, pour de semblables valeurs
UÉSUxMÉS ANALYTIQUES. 61
i\o.x, l'expression (33) et celle qu'on on déduit on remplaçant n par n — m -{-i, savoir
deviendront infiniment petites en mémo temps que -• Par conséquent, si, la valeur numérique de x étant inférieure à l'unité, on fait croître indéfiniment le nombre n, les quantités
dont les premières sont ce que devient la dernière quand on attribue successivement à m les valeurs particulières i, 2, 3, . . . , convergeront toutes vers la limite zéro, et l'on tirera de la formule (3i)
(35) 1 + (m),„,a.- + (m + i),„, x'- -f- (m 4- 2),„, œ^ + ...= j^ZT^Tyl OU, ce qui revient au même,
(36) n-(;«)i^ + (m-+-i)2^'-+-(^ + ^0î^'-+----= JYZT^i' On trouvera, par exemple,
{i-xf
Ajoutons que l'équation (35) ou (36) peut encore s'écrire comme il
suit:
,.,„, , , m m(m-{-i) ^ m(m -h i) (ni -h 2) ,
(38) (i — ^ --'« = iH x-\ ^- ' x^ H ^ — '-^- ' .r' + ...
Si dans cette dernière on remplace x par — x, on obtiendra la suivante ,
/ov , , m m(m-\-i) , m(m -\- 1) (m + 2) ,
qui subsiste, comme la formule (38), pour des valeurs numériques de X inférieures à l'unité. Enfin, si dans la formule (35) on remplace X par -> celle qu'on obtiendra, savoir
subsistera pour des valeurs numériques de x inférieures à celles de a, et sera précisément ce que devient la formule (2) du § II, quand on y remplace m par —m,
§ VII. — Développements des exponentielles e^, A^.
Si, dans la formule (6) du § II et la formule (38) du § VI, on remplace X par a, elles donneront
lit i^ » \ lit u. I
(X) 04-ar =:i + ma+-^fi--j + -^-^(
m'' a- I I \ m^ Cf. / i \ / 2
ni / \ m
m'''a} / I \ m}ci? ( i \ / 2
Si maintenant on fait croître indéfiniment le nombre m et décroître indéfiniment la valeur numérique de a, mais de manière que le produit
converge vers une limite finie x, les divers termes du second membre, dans chacune des formules (i) et (2), s'approcheront sans cesse des différents termes de la série
qui restera convergente pour une valeur finie quelconque de la variable X. En effet, le terme général de la série (3) sera
et, si l'on pose
le rapport
convergera, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite w — o. Donc la série (3) sera convergente pour toutes les valeurs finies de xcomprises entre les limites
a: =: = — 00, X :=■■-=: ce,
c'est-à-dire pour une valeur finie quelconque de la variable x. Cela posé, en admettant que l'on ait
(4) ï\m{moc) = a;, on tirera des formules (i) et (2)
(5) lim(i + a)'" = lim(i — a)-'"= [ + ^H h
Il y a plus : pour que la formule (4) entraîne la formule (5), il n'est pas nécessaire que m, venant à croître indéfiniment, conserve toujours une valeur entière. Car, si l'on nomme fji une quantité positive qui croisse indéfiniment tandis que a diminue, mais de manière que l'on ait
(6) \\m{ix(x) =:x,
et m le nombre entier immédiatement inférieur à u., alors, [f. étant renfermé entre les deux nombres m, m -h i , le rapport — ? compris entre
1 et I H , aura pour limite l'unité. Donc la formule (6) entraînera
les formules (4), (5), et, comme on aura d'ailleurs
par conséquent,
lim(i + a)V-= lim(i + a)"', lim(i — a)-!^=Iim(i — a)-"% on trouvera encore ( 7 ) lim ( 14- a)!^ — lim ( I — a)-t^- = I + ^•
La formule (6) sera vérifiée, si l'on suppose
puisque, dans cette hypothèse, on aura constamment \^'y. — x. Alors la formule (7) donnera
(8) lim(i+a)«— lim(i — a) «:^n-.r+— +-^ h...:
puis, en réduisant x à l'unité, et nommant e la somme de la série (3) pour X — I, en sorte qu'on ait
^)n trouvera
.(10) lim(i + a)*==lim(i — a) «=e.
On aura, par suite,
<iO lim(i + a)^r~lim(i — a) «— e^,
^t l'on tirera de la formule (i i), jointe à la formule (8),
Le nombre e est celui qui sert de hase au système des logarithmes qu'on appelé hyperboliques ou népériens. L'équation (12), qui fournit le développement d'une exponentielle de la forme e'' en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, subsiste quelle que soit la valeur finie attribuée à la variable x.
Si, a étant positif, on prend x = moL, les formules (i), (2) donne-
ront
i.2\ mj i,2.3\ fnj\ m
i.2\ mJ ï .2.6 \ rnj \ m
et de ces dernières, comparées à l'équation (12), on tirera
(i4) (i + a)^<e^<(i-ar«,
par conséquent
La formule (i5) subsiste pour une valeur positive quelconque de a.
Observons encore que, en vertu de l'équation (12), la formule (7) sera réduite à
(16) lim(i + a)i^=lim(i — a)-(^=e^.
Donc l'équation (6) entraînera toujours la formule (16).
Soit maintenant A une quantité positive quelconque. Désignons à l'aide de la lettre caractéristique L les logarithmes pris dans le système dont la base est A, et à l'aide de la lettre caractéristique 1 les logarithmes népériens, pris dans le système dont la base est e. Enfin soit
(17) a = lA = j^ (»)
le logarithme népérien de A. On aura
(•) Le logarithme x = Lj du nombre j-, dans le système dont la base est A, n'est autre chose que l'exposant x de la puissance à laquelle il faut élever A pour obtenir y, c'està-dire la valeur de j propre à vérifier l'équation
Cela posé, soient a:'= L'/ et ^ = L'A les logarithmes de y et de A, relativement à une OEuvres de C. — S. H, t. X. 9
et, par suite,
(iq) \^ r=. e'^^ =:l \ ^ a X -\ \ --
OU, ce qui revient au même,
^MA2 x^\k?
(20) A^ = i + a7lAH-
Cette dernière formule subsiste, comme l'équation (12), pour une valeur finie quelconque de la variable x.
§ VI H. — Des séries doubles ou multiples. Nombres de Bernoulli. Soient
des quantités quelconques rangées sur des lignes horizontales et verticales, de manière que chaque série horizontale ou verticale renferme une infinité de termes. Le système de ces quantités sera ce qu'on peut appeler une série double, et ces quantités elles-mêmes seront les différents termes de la série, qui aura pour terme général
m, m! désignant deux nombres entiers quelconques. Pareillement, on
nouvelle base A' distincte de A. On aura
A := A'*, A-^ = A'*^ et, par suite,
x'=^ hx. — z^ b.
Donc le rapport entre les logarithmes x\ x dej, dans deux systèmes différents, conserve la même valeur h, quel que soit r. Si l'on pose en particulier A'= e, on trouvera
LA Le Le
peut imaginer une série triple, dont le terme général
serait une fonction donnée des trois indices ou nombres entiers m, m! , m", une série quadruple, ..., et finalement une série multiple dont le terme général serait une fonction de divers indices m, m', m", m", ..., chacun de ces indices pouvant recevoir successivement les valeurs entières
Cela posé, nommons s^ la somme formée par l'addition d'un nombre fini ou même infini de termes de la série multiple, cette somme étant composée de manière qu'elle renferme au moins tous les termes dans lesquels la somme des indices est inférieure à n, et que jamais elle ne comprenne un terme correspondant à des indices donnés, sans renfermer en même temps tous les termes qu'on en déduit en remplaçant ces mêmes indices, ou quelques-uns d'entre eux, par des indices moindres. Si, toutes les fois que les deux conditions précédentes sont remplies, la somme s^ converge, pour des valeurs croissantes de /^, vers une limite fixe s, la série multiple sera dite co/n^ergente, et la limite en question s'appellera la somme de la série. Dans le cas contraire, la série multiple sera divergente et n'aura plus de somme. Si, dans le premier cas, on pose
r„ sera le reste de la série multiple, et ce reste, qui représentera ce qu'on peut nommer la somme de tous les termes non compris dans s^, deviendra infiniment petit pour des valeurs infiniment grandes de n. Enfin, si l'on pose dans le même cas
et généralement
la série simple
(5) Po, (^1, (^2, ...
sera elle-même une série convergente qui aura pour somme s, pour terme général v,^, et pour reste r^.
Comme, d'après ce qu'on vient de dire, les termes non compris dans la somme s,^ se réduiront, soit aux différents termes dans lesquels la somme des indices est au moins égale à n, soit à une partie de ces mêmes termes, on peut évidemment énoncer la proposition suivante :
Théorème I, — Une série multiple sera convergente si, dans cette série, les termes où la somme des indices devient au moins égale à n, étant ajoutés les mis aux autres en tel nombre et en tel ordre que l'on voudra, fournissent une somme qui devienne infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de n.
Il y a plus : si tous les termes de la série multiple sont positifs, cette série ne pourra être convergente sans que la condition que nous venons d'énoncer soit remplie, et, dans ce cas, on pourra évidemment, sans détruire la convergence de la série, changer les signes de tous ses termes ou de quelques-uns d'entre eux. On peut donc encore énoncer cet autre théorème :
Théorème II. — Une série multiple est toujours convergente, lorsque les valeurs numériques de ses différents termes forment une série convergente.
Si les différents termes de la série proposée étaient les uns positifs, les autres négatifs, il pourrait arriver que la série fût convergente, et que les termes dans lesquels la somme des indices serait au moins égale à n, étant ajoutés les uns aux autres dans un certain ordre, ne' donnassent pas toujours une somme infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de n. Cette remarque est applicable même aux
séries simples. Ainsi, en particulier, si l'on considère la série simple
on aura
et, comme les valeurs numériques des différences
seront toutes renfermées entre les limites
qui deviennent infiniment petites pour des valeurs infiniment grandes de n, on peut affirmer que la somme s^ convergera pour des valeurs croissantes de n vers une limite fixe 5, et que la série (6) sera convergente. Mais, si, au lieu d'ajouter les uns aux autres les termes
Il + \ n -[- 1 n-\-ô
pris dans l'ordre où ils se trouvent, on venait à intervertir cet ordre en choisissant parmi eux des termes affectés du même signe, par exemple, les suivants
la valeur numérique de la somme de ces derniers termes, savoir
/i-i-2 « + 4 on
surpasserait évidemment le produit
et cesserait d'être infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes da n.
Lorsqu'une série multiple est uniquement composée de termes positifs, alors, pour que la condition énoncée dans le théorème I soit remplie, et par suite, pour qu'on soit assuré de la convergence de la série, il suffît évidemment qu'en adoptant, pour former la somme désignée par s^, un des différents modes qui peuvent satisfaire aux conditions précédemment indiquées, on obtienne une valeur de Sn qui converge vers une limite fixe s, tandis que n croît indéfiniment. De cette remarque, jointe au théorème II, on déduit immédiatement la proposition suivante :
Théorème III. — Nommons s^ la somme formée par l'addition d'un nombre fini ou même infini de termes d'une série multiple, celte somme étant composée de manière qu'elle renferme au moins tous les termes dans lesquels la somme des indices est inférieure an, et que jamais elle ne renferme un terme correspondant à des indices donnés, sans renfermer en même temps tous les termes qu'on en déduit en remplaçant ces mêmes indices par des indices moindres. Si, dans un cas particulier où ces deux conditions soient remplies, la somme s^ et celle qu'on obtient en substituant aux différents termes qui la composent leurs valeurs numériques convergent l'une et l'autre vers des limites fixes, il en sera de même dans tous les cas, et la série proposée sera convergente.
Scolie. — Il est important d'observer que les deux sommes dont il s'agit ici convergeront vers des limites fixes, si la série (5) et celle en laquelle la série (5) se transforme lorsqu'aux sommes de termes désignées par Çq, p,, V2, ... on substitue les sommes des valeurs numériques de ces mêmes termes sont l'une et l'autre convergentes.
Considérons, pour fixer les idées, une série double, par exemple la série (i). Si cette série est convergente, alors, en prenant pour ^^j la
somme des termes dans lesquels les indices offrent une somme inférieure à n, on trouvera
et la série (5), réduite à
(il) Wo,0) "0,H-"l,0) '^0,2+ "l,l+ "2,05 •••>
sera une série simple convergente, dont la somme s ne différera pas de celle de la série double. Si, dans le même cas, on prend pour s,, la somme des termes où le premier indice est inférieur à n, on trouvera
par conséquent, chacune des séries horizontales comprises dans le Tableau (i) sera convergente, et les sommes de ces séries convergentes, savoir
, ov ; -1,0+ "1,1+ ''1,2
formeront elles-mêmes une nouvelle série convergente dont la somme sera encore s. Enfin, si l'on prend pour s,j la somme des termes de la série double où le second indice est inférieur à n, on trouvera
par conséquent, chacune des séries verticales comprises dans le Tableau (i) sera convergente, et les sommes de ces séries convergentes, savoir
formeront à leur tour une nouvelle série convergente dont la somme sera encore s. Ajoutons que du théorème III et du scolie placé à la
72 RESUMES ANALYTIQUES.
suite de ce théorème on déduira immédiatement la proposition suivante ;
Théorème IV. — Si des trois séries simples (ii), (i3), (i5) l'une est convergente et demeure convergente, tandis que l'on remplace les quantités Mp 0, w, (,, Mo , , ^2,0» • • • par leurs valeurs numériques, les deux autres seront pareillement convergentes, et la série (i) sera une série double convergente, dont la somme ne différera pas de celles des trois séries simples dont il s'agit.
Pour exprimer que s représente la somme de la série (i) supposée convergente, nous écrirons simplement
Soit maintenant z une fonction de deux variables x, y. Pour que cette fonction soit développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x, y, c'est-à-dire, en d'autres termes, pour que z puisse être considéré comme équivalent à la somme d'une semblable série, il ne suffira pas, comme on pourrait le croire au premier abord, que z soit développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x, et le coefficient de chacune de ces puissances en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de y, en sorte qu'on ait
(17) Z^= Uq-\- U^X + UiX'^ + . . .,
!Uo = «0,0 + «'cij + «0,27^ H- . . . , "1 = «1,0 + «l,l7 + ^'1,2/^ + . . . , "2=«2,0+«2,l7 + «2,27^ + - • •>
et, par suite,
( s = ao,o + «o,i7 + «o,2y^ + - • • + (û'i,o + «i,i7-+-«i,2y^^--- ■)^ (19) ]
mais, en vertu du théorème IV, z sera effectivement développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de op, y, je veux dire, que s sera la somme de la série double
!^o,o» '^o.iJK» ^oif ) • • •»
si le second nombre de la formule (19) conserve une valeur finie et déterminée, lorsqu'on y remplace les variables x, y et les coefficients
par leurs valeurs numériques.
Pour éclaircir ce qu'on vient de dire par des exemples, concevons d'abord que l'on veuille développer, suivant les puissances entières et positives de x, j, le produit
y — jC i j
Alors, pour des valeurs de x, y propres à remplir les deux conditions (21) ^'<i, j"<i,
on aura
et, par suite,
(24) ( Tzr^ 7:^ = ('+7 + j' + ---) + -3? (,+^4^2^ ,)
! -+- ^Mi +7+7' + - ••)+••••
Or, comme la formule (24) continuera de subsister quand on y remplacera les variables x, y par leurs valeurs numériques, on peut affirmer que, si les conditions (21) sont remplies, le produit
OEuvres de C— S.n. .X lO
74 UÉSUMÉS ANALYTIQUES.
sera développablo en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x,y, en sorte qu'on aura
(25) <' +x -^ xy-\-xy^ +..
qu'alors aussi chacune des lignes horizontales ou verticales comprises dans le second membre de la formule (20) offrira une série simple convergente, et qu'il en sera encore de même de la série simple
(26) I, x-\-y, x^ -\- xy -{- y^ , x^ -^ x^ y -+- xy^ + y^ , ...,
ce qu'on peut aisément vérifier en écrivant les divers termes de cette dernière comme il suit :
Considérons en second lieu la fonction
Si l'on suppose remplies les deux conditions
7*<r, x''<{i—yy,
on aura
y.3 — ' ' '^7 1 ^^7 ' loj 1 • • •
et, par suite,
i — oo—y
:zzi -^ y ^y^-h. . .^ a;{i + 2y + 3 j- -h . . . )
Toutefois, on ne saurait conclure de la formule (3i) qu'on ait toujours, quand les conditions (28) sont remplies,
-^ or -h 2 jc y -h ^x y^-h [\x y^ -\- 4- x'^ 4- 3 x'^y -+- 6 x'^y^ -+- i o ^^ j^ 4- H- ^^ -4- 4 ■^^^J 4- I o o;^ j'^ H- 20 x^y^ 4-
et que, en conséquence, la série simple
I, J7 4-J, x-4-2^jK4-J-, a?*4- 3.57^/ 4- 3^/-4- J^ ...,
c'est-à-dire la progression géométrique
soit alors nécessairement convergente; car il est visible que celte progression sera divergente, lorsque les variables x, y étant négatives recevront des valeurs numériques inférieures à l'unité, mais dont la somme surpassera l'unité, par exemple lorsqu'on supposera
et, par suite.
Alors, cependant, les conditions (28) seront remplies. Mais, si, la valeur numérique de y étant inférieure à l'unité, la valeur numérique de X ne surpasse pas la plus petite des deux quantités
1—7. I-+-7' la formule (3i) continuera de subsister, tandis qu'on y remplacera les
variables x, y par leurs valeurs numériques, et entraînera l'équation (32).
Concevons à présent que, pour des valeurs numériques de x inférieures à c, la fonction j de x puisse être développée en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x, et que, pour des valeurs numériques de y inférieures à c', la fonction z de y puisse être développée en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives dey, de sorte qu'on ait, entre les limites x = ~ c, x = c,
et, entre les limites j = — c', j = c',
(34) z=zbo-h biy-]-b^j--+-
Les quantités J^ J^ ... pourront elles-mêmes, pour des valeurs numériques de x inférieures à c, être développées en séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et positives de x, à l'aide des formules
(voir le § VI, théorème IX, corollaire II), et l'on aura, par suite,
(36) z '— b^-i- ùi{aQ-^ ayjc -h a^a;--^ . ..) + ^2(^0 "•" ^'^o^i'^ + •••)+••• •
Toutefois, on ne devra point conclure de la formule (36) que z soit développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x, et que l'on ait
(37) - — ^0 + '^o'^i + «0 ^2-H---+ («1^1 + 2ao«i^2+---)-^ + («2^l+•••)'^^^-••• pour toutes les valeurs numériques de x qui, étant inférieures à c, fournissent des valeurs numériques de y inférieures à c'. Mais, en vertu du théorème II, la formule (87) deviendra, pour une valeur
donnée de x, une conséquence nécessaire de la formule (36), si les séries comprises dans les seconds membres des formules (33), (34) restent convergentes quand on réduit chaque terme à sa valeur numérique après avoir substitué dans la première série la valeur donnée de X, et dans la seconde série une valeur de y égale à la somme des valeurs numériques des termes de la première série. Or c'est ce qui arrivera nécessairement, si l'on attribue à x une valeur numérique inférieure à c, et pour laquelle la somme des valeurs numériques des termes de la première série soit inférieure à c'. On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème V. — Supposons que, pour des valeurs numériques de x inférieures à c, y soit développahle en une première série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x, et que, pour des valeurs numériques de y inférieures à c' , z soit développable en une seconde série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives dey; z sera développable en une nouvelle série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de la variable x , pour toute valeur de cette variable choisie entre les limites — c, -+- c de telle manière que la somme des i^aleurs numériques des termes de la première série soit inférieure à c' .
Supposons, pour fixer les idées,
et
On tirera de l'équation (38), pour une valeur quelconque de la variable x,
et de la formule (39), pour une valeur numérique de j inférieure à l'unité,
( 4 < ) ; = t -^ J 4- JÎ + j3 , —
78 RESUMES ANALYTIQUES.
On aura donc
. , . t.Z/ • ce " OC
\ ib
pour toutes les valeurs de x qui rendront j-< r, c'est-à-dire pour toute valeur positive de x et pour toute valeur négative comprise entre les limites o, — i , 25o . . . , le nombre i , 25o . . . étant la racine positive unique de l'équation
( 44 ) 1 ô ~^ o-^f -f- . . . = I ou = 2.
Or il ne résulte pas de la formule (43) que la fonction
soit développable, pour toutes les valeurs positives de x, en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, et que l'on ait par suite, en prenant x > o,
,,.. i-e ^ 2 V4 6/ VS 6 247
16 8 72 120/ OU, ce qui revient au même,
,ra\'^ T I ^^ I x* I ^^
Mais, en vertu du théorème V, la formule (42) ou (43) entraînera
l'équation (46) si la valeur positive ou négative de x est comprise entre les limites
puisqu'alors les valeurs numériques des termes de la série comprise dans le second membre de la formule (4o) fourniront une somme inférieure à l'unité.
En calculant les coefficients des diverses puissances de x dans le second membre de la formule (45), on s'assure facilement que ceux de la troisième et de la cinquième puissance se réduisent à zéro. Or on peut démontrer qu'il doit en être de même des coefficients de toutes les puissances de degré impair supérieures à la première, c'està-dire que la différence
développée suivant les puissances entières et positives de x doit uniquement renfermer des puissances de degré pair. En effet, cette différence, pouvant s'écrire comme il suit
ne change pas de valeur quand on y change le signe de x. Son développement, devant jouir de la même propriété, ne saurait renfermer les puissances impaires de la variable x. Observons encore que l'expression
