AÇ
rences finies étant considérés comme des quantités infiniment petites du premier ordre, on néglige, dans les seconds membres des formules (il), les infiniment petits des ordres supérieurs au premier. Alors, comme on aura, en vertu de l'équation (6),
(12) . e =r - (cosa AH + cos(3 Ay] -t- cosy AC),
on ne devra conserver dans le calcul que la première puissance de £, et, en faisant, pour abréger,
on trouvera
(.4) fl£li±l)]=f(,)^.,^(,).
Par suite on tirera des formules (i i), réunies aux équations (3),
( S = ^ ["' ^^ ^^] + S [mf{r)z cosa], (i5) |^ = s|^/n^-^Anj+S[/;^/(/-)£Cos(3],
[ ^ :=s[m^Açj H-S[m/(/-)£COSy] OU, ce qui revient au même, g =s[,«M±£^5W(£)a|J h- s [m '"'' ^°.^^»'' A-n] +s[,u ^"^-^«^yA') a;] ,
p = S [m '="^y'=»^°'/('-) A?] + S [m ^«irf^îË/W A«] - S [m !W±i^2!!l/M AçJ .
Telles sont les équations propres à représenter le mouvement d'un système de molécules qui, étant sollicitées par dos forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, s'écartent très peu des positions qu'elles occupaient dans un état d'équilibre du système.
§ II. — Intégralion des équations établies dans le paragraphe précédent.
Quelles que soient les valeurs générales de ^, y], X, propres à vérifier les équations (i6) du paragraphe précédent, on pourra toujours les supposer développées en séries d'exponentielles dont les exposants soient des fonctions linéaires des variables indépendantes x, y, z. En d'autres termes, on pourra représenter ^, y], 'C par des expressions de la forme
(l) ^ Y] r= ib ef"'^+''>'+"'-^v/^,
II, V, sv désignant des constantes arbitraires, znais réelles, a, b, t des fonctions réelles ou imaginaires de x, y, z, t, convenablement choi- ' sies, et le signe S indiquant une somme de termes semblables les uns aux autres, mais correspondants à divers systèmes de valeurs des constantes arbitraires w, c, w. Cela posé, soient ï», e, f les parties réelles des fonctions a, b, c, et - 0, — 1), - i les coefficients de v-7 dans ces mêmes fonctions. Les formules (i) deviendront
(2) < ri = i(c — I) v^ 1^ e(«xH-c.>-+u'c)v'rT^ ( K =■ Ii(f — i V^— ^) (?(''-^+''r+»';)v/=^.
Comme on aura d'ailleurs
(3) eC-^-'r— )v/rT^ ^^^g(^^^ ^ ^,^, ^ ^^,,^ ^ ^;— ^ ^.^^^^^^ ^ ^^ ^ ^^^^^^^ ^■
on tirera des équations (2), en développant les produits renfermés sous le signe 2 et supprimant les parties imaginaires dans les valeurs de \, v], '( qui doivent rester réelles,
(^) j ^ = -2^[fCos(«.r4-rr + ,T.-) + |jsin(//,r + cj + u-c)], i
\ Ç — i[fcos(«.r + r,--|,vc) + i sin(//.r + r r + wz)\. OEiwres de C. - S. M, t. X. 26
Soient maintenant
Les constantes a, h, c vérifieront la formule
et représenteront les cosinus des angles formés par une certaine droite OP avec les demi-axes des coordonnées positives. De plus, comme on tirera des équations (6)
(8) w = ka, V = kb, w = kc
et, par suite,
(g) iix + vy -\-wzr=z k{ax -\- by -\- cz),
il est clair qu'en posant, pour abréger,
(lo) t = ao? + è/ H- C2,
on réduira les équations (4) aux suivantes :
/ l =z i;(ïr cosAt + ii sinA-ib), (il) < Y] = 2(c cosAv 4- I) sinA-t),
( ^ =2(f cos/it + i sinArt).
Alors ^ représentera la distance du point {oc, y, z) à un plan OO'O' mené par l'origine et perpendiculaire au demi-axe OP, cette distance étant prise avec le signe -h ou avec le signe —, suivant qu'elle se mesurera dans le même sens que le demi-axe OP, ou en sens inverse, à partir du plan OO'O" dont l'équation sera
(12) ax ->r by -\- cz:=io.
\\ reste à faire voir comment on pourra trouver les valeurs des coeffi-
cients ff, c, f, g, \), i exprimées en fonctions de la variable t et des constantes arbitraires k, a, h, c. On y parviendra sans peine à l'aide des considérations suivantes.
Considérons d'abord le cas particulier où chacune des inconnues ^, Y], (^ serait représentée par un seul des termes compris sous le signe 2 dans les formules (ii), c'est-à-dire le cas où l'on aurait
/ ^ :rz Ir cosAt -h g sinAt, (i3) < Ti = f cosAt 4- I) sinA:t,
( Ç =r f cosAri. + t sinAv.
Alors, en indiquant par la caractéristique A l'accroissement que reçoit une fonction de x,y, z, quand on fait croître x de A^, y de A/, z de Az, et parla lettre B l'angle que forme le rayon r avec le demi-axe OP, on trouvera
(i4) cosô = «cosa 4- 6cos|3 + ccosy;
puis on tirera : i° de l'équation (lo), jointe aux formules (4) du § I,
( 1 5 ) At = a A^ -1- Z/ Aj -t- c As =: /• cos ô
et, par suite,
/ AcosAt =rcos(A:t -i- A- Av) — cosA-t
} = — [i — cos (A/- cos (5)1 cosA-t — sin(A-/' cosô) siiiAt,
A sin At = sin(A:t -\~ k Ar) — sinAt
:= — [i — cos(A/- cosô)] sin At + sin(Av cos<3) cosAt;
2" de la première des équations (i3)
( A^=z — (b cosAt + % sinA:t) [i — cos (A- /-cos -5)]
( -H (9 cosA-t — b sin At) sin( A/'cosâ).
Donc, si l'on prend pour variables indépendantes t et /, au lieu de x^ y, z, i, on aura simplement
,Q. AC r // '^^^r sin( A'/' COSÔ) (?^ (10) A^ rr: — [l— COS(A/-COS0)]S H ^—7 -y
ou, ce qui revient au même,
ou trouvera de môme
A/cosôN sin(Avcoso) df\
AvcosQ^ sin(/.vcoso) ^C
En substituant les valeurs précédentes de A^, Ay], A'C dans les équations (i6) du § I et faisant, pour abréger,
^- siu- '
siu
+ h 7^-^ cos-asiu2 ( j ,
-f~ cos-;3sin- ,
.)-.=. S [:^^siu^(^:^)1
— - cos-
■/sin'(^^)];
i '1 — ^ : cosp cosy sin* ( — j ,
(5i) 1 ^ —a ^ — cosy cosa sin- ( 1 ,
\im f{r) . /A'/-cosÔ\1 = S ^ — ^ cos y. cos S sui^ ( ] ;
■C' =S p-^siu(Âvcosa)] +S [^£^^ cos^asin(/a-cos5)],
{p.i){ OrL'=s[-^sin(Av-coso^)j + S ['^^ cos^psin(A7- cosô)l,
T^> = S I ^^^ sm(kr cosô)l + S f^^^^ cos^y sin(Ar cosô) 1;
çf/ ^sp-^^^cos(3cosysin(A^rcosâ)l, (93) { ^ ==Sr^^'^^cosycosasin(Âvcos<5)], — ~-^ cos a cos {3 sin(Â7-cosô) ,
A' =zè
on en conclura
OL
Les équations (24) se simplifient lorsque, clans l'état d'équilibre du système proposé, les masses des molécules m, m', m", . . . sont deux à deux égales entre elles et distribuées symétriquement de part et d'autre d'une molécule quelconque m sur des droites menées par le point avec lequel cette molécule coïncide. En effet, comme la valeur de cosâ déterminée par l'équation (i4), et par suite les termes dont se composent les sommes indiquées par le signe S dans chacune des formules (22), (23), changent de signe en même temps que les cosinus des trois angles a, ^, y, il est clair que ces termes, comparés deux à deux, seront, dans le cas dont il s'agit, équivalents au signe près, mais affectés de signes contraires. Donc alors les coefficients désignés par j(, OlL', X', <i", ^', a' s'évanouiront, et les équations (24) se réduiront à
dt'
^^=-(a| + ortr) + $0,
m-h'Sn 4-DLC).
Les équations (23) fournissent le moyen de déterminer, au bout du temps t, les trois fonctions ^, y], C, ou, ce qui revient au même, les six fonctions^, e, f, 0, 1), t, lorsque l'on connaît les valeurs initiales de ces mêmes fonctions et de leurs dérivées prises par rapport ii /. Kn effet, représentons par
Ço» THo» Co> î'o; fo» 'o> iot hof 'u
les valeurs initiales de
h ri, C, ^, f, f, 9, h, », et par
^1» "^1, K\, ^1, fi, fi, îi, bi, il
les valeurs initiales de
dt' dt' ât' dt' dt' dt' dt' ~di' dt' On aura, en vertu des formules (i3),
/ |o = ^0 cosA-t H- 9o sinA't, (a6) < Y]o= fo cosA-t H- l)oSinA't,
( Çq :r= {q cosAt + io sinA't,
/ Il i=&, cosA-t -+- g, sinAt, (9^7) < Y)i~ Cl cosAt 4- I), sinAt,
( Cl =3 fi cosAt + i, sinArt,
et l'on pourra déduire des équations (25) les valeurs de ^, y], l relatives à un instant quelconque, en suivant la méthode que nons allons indiquer.
Soient x, i)\>, 3 les cosinus des angles que forme, avec les demiaxes des 07, y, z positives, une droite OA menée par l'origine et prolongée dans un certain sens. On aura
(28) X^+UbS-i-Sî^ri,
et la droite OA sera représentée par la formule Soit encore
(3o) «=:cRo|-Mll,Y] 4-eÇ.
La valeur de a, déterminée par la formule (3o), représentera le déplacement de la molécule m mesuré parallèlement à la droite OA, et sera
positive si ce déplacement se compte dans le même sens que la direction OA, mais négative dans le cas contraire. D'ailleurs, si l'on combine par voie d'addition les formules (25) après avoir multiplié les
deux membres de la première par x, de la seconde par -ijî,, de la troi-
1)1) s siëme par s, et si l'on choisit <â,, oft), 8, ou plutôt le rapport y' x' ^^
manière que les trois fractions
deviennent égales entre elles, on trouvera, en désignant par s^ la valeur commune de ces trois fractions,
Or il existe trois valeurs de s- propres à vérifier la formule
et, par conséquent, les trois équations
(C — ^^) =-^ + ai»î) +^3 = 0,
( '^X H- $Ul> + (X — 5^) 3 = o,
desquelles on tire
De plus, à ces trois valeurs de s^ correspondent trois systèmes de
valeurs pour les rapports y? -r-' ^t, par conséquent, trois droites OA',
OA", OA'" avec lesquelles on peut faire coïncider successivement la droite OA. Enfin, il résulte de la forme des équations (34) que ces trois droites se confondent avec les trois axes de la surface du second degré représentée par l'équation
(36) .t;x*H-01Iy«+ Oi:.z*-i-2a^yz + 2^zx + 2a\y = i,
X, y, z désignant de nouvelles coordonnées relatives à de nouveaux axes rectangulaires qui seraient menées par le point 0 parallèlement aux axes des x, y, z; et l'on peut ajouter que, dans le cas où cette surface est un ellipsoïde, les trois valeurs de ^ sont précisément les carrés des trois demi-axes. Donc, à l'aide de la formule (32), on pourra déterminer, au bout du temps /, les trois déplacements de la molécule m mesurés parallèlement aux trois axes de l'ellipsoïde et, par suite, à trois droites perpendiculaires entre elles. Si l'on désigne ces trois déplacements par «', «", «'" et les valeurs correspondantes de -i., a)L, 8 par
.V, Di,', 3', X", 1)1", e", A/\ >iî."', e'",
on tirera de la formule (3o)
/ a' = X' l + ilî,' -0 + a' ç, (3;) ' »"=:cl>"^4-i)!,"-r)-i-8"Ç,
^"=X"'l-\-^V''r\-\-Z"'l', et, comme on aura d'ailleurs
X"X"'+ ilî,"il'„'"+ Z" 3'"= o,
X'WJ + Db"'-i)l,' + Z"'Z' — o, X' X" + ilî/ 11!," + G' Z" = o,
puisque les trois droites OA', OA", OA'" se coupent à angles droits, on conclura des formules (37)
/ £ =X'>i'-i-X"^"-i-X"'H"', (^9) < yi = iib'8'-i-ii!,"8"+iiy"8'",
Quant aux valeurs générales de «', a", «'", on les déduira de l'équation (32) en opérant comme il suit.
Soient «„, «, les valeurs initiales de « et de -y- On aura
(4o) 80= =^^0 + ^^100+ s Ço,
OU, ce qui revient au niême,
(42) 8o=(î'o-^ + foi'i' + foS)cosÂ-t + (goci^ + bo'>'ij + toS)sinÂ-t,
(43) 81= (bioA. + f,Dî) + fi©) cosA-t + (g, =.1 + l)i\lb + tiS) sinAt,
et l'on tire de l'équation (32)
,,,. sinst r''
(44) 8 = 8oCOS.?^ + «1 = 80 C0S5^ H- 81 / cosstdt
ou, en d'autres termes,
x-^h 1 ■ -Ml , f oxC08(^''+yO + cos(At — .vQ , , , ^ ,, . ^, sinUt -h .vn-4-sitia-t — ^0
« — (î>Ool) -r «0^0 -t- Tot>) '' '- -i- (jJo Jla J- (,(,115, -1- ,„©) : {
+ 1 (ïii <Jl> 4- ei D!) -f- îi ©) H- (fli cAb H~ tji ilb + ti G) — > 1 dt.
Cela posé, faisons, pour abréger,
/ bocos/ct 4- go sinA-t = 9(t.), (46) <^ fo cosA-t + l)o sinAt =:yjt),
fo COsArtH-to sinAtr:ri];(t),
iii cosA-v + 5, sin At =:= 0(t),
{^l) I fj cosA't + J)i sinAt z=:X(t),
fi cosA-t + i, sinA:t=:^''(t) et .
(48) ':=çi,
Les fonctions
représenteront les valeurs initiales de
t ^ r àl dn dK
S> ^> «t, -7:' -775 -r-i Ot Ôt Ol
OF.uvres de C. — S. II, t. X. V]
et l'on tirera de l'équation (44)> réunie aux formules (42), (43),
cp(t H-00 + cp(t-00 x(t+QO + x(t-00 ^ 4;(^-+-Q0 + ^(t-Q0
8 — o^'lo -H Do H- <^ ■
Concevons maintenant que, les trois valeurs de s- propres à vérifier l'équation (35) étant positives, les valeurs correspondantes et positives de s soient désignées par s', s", s"' et les valeurs correspondantes de ù par £2', ù", ù". La formule (5o) donnera
/ „ ,„cp(^ + o"o-4-o(t-Q-'o , ^^^„y(^ + a'7) + x(^-^'0 , o„4^(^-^a'^0 + '>(t-ii"o
^ 8 -^Vo ~T~ vO "T~ 'w'
= i!,\.) -H Utî -r- >i^
En substituant les valeurs précédentes de »', «", «'" dans les équations (39), on obtiendra pour ^, y], ^ des fonctions de t et de t qui auront la double propriété de satisfaire, au bout d'un temps quelconque /, aux équations (25) et de vérifier, pour une valeur nulle de t, les conditions
Les inconnues l, y], '( et a', «", a'", ou les déplacements de la molécule m mesurés parallèlement aux axes des x, j, 5 et à ceux de l'ellipsoïde (36), étant déterminées comme on vient de le dire, on en déduira sans peine la vitesse w de la molécule /n au bout d'un temps
quelconque t. En effet, si l'on projette cette vitesse : i° sur les axes des x,y, z-, 2° sur les axes de l'ellipsoïde (36), on trouvera pour projections algébriques, dans le premier cas,
dl d-n àK dt ôt dt
djè! d^ d^ dt' ~dt' dt
dans le second cas
et par suite on aura
,, , , {di\- fdny (ÔKY fà^'Y [d^''y fdW"Y ^'
Il est bon d'observer que les équations (5i), (52), (53) sont toutes trois comprises dans la formule (5o), de laquelle on les déduit en prenant successivement s = s\ s = s", s = s'". Si d'ailleurs on pose
(58) cT(t) = .l,9(t) + iib x(-)+© ^{^)>
(59) n(t)z==iU<I»(t)Hr-llbX(t) + GT(t)
ou, ce qui revient au même,
(60) ci(t) = {^qX + fo^'-' -t-^o^) cosA-t + {^oJ[s> H-I^oi'''' 4- to3)sinA't,
(61) II(t)=z:(îi,ol, + Cl m, 4- f, G)cos/rt + (9iaîU + l)iil'o + t,S)sinA-t,
la formule (5o) sera réduite à
Tx5{ï-^i'ît)-\~uy{t — at) /''n(t + i^o + n(t — ^0
dt.
Dans le mouvement que représentent les équations (39) réunies aux formules (5i), (52), (53), les déplacements et les vitesses des molécules dépendent des seules variables t et t. Donc, au bout d'un temps quelconque t, ces déplacements et ces vitesses seront les mêmes pour les molécules situées à la même distance t du plan représenté par l'équation (12),
Lorsque, h. l'origine du mouvement, les vitesses et les déplacements
des molécules sont parallèles à l'un des trois axes de l'ellipsoïde (36), les fonctions nT(t), TL(t) déterminées par les formules (60), (61), et l'inconnue « déterminée par l'équation (62) s'évanouissent pour deux des valeurs de s représentées par s', s", s'"; en d'autres termes, deux des déplacements absolus et les vitesses absolues des molécules restent toujours parallèles au même axe de l'ellipsoïde. Si, dans le cas dont il s'agit, celui des déplacements «', «", «'" qui diffère de zéro étant
désigné par «, les valeurs initiales de « et -^? savoir c>(ï) et n(ï),
vérifient la condition
(63) n(t) = i2cT'(t),
la formule (62) donnera
(64) 8 = nT(^+î20.
Alors la valeur de a sera la même pour les molécules situées, au bout du temps t, à la distance t du plan 0'0"0"' représenté par l'équation (12), et pour les molécules situées au bout du temps / -t- A^, à la distance t + Aï., la quantité At étant déterminée par la formule
Donc le mouvement d'une molécule quelconque m se transmettra immédiatement à d'autres molécules voisines situées du côté des t négatives, et la vitesse avec laquelle le mouvement se propagera dans une
direction perpendiculaire au plan OO'O", ou la valeur numérique
At de -^ fournie par l'équation (20), sera précisément la constante positive £l. De plus, comme la fonction ny(ï), déterminée par l'équation (60), reprend la même valeur quand on y fait croître ^ de -^5 il est clair que la fonction ■é = -c5(x. + Çit) reprendra la même valeur quand on attribuera l'accroissement -? à la variable x, ou l'accroisse-
ment TTs à la variable t. Gela posé, faisons {6.6) , ^=X
et
Si, au bout du temps /, on divise l'espace en une infinité de tranches par des plans parallèles les uns aux autres, et correspondants aux valeurs de t qui reproduisent des valeurs données de la fonction « et de
sa dérivée -T-> la constante / représentera évidemment Tépaisseur de
chaque tranche, tandis que la constante T représentera la durée des oscillations isochrones, successivement exécutées par une molécule. Nous nommerons ondes planes les tranches dont nous venons de parler, et, pour fixer les idées, nous supposerons ces ondes comprises entre des plans tracés de manière qu'au bout du temps t l'épaisseur de l'une d'elles soit divisée en parties égales par le plan auquel appartient l'équation
(68) x = -Çit
ou
(69) ax -h by + cz ■=r — i2t.
Alors on aura constamment
(70) 8 = nî(o) et -r-=^cT'(o)
ât
OU, ce qui revient au même.
(71) 8 = &o-'^-4- foilî^ + foS et ^ =:A:£^(g,.l, + l,o-ilb -MoS)
pour tous les points situés dans les plans qui diviseront en parties égales les épaisseurs des différentes ondes, et
(72) ^^rn(-), ^ = kiluy'(-
dt \2
ou, ce qui revient au même,
pour les points situés dans les surfaces planes qui sépareront ces mêmes ondes les unes des autres. De plus, la vitesse de propagation d'une onde plane, c'est-à-dire, en d'autres termes, la vitesse de déplacement du plan (68) ou (69), mesurée dans une direction perpendiculaire à ce plan, sera constante, en vertu de la formule (68), et représentée par [ï. Comme on aura d'ailleurs, en vertu des formules (66), (67),
(74) , ^Tz=/
ou
il est clair que la vitesse Q sera en raison directe des épaisseurs des ondes et en raison inverse des durées des oscillations moléculaires. Enfin on tirera des équations (48), (66), (67)
et par suite la formule (60), qui détermine s en fonction de k pour une direction donnée au plan OO'O", pourra servir encore à déterminer T ou 12 en fonction de /. Donc il existera généralement une relation entre la vitesse de propagation ù d'une onde plane et son épaisseur /.
Si la condition (63) était remplacée par la suivante
(78) U{t)=-^v,'it),
la formule (62) donnerait
(79) ^ — Tn{t — ilt).
Alors la valeur de « serait la même pour les molécules situées au bout du temps t à la distance t, et au bout du temps / + A/ à la distance ï H-At du plan OO'O", la quantité At. étant déterminée par l'équation
(80) At = ^àt.
Donc le mouvement d'une molécule quelconque m se transmettrait immédiatement à d'autres molécules voisines, situées du côté des t positives, et la vitesse avec laquelle le mouvement se propagerait
At
dans une direction perpendiculaire au plan 00' 0", ou la valeur de -^^
fournie par l'équation (68), serait toujours la constante positive Cl.
Dans ce cas, on pourrait encore diviser l'espace en une infinité de tranches ou ondes planes égales de même épaisseur, à l'aide des plans parallèles au plan OO'O", et correspondants aux valeurs de t qui
reproduisent les valeurs de « et ^ fournies par les équations (72)
et (73). Alors aussi l'épaisseur de l'une des ondes serait divisée en deux parties égales par le plan auquel appartiendrait l'équation
(81) t=z^t ou
(82) ' aa; -h bf +-€^ — 0,1,
et les formules (80) et (71) continueraient de subsister pour tous les points situés dans les plans qui diviseraient en parties égales les épaisseurs des différentes ondes. Enfin, l'épaisseur / d'une onde plane, sa vitesse de propagation ù et la durée T des oscillations moléculaires vérifieraient toujours les équations (66), (67), qui entraîneraient encore les formules (74)» (7^)» (77)-
Si les fonctions cy(t), n(t) ne vérifiaient ni la condition (63), ni la condition (78), le mouvement ne cesserait pas d'être déterminé par les trois formules (5i), (32), (53), dont chacune est semblable à la formule (62), et on pourrait le considérer comme produit par la composition de six mouvements pareils à ceux que représentent les équations (64) et (79). Les ondes planes, correspondantes aux six mouvements dont il s'agit, se propageraient dans l'espace avec des vitesses deux à deux égales entre elles, mais dirigées en sens inverses, et représentées par Q.', 12", ù".
Si, au ])remier instant, les déplacements et les vitesses des molé-
cules, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, étaient représentés par des sommes de termes semblables à ceux que renferment les seconds membres des formules (26), (27), en sorte qu'on eût
/ lo = -2(110 cos/rt -f- go sinÂ't),
(83) j v]o=:2(fo cosA'tH- l)osinA'i),
[ Ço— ■2(foCOsAt+tosinA't),
/ |, =!;(&, cosXrt + 01 sin/ft), (8^) ' <i Y), = I(fi cos/rt + l),sin/:t),
Çi = 2(f, cos At + i, sinÂ-t) ou, ce qui revient au même,
/ |o — 2[&ocos(i<j^ -h i>y-+-ivz) + 9o&in{a.v -h Vf -i- wz)],
(85) j -^o=-2[fo cos(«^+ t^j + (V5) 4-|)oSin(«^+ (^j-hiv^)],
l Co =2[fo cos(M.r -i-vy-h wz) + io sin(«x + (' j + <»^-)],
£1 =2[&i cos(i/.^ + <^j + wz) + gisin(;/^4- rj + tr^)],
-/]i = 2;[ei cos(mj7 + ('/ + <i^'-s) 4- I), sin(«^+ r/ + »'^)],
Cl =2[fi cos(«^ + çy -hwz) + il sin(?/^+ cj -f-i^^)]^
la fonction t étant toujours déterminée par la formule (10), et le signe 2 indiquant l'addition de plusieurs ou même d'une infinité de termes correspondants à divers systèmes de valeurs des constantes a, h, c, k ou u, V, w; alors, à la place des formules (39), on obtiendrait les suivantes
/ Ç=:2(cil,'»'+JU"8"+Jl,"'8'"),
(87) N = 2(111/8'+ uy'8"+ iiv"8"'),
les valeurs de «', «", «'" étant encore celles qui se déduisent des équations (5i), (52), (53), jointes aux formules (46), (47). Alors aussi le mouvement du système pourrait être considéré comme produit par la composition de plusieurs ou même d'une infinité de mouvements semblables à ceux que représentent les équations (64) et (76).
Il est bon d'observer que, dans les formules (85), (86), (87), les
sommes indiquées par le signe S peuvent être composées de termes très peu différents les uns des autres, et se changer, par suite, en intégrales définies. Concevons, pour fixer les idées, que l'on remplace le signe 2 par trois signes A indiquant une intégration triple effectuée par rapport aux quantités //, v, w entre les limites — ^d, + ce. Substituons en même temps aux coefficients
/oo\ ( ^'" *■"' »' 9o, l)o> 'o»
( ^i, fi, fi, Ji, l)i, il
et aux fonctions
8o=CIT(i), «, = n(t)
des produits de la forme
^Bodadvdiv, ^^diid^dw, SQdudvdw, <è^dudvdw, ^.dudvd\v,2.dudvdw, (90) )
I Didudçdw, lÈidud^'dir, S^dudvdw, <èidudvdw, S^^dadvdw, ^^diididw
et
( Qdudçdw, Q'dudvdsv, %"dudvdw, %"'dadvdw,
( 00 du dv dw = IIo (t ) du dv d^v, ©i du dv div ~ IIi (t ) du dv dw.
Alors, au lieu des formules (85), (8G), on obtiendra les suivantes
Uo = J j J [^oCOS{uj^-hVf-hwz)-i~(eoS]n{u.T-hvv-i-wz)]dudi-dn;
(92) ', ^'o=J I J [^oCOs{uœ-i-vj-^wz)^-£),<in{ua--]-vv-i-ivz.)]dudi'd^v,
^0 = J / / [^0 cos{ux ^ vy + wz) -^ 3o &'in{u.r-\- Vf -\-wz)]dudvda; ^i — / / / i^iCOS{u.r -+- vy + n'z)-\-(ê>iS\n{ua--h i'f -hwz)]dudi>div,
OF.Ufrcs de C. — S.U, t.\. 28
dans lesquelles
Oo, €o, £„ 60, £h, 3o; ^1, ^i, -î'.. <^i. ^h, 3.
pourront être des fonctions quelconques de u, v, w. De plus, les foimules (60), (61), (62) donneront
(94) no(t) = (lo-Ao + €oill> H- i^oS) cosA-t H- (éo^A. + i5oil^ + 3o3) sin/rt, (9.5) n,(t) = (©iX + (Ê,ii!. -h 4^,3) cos/.t + (6,.l. + i^,\)b + Ji 3) sin/>v,
et l'on en déduira les valeurs de 0', 0", 0'" eu attribuant à .1,, ii!>, 3 les trois systèmes de valeurs .1,', iiî,', 3'; .1.", Db", 3"; .1/", iib'", 3'". Cela posé, les valeurs de \, "/], '(» précédemment déterminées par les é(| nations (87), deviendront
l—i f r ( X' 0'+ .l>" 0" + 'X'" 0"' ) du dv da; ( g^ ) J r]= f f f { Mh'W + m/' 0" + W 0'" ) ^/< rfr d^v,
^. K= f f r ( 3' 0' -t- 3" 0" -h 3'" 0'") da dv dw.
On peut choisir les coefficients
ÎIo, Co, -fo, <6o, fjo, -^O; ^1, <c,, il, 61, i^i, 3,.
de manière que les valeurs de
i^0> ''JO» Soi 41> "^IJ "s"
fournies par les équations (92), (93), se réduisent à des fondions quelconques de x, y, z, savoir à ^
(98) \^:=o{x, y,z), -/lo— x(^»7. ^)» Co='K"f"'/'^)'
(99) i^ = (\>{x, y,z), -fi,— \{x, y, z), :,= M^^(,r, /, s).
En oirct, comme on a généralement, quelle que soit la fonction
(loo) f{.r,x,z) = l-^y r jV' l' f' f'e''^=^-^''^'^ e'''y-\>-^'^~ e'^'~-''^'^~f{l,ix,^/)dldixchdiidi'div,
toutes les intégrations étant effectuées entre les limites — ce, 4- oc, ou, ce qui revient au mê^iie,
i /(•^,J,-) = (^^\^ Jjyffj'to&[u{x — l)-^v{y--^}-\-c{z-^i)\f{'k,\i,^*)d\di>.d^nludvdu' (loi) ' — (—-) f ff ff'fcos(ifX-+-i'f-^t\'z) C0S(«X-f-(-[JL-(-«'v)/(X,[J.,v)c?À<urZv(:/«rfc'<:/(i'
l (—Y f f j' f f j' s\n{ux-\-vy^wz) s\n{u\-hvix-^w^))f{l,ix,'i)d\d\xdvdudvdw,
il est clair qu'on fera coïncider les équations (92), (gS) avec les formules (93), (96), si l'on prend
fo
i-V /"|"/"cosO/X-f-t^[Ji-h«'v) o l,ix,^i)dldnd^j, (Bo^l-—) fJ'J sm{ul-{-i'ix-i-iv^i) o{\.ix,^/)d'kdu.d^, JO'2) '' eo=(— )''/7ycos(«X-4-riJL + u'v) y{\,'j..v)dXdixd^t, C)q=(-^) yyy sin(«X-^P,u + (»'v) y(À,[i.v)fAr/,ar/v, := [— )'^ /"r/'cos(«X-+-f !JL-}-»'v) 4/(X,;jL,v)<:Af/[Jtrfv, 3o = (~;) f fj s'm {ni -h i>ix-^(v^n 4/( A, ,a,v)f/À£/;-i«/v.
I, = /'— yyyycos(HXH-t'iJL + «'v)'ï>(À,iJt,v)rfXû?|j.rfv, ©1= (^^j ^JJ sin(?<X+('[i-+-<»'v;«ï'(X,.u.v)£/X</;at;v, (io3) / (^1 = (^-LV J'j'J'cos(ul~i'\x-^iv^j)X{X,ix,^Odldixdj, i5i = f^j J JJ siniul + vix-+-ii'v)X{l.ix.^)dldixd^j, f i, = /'---yyyycos(MX + c[Ji-t-»'v)iF(X,[ji,v)o?Xc?fJLC^v, 3, = (^^j J'ffs\n{ul^vp.-^ir^j)W(l.ix.w)dldiidv.
En ayant égard à ces dernières formules, on tirera des équations (94) et (95)
(io4) ,^^{y)^(±y l'J'j\x ©(X,.u,v)-i-'D'o x(X.!Ji,v)+G t}^(X,[i,v)]cos(A-i — MX-cu-u'v)(/Xr/}xr/v. (io5) ni(v)=/— yy^yy\.l,<ï>(X,;ji,v)4-aPoX(X,[ji,v)4-S^(X,|jL,v)]C0S(A-t — wX — (-;x-(i'v)rfXrf|arfv
ou, ce qui revient au même,
(107) ".^0=(^)y/j[.i'l>(X,;a,v)+l)LX(X,.U,v)4-eV(X,,Jt,v)]cOS[«(X-X)-(.(j-[j.) + ^
Si, après avoir déduit de l'équation (9G), réunie aux équations (106), (107), les valeurs de 0', 0% 0'", ..., on les. substitue dans les formules (97), ces formules représenteront les intégrales générales des équations (i5) ou (16) du § I, pourvu que les valeurs de s"" déterminées par la formule (44) soient réelles, et que, dans l'qtat d'équilibre du système proposé, les masses m', m", m'", . . . des diverses molécules soient deux à deux égales entre elles, et distribuées symétriquement de part et d'autre d'une molécule quelconque m sur des droites menées par le point avec lequel cette molécule coïncide.
Dans les formules (102), (io3), et(io4), (io5), ou (jo6), (107), les intégrations relatives aux variables X, [x, v doivent être, comme dans l'équation ([oo), généralement effectuées entre les limites — co, +cc.
Toutefois, si les valeurs initiales des déplacements ^, t], '( et des vi-
. âl df) d^ » . , 1- , n
tesses ^, ^, —, c est-a-dire les fonctions
cp(^, V, z), y^{.r, j, z), 'J;(j^, j, z), 4»(.r, y, z), \{.t, y, z), W{x, y, z),
ne différaient de zéro que pour des valeurs de x, y, z correspondantes aux points situés dans un certain espace, par exemple aux points renfermés entre deux surfaces courbes, deux surfaces cylindriques et deux surfaces planes représentées par des équations de la forme
('08) 5rzFo(x,j), z=h\{a;y),
(iio) x = ^r„
on pourrait évidemment, dans les formules dont il s'agit, supposer les intégrales prises entre les limites
(m) V=Fo(X, ra), Vz--Fi(X, /Jl),
(112) /^=fo(>0, /^==fi(A),
(il 3) X —^0, >> —x^.
§ III. — Application des formules précédentes à la théorie
de la lumière.
Supposons que le système de molécules, mentionné dans les deux précédents paragraphes, soit le fluide éthéré dont les vibrations produisent la sensation de la lumière. Pour déterminer les lois suivant lesquelles de semblables vibrations, d'abord circonscrites dans des limites très resserrées autour d'un certain point 0, se propageront à travers ce fluide, il suffit de considérer dans le premier instant un grand nombre d'ondes planes {voir la page 2i3) qui se superposent dans le voisinage du point 0, et d'admettre que, les plans de ces ondes étant peu inclinés les uns sur les autres, les vibrations des molécules sont assez petites pour rester insensibles dans chaque onde prise séparément, mais deviennent sensibles par la superposition indiquée. Le temps venant à croître, les ondes dont il s'agit viendront successivement se superposer en diff'érents points de l'espace, et l'on nomme rayons lumineux la droite qui renferme tous les points de superposition. Toutefois, pour que ce rayon soit unique lorsque l'élasticité de l'éther n'est pas la même en tous sens, il est nécessaire que, dans chaque onde considérée isolément, les vitesses et les déplacements des molécules soient parallèles à l'un des trois axes de l'ellipsoïde représenté par l'équation (36) du § II. Alors le rayon lumineux sera ce qu'on appelle un rayon polarisé parallèlement à cet axe, et, si l'on nomme / l'épaisseur d'une onde plane, (i sa vitesse de propagation, T la durée des oscillations moléculaires, on aura
(i) il1 = l.
Ajoutons que, si l'on pose
les valeurs de -j> pour trois rayons polarisés parallèlement aux trois axes de l'ellipsoïde, seront précisément les carrés de ces trois demiaxes. Observons d'ailleurs que, si l'on nomme r le rayon vecteur mené (lu point 0 à une molécule voisine m-, cl, ^, y les angles formés par ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives; a, b, c les cosinus des angles formés avec ces demi-axes par une droite OP perpendiculaire au plan de l'onde; § l'angle compris entre cette perpendiculaire et le rayon vecteur r, on aura [voir l'équation (i4) du §11]
(4) cosô =: acosa 4- ^cos(3 + c cosy, et que, en faisant, pour abréger,
(5) ka^^u, /,b--=\-, kc:=ziv, on tirera de l'équation (4)
(6) /i coso = // cosa-h t' cos[3 4- H'cosy.
Cela posé, les coefficients J^, oïL, x, a\ ^, Si, renfermés dans l'équation de l'ellipsoïde ci-dessus mentionné, c'est-à-dire dans la formule
( 7 ) -!ilx- -h Oit y2 -4- i)b z- + 2 O^yz + 2 ^zx + 2 .ïH. xy = i ,
se trouveront, en vertu de l'équation (6) jointe aux formules (20), (21) du § II, déterminés comme il suit :
oii
dw du
JR. =
du dp'
les valeurs de t) et t? étant
(10) 0=rS '^— — ^ I — cos[/'(«cosa + pcos|3 + ircosy)] ,
(11) V^zirS • U(MCOsa+rcos(3 4-(PCOsy)2H ^--^ ^ '-^ j
Lorsque, au premier instant, les vitesses et les déplacements des molécules dans une onde plane sont effectivement parallèles à l'un des trois axes de l'ellipsoïde représenté par l'équation (7), ces déplacements et ces vitesses restent constamment parallèles au même axe, la lumière se trouve polarisée parallèlement à cet axe, et l'onde plane se propage avec une vitesse constante £2, sans jamais se subdiviser. Mais il n'en est pas toujours ainsi, et l'on peut concevoir une onde plane dans laquelle au premier instant les vitesses et les déplacements des molécules cesseraient d'être parallèles à l'un des trois axes de l'ellipsoïde. En effet, pour composer une onde de cette espèce, il suffit de réunir trois ondes planes tellement choisies que, dans la première, la seconde et la troisième, la lumière se trouve polarisée parallèlement au premier, au second et au troisième axe de l'ellipsoïde, et d'admettre que, dans l'onde composée, la vitesse ou le déplacement d'une molécule est représentée par la diagonale du parallélépipède qui aurait pour côtés trois longueurs propres à représenter cette vitesse ou ce déplacement dans chacune des trois ondes composantes. Alors, le temps venant à croître, l'onde composée se subdivisera en ses trois composantes, qui se propageront à travers le fluide éthéré avec trois vitesses différentes. Ainsi, lorsque l'élasticité de l'éther n'est pas la même en tous sens, une onde plane, dans laquelle la lumière n'était point polarisée, se partage généralement en trois ondes planes, dans lesquelles la lumière est polarisée suivant trois directions distinctes; et par suite un rayon de lumière non polarisée se partage en trois rayons de lumière polarisée suivant les trois directions dont il s'agit.
Comme, en laissant les trois côtés d'un parallélépipède dirigés parallèlement à trois axes donnés, on peut toujours tracer ces côtés de manière que la diagonale devienne parallèle à une droite choisie arbitrairement, on doit conclure de ce qui a été dit ci-dessus que, dans une onde plane de lumière non polarisée, les vitesses et les déplacements des molécules peuvent être parallèles à une droite quelconque.
Les coefficients 4^, OlL, sri, ^S, ^, âi renfermés dans l'équation (7) et.
±lh NOUVEAUX EXERCICES DE MATHÉMAïIOUES.
par suite, les lois de polarisation de la lumière dans une onde plane dépendent, non seulement de la constitution géométrique du fluide éthéré, c'est-à-dire du mode suivant lequel ses molécules se trouvent distribuées dans l'espace, mais encore de l'épaisseur /de l'onde plane et de sa direction, c'est-à-dire des cosinus a, h, c des angles formés par la perpendiculaire au plan de l'onde avec les demi-axes des coordonnées positives, ou, ce qui revient au même, des trois quantités
H -- ka, V -- /,7>, tv = kc.
Nous dirons que l'élasticité du fluide éthéré est la même en tous sens autour d'un point quelconque 0, si la constitution de ce fluide est telle que l'ellipsoïde (7), qui détermine les lois de polarisation d'une onde plane passant par ce point, conserve une forme invariable, tandis que l'on fait varier la direction du plan de l'onde, et si d'ailleurs la position de cet ellipsoïde est uniquement dépendante de la direction de ce plan. Alors, tandis que l'on fera tourner le plan de l'onde sur lui-même, la surface de l'ellipsoïde devra toujours passer par les mêmes points de l'espace et du plan. Donc cet ellipsoïde devra être de révolution autour de la droite perpendiculaire au plan de l'onde; et, de plus, l'axe de révolution ainsi que le rayon de l'équateur, étant indépendants de la direction du plan de l'onde, demeureront constants, quelles que soient les valeurs attribuées aux trois quantités a, b, c.
Nous dirons que l'élasticité du fluide éthéré est la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à un axe donné, par exemple à l'axe des z, si la forme de l'ellipsoïde (7) dépend uniquement de l'angle compris entre le plan de l'onde et l'axe des z, et si cet ellipsoïde tourne seulement autour de cet axe en même temps que la perpendiculaire au plan de l'onde.
Cela posé, il sera facile d'obtenir les conditions analytiques propres à exprimer que l'élasticité de l'éther est la même en tous sens autour d'un point quelconque, ou autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des z. On y parviendra eff'ectivement h l'aide des considérations suivantes.
NOUVEAUX kxeiu:i(;f':s dk m vtiikmatiouks. 225
Oiitr(! \i\ systôinc des trois axes (îoordonnés des x, y, z, (îonsidéroiis un second syst«!me d'axes rectangulaires des x,, y,, z, qui parlent de la même origine 0 que les trois premiers. Supposons d'ailleurs que les axes des x,, y,, z,, après avoir d'abord coïncidé avec les axes des x, y, z, s'en séparent et entraînent d;iMs leur inouvement ïc, plan de l'onde et la droite perpendiculaire à ce plan, cfi sorte ((ue cette droite passe de la position OP à une; nouvelle position OQ, l'épaisseur / de l'onde restant invariable. Le rayon vecteur r, dont la direction n'aura pas changé, formera : i" avec les demi-axes des x, y, z positives les angles a, [4, y, et avec les demi-axes des x,, y,, z, posi'tives d'autres angles a,, p,, y,; a** avec les droites OP et OQ des angles o, o,, déterminés par l'équation (4) et par la suivante
(12) C0S(5i== a cosa, -+- 6(;os^,-4- ccosy,,
de laijuellc^ on tirera, en ayant égard aux équations (j),
(i3) /.coscJ, = Il cosa, 4- <- cosjS, 4- u'cosy,.
Soient maintenant
ce que devi(!nnent les quantités
déterminées par les équations (8), (9;, (10), (r r), quand ou remplace a, ^, Y par a,, fJ,, y,, en sorte qu'on ait
(i4) t.-'^^+-^' ^«^.-^i^-^^Tr' •^^'-^^^•-^-^'
^'•'^ ^'-^7^' ^•-j;;^^' '^'-^tif;;'
les valeurs d(! V),, 'v^', étant (i6j t),= s| ^^— I — ^ I — cos[/-(acosa,-f- ^'cos|3J^- fvcosy,)] |, (17) V^, — S — ^^-— ^U(«cosai+t'COs3,4-«»'COsy,)'H ^ ! >^'^" ^"»/in
O/itti-rcaf/eC.— s. U, t. X. 29
Les deux ellipsoïdes qui détermineront les lois de la polarisation pour les ondes planes perpendiculaires aux deux droites OP, OQ seront représentés, le premier par l'équation (7), le second par la suivante :
De plus, le second ellipsoïde sera pareil au premier et placé à l'égard des axes coordonnés des x,, y,, z, comme le premier l'est à l'égard des axes coordonnés des x, y, z, si l'on a
(19) 4:i = C» Dïi^^DXi, OL, = dL,
(20) ^l", ='^, 'Ir =^, Sii=Si.
Enfin, ces dernières conditions, si elles doivent être vérifiées quels que soient w, v, w, pourront être remplacées par les deux suivantes :
Effectivement, il suit des équations (8), (9), (14) et (i5) que les conditions (19) et (20) peuvent être présentées sous la forme
,.) ..^o^'^lil^^o, „.^„^^i(^.:^)=o, «.-o.!?!<^=o.
Or les formules (22), (23) seront évidemment vérifiées, si l'on a pour des valeurs quelconques de u, v, w
Réciproquement, si les conditions (22) et (23) subsistent pour des valeurs quelconques de u, v, w, alors, en vertu des conditions (23), les trois quantités
(^^) - — dV"' ÔT^ ' " dw^' '
et, par suite, les trois quantités
/ K^ '^'(^'^.jz::^) ^('Vz-^] d^<,\-v)
seront seulement fonctions, la première de u, la seconde de v, la troisième de w. Donc ces trois quantités ne pourront, comme l'exigent les conditions (22), acquérir une valeur commune tD — o,, qu'autant que cette valeur commune sera une quantité constante, c'est-à-dire indépendante des trois variables u, v, w. D'ailleurs, lorsqu'on pose k = o, et, par suite, 11 = o, v = o, w = 0, on tire des équations ([o) ct(iG)
Par conséquent, dans l'hypothèse admise, on aura généralement
o — Oi = o
OU, ce qui revient au même,
(26) t)i = XD,
et les conditions (22) se réduiront h
, , d'-{'^^-V) d^{,'^,--<>) dH-<\--<>) ^
De ces dernières, jointes aux conditions (23), on conclura que les quantités (24) se réduisent à des constantes; et, comme, en vertu des formules (11), (17)» les expressions
dx>
du'
ci.'
dsv'
du
âa'
s'évanouiront pour des valeurs nulles de u, v, w, il est clair qu'on aura généralement
Donc la différence
se réduira elle-même à une constante qui sera encore nulle, attendu que t?, et <) s'évanouissent en même temps que les trois variables u, K\ w. On aura donc encore, dans l'hypothèse admise,
et les formules (21), ou (26) et (29), seront alors une conséquence nécessaire des conditions (22) et (23).
Pour que l'élasticité de l'éther puisse être censée rester la même en tous sens autour d'un point quelconque, il est nécessaire et il suffît évidemment que, des deux ellipsoïdes représentés par les équations (7), (18), le second soit toujours pareil au premier et placé à l'égard des axes des x,, y,, z, comme le premier l'est à l'égard des axes des x, y, z; par conséquent il est nécessaire et il suffit que les conditions (21) soient toujours vérifiées, c'est-à-dire que ces conditions subsistent quelles que soient les valeurs de u, v, w et quel que soit le nouveau système d'axes rectangulaires des x, , y, , z, .
Si l'on demande les conditions nécessaires pour que l'élasticité de l'éther puisse être censée rester la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des z, ces conditions ne cesseront pas d'être exprimées par les formules (21), qui devront subsister encore, indépendamment des valeurs attribuées à m, ç, w^ non plus quels que soient les nouveaux axes des x^, y,, z,, mais seulement quels que soient les nouveaux axes des x, et y,, l'axe des z, étant superposé à l'axe des z.
11 nous reste à développer les conditions (21) et à montrer les diverses formules qui s'en déduisent.
Observons d'abord que, en vertu des équations (10), (11), (16), (17), jointes aux formules (4) et (i3), les conditions (21) peuvent s'écrire comme il suit :
(3o) s| ^^^-^[J - cos(A'/'cos5,)] j = SJ --^^ [i - cos(A7- cosa)]|, ('30 '- J
i/c^côs^a+^^^^^^^-^^^]j.
Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'élasticité de l'éther puisse être censée rester la même en tous sens autour d'un
NOUVEAUX EXERCICES DE MATltÉ MATlQUËS. 229
point quelconque ou autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe (les - se réduisent à ce que les deux quantités
(32) 1D = S -— ^^— '[i — cos(A-/'Coso)]j,
^( ;n /(/■) fi ,, ,^ cos(Arcosô)l) ( 33 ) \'> = S j — -^-^-^ y, k^ cos^ 0 4- — ^-^, J j
ne changent pas de valeur quand on y remplace l'angle o compris entre le rayon vecteur r et la droite OP par l'angle ù^ compris entre le rayon vecteur r et la droite OQ; les droites OP, OQ pouvant être choisies arbitrairement dans le premier cas, et étant assujetties dans le second à la seule condition de former toutes deux le même angle avec l'axe des z. Observons encore : i° que, en vertu des équations (5), w, Vy w représentent évidemment les coordonnées d'un point P situé sur la droite OP à la distance k du point 0 et vérifient la condition
de laquelle on tire
(35) k-=\lu'^^v-'^^v'^;
2*^ que si l'on nomme u, v, w les coordonnées d'un point Q situé sur la droite OQ à la distance k du point 0, il suffira de substituer la droite OQ à la droite OP pour déduire des formules (6) et (35) les deux suivantes
(36) k cosèi^= «, cosa 4- i'i C0s|3 + (»', cosy, (3;) k-^^^uf^i'C^r^i,
dans lesquelles on devra remplacer w, par w, si les droites OP, OQ forment le même angle avec l'axe des z. Cela posé, les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'élasticité de l'éther puisse être censée rester la même en tous sens autour d'un point quelconque ou bien autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des s, c'est-à-dire
les conditions (3o) et (3i) pourront s'écrire comme il suit
I — cos [/•(«, ces a-h i'i ces [3 + «^'icosy)] I — cos[r{u cosa -!- i^ cosj3 + w cosy)] >,
|-(«i cosa 4- ('iCOSi3 -f- WiCOSy)--] *- ^ ^1- Lz ' >\
1/ , o N-) cosrr(« cosa-+-r ces fi H- (ï^ casv)]"! {lyii cosa+ (' cosjS 4- w cosy )^ H — ^^ ^ ^~LjL2iz1L1A
i-^sS-— ^--^
ci'«/(0
les quantités variables m,, v^, w^ se trouvant liées avec les quantités //, . (', w par l'équation
(4o) iiX + vX + wl^ii^-^ v'^^w"-,
qui, dans le second cas seulement, se partage en deux autres, savoir
On vérifie la formule (4o) en supposant
(42) <'l=0, W^i = 0, «1 = ± V' lû- 4- P^ + MP»'^ = ± k.
En vertu de cette supposition, les formules (38) et (39) deviennent
1 ^ , — . — I ces [r(« cosa 4- v cosp 4- «•cosy)] [
—^ [l — C0S(A7'C0Sa)] ,
^\m±{r)^ ri(«cosa + .cosp +a.cosy)^ H- ro^[^(^ cos« + pcos(3 4-^vcosy)]-| j ( r L r"^ \\
Ar>i f{r)\ cos(A-/-cosa)l / = S — ^-^ — \ A 2 cos^a H '- \.
Réciproquement, si ces dernières subsistent, quelles que soient les valeurs de w, Vy w, leurs premiers membres ne seront point altérés quand on y remplacera les quantités w, p, w par d'autres quantités «,, v^, w^ propres à vérifier l'équation
af + rj 4- «v^ = A-2 - «2 ! ,;2 ^ „,2
Donc les équations (4^), (44)» déduites des formules (38), (^9), entraineront à leur tour ces formules auxquelles on pourra les substituer sans inconvénient. D'autre part, comme on aura généralement
cos[r(M cosa + r cos[3 4- wcosy)]
■= I (u cosa + i' cosS H- tvcosv)^
H TT-^iu cosa + V ces S H- (vcosy)*
co?,(kr cosa) = i /c^ cos^a + r;— 7 ^"* cos*a — .
= I ( u^ -\- v^-+- w^ ) ces' a
-T ( M- + t^^ -h w^ y cos* a — . . . :
il suffira d'égaler entre eux les termes qui, dans les deux membres des équations (43) et (44)» représenteront des fonctions homogènes de u, ç», w du degré 2/1 pour obtenir les formules
(45) S[m/-2''-' f(r)(MCOsa-l-PCOs;3 4-(t^cosy)2«] = A'»«S[m/-2«-* f(r)cos''"a] et
(46) S [/«/•="-'/(/•) (f<cosa + i'cos(3 4- (f cosy)-'*] = Xr^" 'è[mr^''-^f{r) cos^^a],
dont la première devra être étendue à toutes les valeurs positives du nombre entier w, et la seconde à toutes les valeurs de n qui surpassent l'unité. Enfin, comme les deux expressions
(«cosa -f- ccos[3 + npcosy)-", k^"{u^ -\- ç^'-h w-y, étant développées, fournissent, la première des termes de la forme
(I .2. . .A) (l .2. . .fJL) (i ,2. . .v) ^ '
dans lesquels les exposants X, [jl, v, liés entre eux par l'équation
peuvent être pairs ou impairs, et la seconde des termes de la forme
dans lesquels les exposants X, [x, v sont toujours pairs; comme d'ailleurs les formules (4^) et (46) doivent subsister indépendamment des valeurs attribuées 'à u, v, w et offrir chacune dans le premier et dans le second membre les mêmes puissances de u, ç, w multipliées par les mêmes coefficients, on tirera de ces formules : i" pour des valeurs impaires de \, de \k ou de v,
(48) S[wr2''-' f(/-)cos^acos!^;3cos^>'] = o
et
(49) S[/«/-2"-V('")cos'^acosi^;3cos''y] = o;
2** pour des valeurs paires de X, [j. et v
(5o) S rm/-2"-i f(,.) cos^a cosi^|3 cos^'y] = '' •••( — O-'- ..-(f^-i).!- •■■^''-')^j^„i,.in-i f(,.) c^s"^" a]
et
(5i) è\mr^"-'f{r) cos>«cosS^|3 cos''y]= ^ ( ^-O-i-^^ •••(f^ -i).i. -"^^^-^^ 8[/n/-^"-V(/-) cos-^"5{],
le nombre n, dont le double équivaut à la somme X + u. + v, pouvant être quelconque dans les équations (4^). (^o), mais devant surpasser l'unité dans les équations (49)» (5i). Ainsi, en particulier, on conclura des formules (48), (5o), en posant tî = r,
S[m/- f(/-) cos|3 cosy] = S[m/' f(r) cosy cosa] = S[m/- f(;-) cosa C0Sj3] = o, S[w/- f(/-) cos-a] == S[w«/- f(/') cos-(3] = S[w/' f(/-) cos^y];
et des formules Cif)), ( Ji)» ^" posant n = 2,
' S[/«/-/(r) cos Pcos'y]— S [//?/•/(/•) cos ycos'a]= S[m/-/(/-) cos acos'S] S[m/-/(/-) cos^P cos 7]= &[/?//•/(/•) cos^ y cos a] = S[w/-/(/-) cos'acos S]r=o,
^['"'■/('■) cos^[3 cos^y] = S[/?</-/(/') cos^y cos-a] = ^[mr f{r) cos-a cos*[3] |S[/«/-/(/-)cos'*5:] =i|S[m/-/(/-)cos*[3] = ^?>[mr /{/■) coi'y].
Ajoutons que des formules (48), (49)» (^^0' (^0 ^" P^"^ remonter immédiatement aux formules (40» (4^^)» P^ï* conséquent aux formules (43), (44)» ainsi qu'aux formules (38), (39). Donc, en définitive, les formules (4^), (49). (5o) et (5i), étendues à toutes les valeurs positives du nombre entier n, ou du moins, s'il s'agit des formules (49) et (5i), aux valeurs entières de n qui surpassent l'unité, expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'élasticité de l'éther puisse être censée rester la même en tous sens autour d'un point quelconque.
Lorsque ces conditions sont remplies, on tire des équations (10^ et (1 1) jointes aux formules (43) et (44)
T) = S I ^^^^ [i - cos( A-/- cosa)] j,
'nfir)
^/{'^ cos^a -f-
('Os(Avcosa)
D'autre part, si, après avoir fait, pour abréger,
on désigne par
K = lk^^
les dérivées du premier et du second ordre de \'' considéré comme fonction de K, on trouvera
âK
du
= II
dv
d^ dsv
OKuvrcs de C. — S. II, t. X.
et, par suite,
du di^ dw '
du^ dv^ aw-
dvdw ' dw du dudv
En conséquence, les formules (8), (9) donneront
(56) 41 = X3 4-'C>'+«H'^", 0rt = O + \'^'+(^2^", a)T, = t) + \')'+ PvH'>",
(67) te = p(v\')", ^ z^wu^y, si=uv'*o",
et l'équation (7), c'est-à-dire l'équation de l'ellipsoïde qui détermine les lois de la polarisation, deviendra
Pour reconnaître plus aisément la forme de cet ellipsoïde, concevons que l'on fasse coïncider l'axe des z avec la droite OP perpendiculaire au plan de l'onde. Comme on aura dans cette hypothèse
la formule (34) donnera
et la formule (58) sera réduite à
D'ailleurs, en vertu de ce qui a été dit plus haut (page 229), les valeurs de XD, \'>, et par suite celles de \'^', 'Ç", ne varieront pas dans le passage de l'équation (58) à l'équation (59). Maintenant, il est clair que l'ellipsoïde représenté par l'équation (59) sera de révolution autour de l'axe des z et que, dans cet ellipsoïde, le carré du rayon de l'équateur sera égal au rapport
le carré du demi-axe de révolution étant
l')4-\'''+ /cH'^"
Au reste, la discussion de l'équation (58) conduirait immédiatement aux mêmes conclusions. Ainsi, comme nous l'avions prévu (page 224), lorsque l'élasticité de l'éther est la même en tous sens autour d'un point quelconque, rdlipsoïde qui détermine les lois de polarisation d'une onde plane est de révolution autour de la droite perpendiculaire au plan de l'onde; et dans cet ellipsoïde l'axe de révolution et le rayon de l'équateur ne dépendent pas des quantités a, h, c, mais seulement de la quantité k renfermée dans les valeurs de t), <> que fournissent les équations (02) et (53). Ajoutons : 1° que les formules (53) et (55) jointes à l'équation (54) donneront
(6.) <'' = |^= gjm/(r)cos'a.r sin(A; ^ A- ok { r | kr >
rcosa)"
cosot
,a-3^ H^vi I ^^ r m/ /•)cos2a rsin(Xrcosa
(63) V = T -rr = t^S-, — =^-^^ — — cos(A-r cosa)
^ ' k ôk k- { r L krcoso^
1° qu'en développant suivant les puissances ascendantes de k les derniers membres des formules (52), (62) et (63) on en tirera
(64) t)= i^.^rnrUjl^^^ j^,. ^rurUi^^^ ^ ^^^ ^mr- nr)co,^cc
(65) k-<>'= f,.^"^rfir)cos'^cc ^,gmr3/(;-)cos^a^ ^.e g /n^^AO^
Chacune des séries comprises dans les trois formules qui précèdent offre, pour coefficients des puissances paires et ascendantes de X-, des sommes dans lesquelles la fonction f(r) ou/(r) se trouve successivement multipliée par
D'ailleurs l'action moléculaire, par conséquent les fonctions f(/),
/('')' "t' conservent de valeurs sensibles que pour de très petites valeurs de r; et, comme, d'autre part, r étant une quantité très petite du premier ordre, r\ r\ . . . seront des quantités très petites du troisième, du cinquième ordre, ..., il est clair que, dans les séries en question, les coefficients des puissances successives de k doivent décroître très rapidement. Si l'on réduit ces mêmes séries à leurs premiers termes, on obtiendra seulement des valeurs approchées de
et alors, en faisant, pour abréger,
,.„. ç^mr(ir)cos^cc __ ^ mr f{r) c.os^ y. (^Oyj r». -— 1, ^ : = H,
on trouvera
(68) V = kn, \'^' = /c2R, k-V"=2k'-R.
En vertu des formules (5) et (68), les équations (56) et (07) se réduisent à
(69) -C = (2Ra^4-Il + l)/cS D]1 = {2l{b-'-^R-^l)k\ X—(2Rcî+R + !)/,%
(70) ^J?== 2nbck\ ^ z= 2RcaA-2 ^^ 2Rabk\
On aura d'ailleurs, en vertu des formules (5o) et (5i) jointes aux équations (67),
, . j gmA-f(/-)cos^a __gm/-f(/')cos''(3 ^ m/- f(/-) cos^y
i __ g ^/•/(/•)cos^(3cos-y __g w/-/(r)cos'ycos''a mr/(/-) cos^a cos^3
et par conséquent les coefficients, représentés ici par les lettres I et R, ne diff'éreront pas de ceux que déterminent les formules (37), (39) de la page 199 du IIP Volume des Exercices de Mathématiques (').
. (») OEmres de Cauchj, S. H, T. VIII, p. 238.
(]ela posé, il suffira évidemment de diviser par k- les valeurs précédentes de
SI, dK, X, (S, % S^
pour obtenir, comme on devait s'y attendre, celles que fournissent les équations (4 j)» (4^) de la page 27 du V^ Volume (').
Si nous désignons, comme nous l'avons fait ci-dessus (§ II), par s' , s", s'" les trois valeurs de s correspondantes aux trois rayons polarisés dans lesquels se divise généralement un rayon quelconque.
seront les carrés des trois demi-axes de l'ellipsoïde qui détermine les lois de la polarisation. Donc, lorsque cet ellipsoïde, étant de révolution, se trouve représenté par l'équation (58), ou, ce qui revient au même, par l'équation (39), deux des rapports (73) sont égaux à l'expression (60), et le troisième à l'expression (61), en sorte qu'on peul prendre
Alors aussi, en vertu des équations (3), (74) et (70), les trois quantités
c'est-à-dire les trois vitesses de propagation des trois ondes planes dans lesquelles se divise généralement une onde primitive de lumière non polarisée, se réduisent à celles que déterminent les formules
(76) Çl'i^Q:n^'^2j±^^
Par suite, des trois ondes planes dont il s'agit, les deux premières, se propageant avec la même vitesse, se superposeront de manière à n'en plus former qu'une seule, dans laquelle la lumière sera polarisée
(>) OEuvres de Caiic/iy, S. IL T. IX, p. 3(j().
parallèlement au plan de l'équateur de l'ellipsoïde représenté par l'équation (58), ou, ce qui revient au même, parallèlement au plan de l'onde primitive, tandis que, dans la troisième, la lumière sera polarisée perpendiculairement à ce plan. Cela posé, la troisième onde disparaîtra si les déplacements et les vitesses des molécules éthérées dans le premier instant sont parallèles au plan de l'onde lumineuse, et alors il n'y aura plus de polarisation. Au reste, pour que la polarisation de la lumière devienne tout à fait insensible dans les milieux dont l'élasticité est la même en tous sens, il n'est pas absolument nécessaire que la troisième onde disparaisse, et il suffît, comme un jeune géomètre, M. Blanchet, en a fait la remarque, que le rayon correspondant à cette troisième onde soit du nombre de ceux qui échappent au sens de la vue. On conçoit, en effet, que, en raison de la trop grande ou trop courte durée des oscillations de l'éther, l'œil peut cesser de percevoir certains rayons, de même que, en raison de la trop grande ou trop courte durée des oscillations des molécules aériennes, l'oreille cesse de percevoir des sons trop graves ou trop aigus, et l'on pourrait encore supposer l'œil organisé de manière à p,ercevoir les vibrations des molécules éthérées quand elles sont dirigées dans les plans des ondes lumineuses, mais non lorsqu'elles deviennent perpendiculaires à ces mêmes plans. Quoi qu'il en soit, en faisant abstraction de la troisième onde, désignant par T la durée des oscillations des molécules éthérées, et posant [voir la formule (3)]
on aura, en vertu de la formule (74)»
(78) S^Z=Lt)-hV',
ou, ce qui revient au même, eu égard aux formules (02) et (62),
S^-zzz S —^ \i — cos(A7-cosa)l
/•)cos-ar sin(A'/-cosa)"j) /• L Avcosa ]y
ou bien encore, eu égard aux formules (G4) et (65),
mr^
cos*a
mr'
' cos^a
. (8o) < -A-Sj ^^ 3^^ [f('-) + !/('■) cos^ajj
Telle est l'équation qui, dans un milieu dont l'élasticité reste la même en tous sens, lie entre elles les deux quantités
5z=— et ^—f
par conséquent les deux quantités T et /, c'est-à-dire la durée des oscillations moléculaires du fluide éthéré et l'épaisseur d'une onde plane.
Lorsque, dans les équations (74), (73), (7G), (77), on substitue à t), V'y <?" leurs valeurs approchées tirées des formules (G8), on trouve
(83) i2'2r=<^"ïr=R + ], •
Il suit des deux dernières que, dans un milieu dont l'élasticité reste la môme en tous sens, les vitesses de propagation des ondes planes correspondantes au rayon visible et au rayon invisible ont respectivement pour valeurs approchées
(85) (H + I)^ et (3R4-I)S
ce qui s'accorde avec les résultats obtenus dans le V* Volume des Exercices (page 4i) (*)•
Passons maintenant au cas où l'élasticité de l'éther reste la même
(») OEuvres de Cauchf, S. II, T. IX, p. 416.
en tous sens, non plus autour d'un point quelconque, mais seulement autour (l'un axe quelconque parallèle à l'axe des z. Alors les conditions (38), (39) devront être remplies seulement pour les valeurs de //,, r,, iT-, propres à vérifier les formules (4i)* t)'ajlleurs on vérifiera ces formules en supposant
et, en vertu de cette supposition, les conditions (38), (39) deviendront
S — - — ji — cosL/*(« ces a + c cosp + trcosy)]; [
/ = S; J^ — [i— cos//L± («-+ «'-)- cosa + <' cosyj \ \ .,
"^fir)[,
cosa 4- V cos,3 -+- iv cosy)-4-
^ , cos[/-(« cosa + (' co5;3 + «'COsy)]~|)
f — S - -'^ ] L± («^+ r^)^ cosa + (vcosyj -1 ■ — — \^
OU, ce qui revient au même.
S ■ — - }i — cos[/-(m cosa + (-• cos|3 + t^'cosy)] j,
\ -= s|^-^ [i- cosî /[it (A^- w^y- cosa + «r cosy]j] [ ,
ï o (''*/('■) r. , o N, cosr/-(« cosa -h ccosS + iveosy)]"!/ 1 S -^^ ^(«cosa 4- rcos|3 + (ï'cos7)2H i^-^— — ^ ^
i ci ''*/('■) 1 r ■ //•> "N' , V cos,/-|±:(A^-.»'2)'2posa + ivcosyJ( ( f = S — ^r~^\ H— {'< — " )" cosa + «cosyJ -1 ~ '-^ (,
le double signe ± pouvant être réduit arbitrairement soit au signe -fsoit au signe — . Réciproquement, si les équations (89), (90) continuent de subsister, tandis que t/, v varient, mais de manière à vérifier toujours la formule (34) ou
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHÉMATIQUES. 2il
elles ne seront point altérées quand on remplacera dans leurs premiers membres les quantités u, v par d'autres quantités u^, v^ propres à vérifier la formule
et par conséquent les équations (87) et (88), ou (89) et (90), que nous avons déduites des formules (38), (89) jointes aux formules (4i)» entraîneront à leur tour ces formules auxquelles on pourra les substituer sans inconvénient. Donc, pour que l'élasticité de l'éther reste la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des z, il est nécessaire et il suffît que les formules (87), (88) subsistent, non seulement quelles que soient les valeurs de w, mais encore quelles que soient les valeurs de u, v. Or, s'il en est ainsi, en développant les cosinus que ces formules renferment en séries convergentes, puis égalant entre eux les termes qui, dans les deux membres des mêmes formules, représenteront des fonctions homogènes de w, v, w du degré in, on obtiendra les équations
(91) s [m/'-"-' f(/-) {u cosa -f- ('cos(3 4- (T-cosy)-''] = S^mr^"-! f^,.-) |^-i- (,,2, r-)2cosa-f-(T'COS-/J ^
et
(92) S[m/-2«-V(/-) (« cosa + (^005(3 + .Ï' 005 7)2"] = S Jm/-2«-y(r) [± (^/^-h r2)2cosa + ivcos-/]"'|,
dont la première devra être étendue à toutes les valeurs positives du nombre entier n, et la seconde à toutes les valeurs de n qui surpassent l'unité. De plus, en développant les expressions
(«cosa + rcos,3-i-(?'COsy)2«, \±{u'^+ «'2)^cosa + (vcosy]'"
suivant les puissances ascendantes de w dans les deux membres de chacune des formules (91), (92), on tirera de ces formules ; i« pour des valeurs impaires de v,
(98) SCwr^"-' f(/-) {u cosoc + p 008^)2"-^ cos^y] =± («^H- r^)" ~^^[mr'-"-' f(/-) cos^^" -v^ cos'y]
et
(94) S[m/-2«-y(/) {u cosa + r cos(3)2''-v cos''y] =r± (;<"+ ^'»)" ^ S[/«r2«-y(r) cos^'^-'^a cos^y],
OEwresdeC— S. U, t. X. 3l
2i2 NOUVEAUX KXERCICES DE M AÏHÉM AÏIQUES.
le double signe ± pouvant être remplacé à volonté par le signe -h ou par le signe — ; 2** pour des valeurs paires de v,
(9.5) S[m/--"-'f(/-)(«cosa-+- fCOS|3)2«-'' cos^y] = («-+('=)"" "^ S [m/--«-i f(/-) cos-"-'^ a cos"' 7] et
(96) S[mr2"-y(/') («cosa+ t^ cos{3)2«-v cos^y] = {u'-+ ç'-)"~ ~^ i[mr'''-^f{r) cos^''-'' a coa'^y].
Les équations (gS), (94) n'étant pas altérées, tandis que leurs seconds membres changent de signes, on doit en conclure que ces seconds membres sont rigoureusement nuls. On aura donc, pour des valeurs impaires de v,
(97) S[m/-2«-if(/-)cos-«-^acos''y] = o,
(98) S[m/-2"-y(/')cos2'*-''acos''y] = 0,
et par suite les équations (gS), (94) se réduiront à
(99) S[m/-2«-if(r)(acosa + r 008(3)'-"-'' cos^^y] — o,
(100) S[m/-2'^-y(/-)(«cosa + (^008(3)2"-'' cos^y] = 0.
Enfin, comme les deux expressions
(m cosa + p 008(3)2"-% (,^2^ (,2)"" 2 étant développées fournissent, la première, des termes de la forme
(i .2. . .A)(i .2. . ./jt.) dans lesquels les nombres X, [x, v, liés entre eux par l'équation
(47) À H- fJL + V r= 2 /i,
peuvent être pairs ou impairs, et, la seconde, lorsque v est un nombre pair, des termes de la forme
