i,2.cJ

pouvant être présentée sous la forme

2,3 ' 2.3.4.5 ''"/ \2.3 2.3.4.5 pour toute valeur numérique de x inférieure au nombre 2,179.

c'est-à-dire à la racine positive de l'équation

(30) ^ -\ 4-. . .— I ou =2,

^ 2.3 2.3.4.5 -ix

sera dans ce cas, en vertu du théorème V, développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x. Donc la fonction

que l'on déduit de l'expression (49)» en remplaçant x par -> et, par suite, l'expression (48) seront développables en séries convergentes ordonnées selon les puissances entières et positives de la variable x pour toute valeur numérique de cette variable inférieure au nombre 4,35. .. = 2(2,179. . .). Donc la formule (46) subsistera pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites

Il y a plus : comme, pour de telles valeurs de x, le produit de la somme

par la différence i — (?~^, à laquelle on peut toujours substituer son développement, savoir

se réduira identiquement à x, en vertu de la formule (4^), on peut affirmer que cette formule subsistera pour toute valeur de x inférieure au nombre c, si ce nombre est tel que la série

reste convergente entre les limites x — — c, x = c. Donc, par suite,

la formule

(•"^O ^~^:^zr^x'^^-^-^-T:^~~To 1.2.3.4^4^ 1.2.3.4.5.6 "•"'

que l'on déduit de l'équation (46), on y remplaçant x par -ix, subsistera pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x = — ic, X = ic. Nous prouverons plus tard que le nombre c, dont il s'agit ici,

est précisément égal à -•

Quant aux facteurs numériques

qui, dans les seconds membres des formules (46) et (5i), se trouvent pris tantôt avec le signe +, tantôt avec le signe —, et multipliés par les divers termes des développements des fonctions

oX | g-X g2X J Q-1X

1 et

ils sont ce qu'on appelle les nombres de Bernoulli.

§ IX. — Sommation des puissances entières des nombres naturels. Volume d'une pyramide à base quelconque,

A l'aide des principes établis dans les paragraphes précédents, on peut aisément déterminer la somme des m'^m''^ puissances des nombres naturels

savoir

En effet, comme on a

n{n -\- I ) = «-H- II,

OEuvres de C. - S. H, t. X. ï I

les formules (i5) du § 1 donneront

n(n -{- \) ( n -h ot)

et, par conséquent,

n(n -Jr i) (n -h 2) n(n -+- 1) n{n -^r i) {2 n -+- 1)

ou, ce qui revient au même.

Il est bon d'observer que, en vertu des formules (4), on aura (5) n- 8 + 27 + . . .+ /i2=(i + 2 + 3 +. . .+ «)^-

Ainsi, en particulier, on trouvera

On pourrait facilement déduire les formules (3) ou (4) de l'équation (i4) ou (i5) du § V. Effectivement, si l'on pose x=^n dans l'équation (i5) du § V, on en tirera

mim — i) , , ,

/^'" r= /i ( /^ -f- I ) . . . ( rt + m — i ) ^^ /i ( n + i ) , , . ( « -h m — 2 ) + . . .

[ zt. ^ «(n + i) (/i + 2) qz n{n + \)±n,

et, par suite,

puis on conclura de cette dernière, combinée avec les formules (i5) du§I,

b(«"') = — ^ —^ ^ nin + i) . . . (« + w — i) H-.

En opérant de la même manière, on tirera de la formule (1/4) du § V

I 2^"-' 4-1 (/t +1) n{n — i) {n-hi)n

Si, dans l'une des formules (8), (9), on pose successivement

m = i, m = 2, m = 3, ..., on retrouvera précisément les formules (3) ou (4).

On pourrait encore faire servir les nombres de Bernoulli au calcul de la somme S(/i'"). En effet, cette somme est évidemment le coefficient de

i .2.3. . .m dans le développement du polynôme

(lO) ea;^g2a;j__ ^g«a;gx^ ' — ^ ',

suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x. On a d'ailleurs, quel que soit x,

(il) e''^-i = nx-i h ^ +...= ^U+ 1L± + ^L±^- +...),

et, pour des valeurs numériques de x inférieures à i,25o.... (voir le paragraphe précédent),

(12) =zl^-x-\-- u -

les coefficients

que renferment le troisième terme et les suivants, étant précisément les nombres de Bernoulli. Cela posé, on tirera de la formule (10), pour des valeurs numériques de x inférieures à 1,200...,