ï .2. . .ni

puis, en développant le second membre de la formule (i3), suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x, et égalant entre eux les coefficients des puissances de même degré renfermées dans les

deux membres, on trouvera

I rt(n + i) (2/1 + i)(3/i'+ 3« — i)

et généralement

Les deux premières des formules (4) ou (i4) fournissent le moyen de calculer le nombre des boulets dont se composent des piles à base carrée ou rectangulaire, telles qu'on les construit dans les arsenaux; et d'abord, si des boulets sont distribués dans plusieurs couches superposées, de manière à figurer une pyramide à base carrée, le nombre des boulets compris dans cette pyramide se trouvera évidemment déterminé par la seconde des formules (i4)- De plus, si le carré qui servait de base à la pyramide, et dont chaque côté renfermait n boulets, se change en un rectangle dont les deux côtés renferment, le prômier /^, le second n + m boulets, et la pyramide elle-même en un prisme tronqué terminé supérieurement, non par un boulet unique, mais par une file de m + i boulets placés à la suite l'un de l'autre, le nombre total des boulets contenus dans le prisme tronqué sera évidemment

m-f-n-2(wn-2)4-3(/>i-+-3)+...+ /i(/n-{-«) ^mS(n) + S(/i2) = ('m+ "^"^'"jSC/O

ou, ce qui revient au même,

La formule (i6) fournit la règle connue, en vertu de laquelle on obtient le nombre des boulets que contient une pile à base carrée, en multipliant le facteur

c'est-à-dire le nombre des boulets compris dans l'une des faces obliques et triangulaires de la pile, par la somme

c'est-à-dire par le tiers du nombre des boulets compris dans l'arête qui termine la pile, et dans les côtés de la base parallèles à cette arête.

Si, après avoir divisé par n'""^^ les deux membres de la formule (8),

(9) ou (r5), on fait croître indéfiniment le nombre n, le rapport - et ses diverses puissances s'approchant alors indéfiniment de la limite zéro, on trouvera

(17) Iim^T^;^ -

Ainsi, en particulier, si l'on pose successivement m = i, m = 2, .. ., on trouvera

(18) lim ■ :r- = -'

(19) lim

SÇ^)£

On peut appliquer les formules (18) et (19) à l'évaluation de la surface d'un triangle ou de la solidité d'une pyramide, en opérant comme il suit.

Considérons d'abord un triangle dont la base soit B et la hauteur H.

Divisons cette hauteur H en ^ parties égales à

par n — i droites parallèles à la base B. Les portions de ces droites qui se trouveront renfermées dans le triangle seront respectivement

h, ih, ?,b, . . ., {n —i)b,

la valeur de b étant

Cela posé, concevons, en premier lieu, que les deux angles du triangle adjacents à la base B soient aigus. L'aire du triangle sera évidemment supérieure à la somme des aires des rectangles inscrits qui auraient pour bases les longueurs

b, ib, 3 b, ..., {n — i)b,

et inférieure à la somme des aires des rectangles circonscrits qui auraient pour bases les longueurs

b, 2 b, 3 b, ..., (n — i)b, nb=^\i,

la hauteur de chaque rectangle inscrit ou circonscrit étant la distance h entre deux parallèles consécutives. Donc, si l'on prend pour valeur approchée de l'aire du triangle la somme des aires des rectangles circonscrits, savoir

(22) M+ 2M + . . .+ nbhz=zbh^{n) — ^^^BYl,

l'erreur commise sera inférieure à l'aire nbh = — du plus grand des rectangles circonscrits. Si maintenant on fait croître indéfiniment le nombre n, l'erreur commise — décroîtra sans cesse, et la limite de

l'expression (21), qui sera, en vertu de la formule (18),