BH

offrira la véritable valeur du volume de la pyramide proposée.

§ X. — Formules pour l'évaluation des logarithmes. Développement du logarithme d'un binôme.

En prenant les logarithmes népériens des quantités que renferme la formule (i.j) du § VII, on en conclut

Cf. Ci

On aura donc, pour des valeurs positives de a,

Ajoutons que, en vertu de la formule (10) du § V, chacun des deux rapports qui constituent le premier et le dernier membre de la formule (i) aura pour limite l'unité, quand a deviendra infiniment petit.

Soient maintenant x une quantité quelconque, n un nombre entier très considérable, et

Le binôme ih-j? sera le dernier terme de la progression arithmétique

OFMvrcs de C. — S. Il, t. X. 12

et l'on aura identiquement

D'autre part, m étant un nombre entier compris entre les limites o, n, on aura

(■) j + ma ""^"^i-h/^a' i + (m + i)a n-(/« + i)a

et par suite les formules (2), (3) donneront, pour des valeurs positives de X,

De ces dernières, combinées avec la formule (6), on tirera

(9) . ll<l(i-H^)<ni,

les valeurs de tl, li, étant respectivement

!X oc 3t 3C

(n) tl,= a + -^+...+ j^^,^,)^+ , + („!)«•

Lorsque x et, par suite, a deviennent négatifs, la formule (9) doit être remplacée par la suivante

(12) ll>l(H-^)>tli.

Si l'on prend pour valeur approchée de l(i -^ x) la quantité tl ou la demi-somme ^^^^li, c'est-à-dire si l'on pose

(.3) i(i + ^)-Y^ + r4?^+--- + 7TT^r^â-^ y + nx

ou bien

il est clair que l'erreur commise ne surpassera pas, dans le premier ^ cas, la valeur numérique de la différence

(i5) îl, — îl=:a

i ■+- ^ 1 + ^7 n{i -\- jc)

et, dans le second cas, la moitié de cette valeur numérique. Donc cette erreur deviendra infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de n ou, ce qui revient au même, pour des valeurs infiniment petites de a, et l(i + x) aura exactement pour valeur la limite vers laquelle converge le second membre de la formule (i3), tandis que a s'approche indéfiniment de la limite zéro.

Lorsque la valeur de œ est renfermée entre les limites — i, -h i, c'est-à-dire lorsqu'on a

alors, en désignant par m un nombre entier inférieur ou tout au plus égal à n, on a généralement

(17) z=z oc — ma' -]- m- o? — «i' a* 4- ... ,

' \-\- ma

et par suite la formule (i3) donne

(18) l(i + .x-) = «a — a'S(n) + a'S(/i^) — a^S(/i')+... OU, ce qui revient au même,

Si maintenant on fait croître indéfiniment le nombre /?, alors, en

ayant égard aux formules («7), (18) du § IX, on réduira l'équation (19) à la suivante

Cette dernière fournit la valeur exacte de l(i 4- x), toutes les fois que la valeur numérique de x ne surpasse pas l'unité. Alors la série

est nécessairement convergente, ce qu'on peut démontrer directement, attendu que le coefficient a^ de cc,^, dans cette série, étant réduit à

la valeur numérique du rapport -^^ sera la fraction

rt + 1 I

n II

qui, pour des valeurs croissantes de n, s'approche indéfiniment de la limite i. Ajoutons que la série (21) sera encore convergente pour .r = I, et qu'on aura par suite