CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

Dans un Mémoire précédent, nous avons fait voir comment les lois de propagation et de polarisation de la lumière pouvaient, se déduire des équations aux différences partielles qui représentent le mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle {voir le V^ Volume des Exercices de Mathématiques). Toutefois, comme les formules (ii) de la page i3i du IV^ Volume des Exercices (*), auxquelles nous avons eu recours, ne sont qu'approximatives, les lois que nous avons établies ne sont pas rigoureusement exactes. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que, dans l'énoncé de ces lois, on ne trouve rien qui soit relatif ii la nature de la couleur. Or la dispersion des couleurs par le prisme prouve que, dans les corps transparents, la vitesse de propagation de la lumière n'est pas la même pour les différentes couleurs. D'ailleurs les physiciens qui ont adopté l'hypothèse des ondulations lumineuses supposent avec raison que la nature de chaque couleur est déterminée par la durée plus ou moins grande des oscillations des molécules de l'éther, de même que la nature du son produit dans un corps solidi^ ou fluide est déterminée par la durée plus ou moins grande des oscillations des molécules de ce corps. Il est donc naturel d'admettre qu'il existe une relation entre la vitesse de propagation de la lumière el

(M OEuvre.1 de Cauchy, S. II, T. IX, p. i66.

la durée des vibrations lumineuses. Or cette relation ne saurait se déduire des équations aux différences partielles inscrites sous le n" il, à la page i3i du IV^ Volume des Exercices ('). Mais il importe de remarquer que ces équations se tirent elles-mêmes de formules plus générales que j'ai données dans le IIP Volume (p. 190 et suiv.) (^). Frappé de cette idée, M. Coriolis me conseilla de rechercher si la considération des termes que j'avais négligés en passant des unes aux autres ne fournirait pas le moyen d'expliquer la dispersion des couleurs. En suivant ce conseil, je suis heureusement parvenu à des formules à l'aide desquelles on peut, non seulement assigner la cause du phénomène dont il s'agit, mais encore en découvrir les lois qui, malgré les nombreux et importants travaux des physiciens sur cette matière, étaient restées inconnues jusqu'à ce jour.

Pour que l'on puisse saisir plus facilement les principes sur lesquels repose l'analyse dont je vais faire usage, je reproduirai d'abord en peu de mots les équations différentielles qui déterminent le mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle.

§ f . — Equations différentielles du mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle.

Considérons un système de molécules ou points matériels distribués arbitrairement dans une portion de l'espace et sollicités au mouvement par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Soient

m la masse d'une de ces molécules;

m, m', m", . . . celles des autres, et supposons que, dans un état d'équilibre du système, x, y, z désignent les coordonnées de la molécule m rapportées à trois axes rectangulaires;

X -h A^, y -h Aj, 5 -h As les coordonnées d'une autre molécule m ;

r la distance des molécules lu et m\

(1) OEuvres de Cauchy, S. II, T. IX, p. i66. r^) U., S. II, T. VIII, p. 229 et suiv.

a, p, y les angles formés par le rayon vecteur r avec les demi-axes des coordonnées positives.

Admettons d'ailleurs que l'attraction ou la répulsion mutuelle des deux masses m et m, étant proportionnelle à ces masses et à une fonction de la distance r, soit représentée, au signe près, par

(i) mmf(/'),

f(r) désignant une quantité positive lorsque les masses m, m s'attirent, et négative lorsqu'elles se repoussent. La résultante des attractions ou répulsions exercées sur la molécule m par les molécules m, m' , . . . aura pour projections algébriques sur les axes coordonnés

(2) mS[/« cosa f(/-)], mS[m cos[3 f(/-)], m S[/?i cosy f(/-)]»

la lettre S indiquant une somme de termes semblables, mais relatifs aux diverses molécules //z, m', ..., et, puisque le système est, par hypothèse, en équilibre, on aura nécessairement

(3) S[w cosa f(/')] ~ o, S[mcosj3f(/-)] = 0, S[/n cosy f(/")] = o-

Ajoutons que les quantités Aa;, Aj, As pourront être exprimées en fonction de r et des angles a, p, y par les formules

(4) Aa;=i/-cosa, A/=:rcos|3, A5=:/'cosy.

Supposons maintenant que, le système venant à se mouvoir, les molécules m, m, jn' , ... se déplacent dans l'espace, mais de manière que la distance de deux molécules m et m varie dans un rapport peu différent de l'unité. Soient, au bout du temps /,

des fonctions de x, y, s, t qui représentent les déplacements très petits de la molécule m, mesurés parallèlement aux axes coordonnés,

la distance des deux molécules m, m. La quantité très petite £ expri-

niera la dilatation linéaire mesurée suivant le rayon vecteur r; et, comme les coordonnées respectives des molécules m, m deviendront

.T+.l-\-^{x + l), j + YH- A(/ + Y)), r + Ç + A(^ + 0» les projections algébriques de la distance r(i h- e) seront évidemment

Ax -1- A|, A/h-Ay), As 4- AÇ ou, ce qui revient au même,

rcosa + A|, /-cosP + Ay), /-cosy + AÇ. On trouvera par suite

(5) /•2(i -)- £)2— (/-cosa + A|)--f- (r cos[3 + ATr))2H- (/'cosy -h AÇ)-, et l'on en conclura

(6) ] + £ = t / 1+ -(cosa A| + cos[3 A-^ + cosy AÇ) h — ^ (A^-4- Atq2 + AÇ^).

D'ailleurs, au bout du temps t, le rayon vecteur mené de la molécule m à la molécule m formera, avec les demi-axes des coordonnées positives, des angles dont les cosinus seront représentés, non plus par

(7) mais par

cosa =t:

Ao^

cos(3

Ajt + A^

cosa

cosy

Ay + ^.n

As + AÇ

En conséquence, les projections algébriques de la force motrice résultante des attractions ou répulsions exercées par les molécules m,

cos[3 +

Ari

cosy-f-

AÇ

m', ... sur la molécule m, deviendront respectivement égales aux trois produits

1 m S m ( cos a

(9) -^ m S m( cos [3

I m S ml cos y

Ay)'