N III

mais qu'elle deviendra divergente pour a; = — i, ce qu'il était facile de prévoir, puisqu'on a

Enfin, si dans la formule (20) on remplace x par — x, on en tirera

Lorsque, à l'aide des formules (i3), (i4) ou (20), on aura calculé la valeur exacte ou approchée de l(i + x), pour en déduire celle de

HESUMES ANALYTIQUES. 93

\j(i-\-x), la lettre \j indiquant un logarithme pris dans le systi'nic dont la base serait, non plus le nombre e, mais un autre nombre quelconque A, il suffira de recourir à l'équation

L{i -+- x) Le \.\ I

1(1 + ^) ~T7 ^TX~ ~r\' de laquelle on tire

(25) L(i-h^) = LeI(i + ^) ou L{i-hJc)=^-^~--.

Si dans les formules (20) et (2j) on remplace x par -, elles donneront, pour des valeurs numériques de x inférieures à celles de a,

(26) ]{a + a-)z=la'j-- — — A- ~ — ^ +...

a aa^ 6a^ L\a*

et

\a la- 6a-' L\a' J

§ XI. — Développement cVune puissance quelconque cVun binôme. (^omme on a identiquement

on en conclura, en ayant égard à la formule (20) du § X, et supposant la valeur numérique de x inférieure à l'unité,

il! -Il ■'"* (3) I ^x = e ^^ » ~^^"\

On aura donc alors, quelle que soit la valeur positive ou négative de l'exposant [/.,

et, par suite,

ou, ce qui revient au même,

(5) \ +fM^-

f''l-6--T^---;^fU^'--'^'

Or, dans l'hypothèse admise, la somme

conservera une valeur finie et déterminée quand on remplacera les différents termes dont cette somme se compose par leurs valeurs numériques, et l'on pourra en dire autant des sommes que renferment les seconds membres des formules (4) et (5). Donc alors la formule (5) entraînera la suivante

(1 -1- .r)!^ = I 4- \ix (6)

qui se réduit à

l {\-\-xY—\ -\-^x +

Pour déterminer immédiatement le coefficient de j^^ dans le second membre de l'équation (7), il suffit d'observer qu'en vertu de la formule (4) ce coefficient sera une fonction entière de [x du degré n, et que le même coefficient, devant se réduire évidemment à zéro pour les valeurs o, i, 2, 3, . . . , /î — i de l'exposant a,, puis à l'unité pour tj. = n, se confondra nécessairement avec le rapport

RÉSUMÉS ANALYTIQUES. 9o

c'est-à-dire avec la valeur de u que fournit l'équation (3) du § V, quand on y substitue la lettre [jl à la lettre x.

Si dans l'équation (7) on remplace x par —x et tx par — [jl, on obtiendra la suivante

(^ette dernière formule subsiste, comme l'équation (7), pour des valeurs numériques de x comprises entre les limites

X zzi — I, 0^=1: I.

Si l'on considère, en particulier, le cas où l'on a

les formules (7) et (8) donneront

et

(10) (1 — ^) - = i-f--^-1 -,œ-^ TT-X^ T-F-Q^*^

L'équation (9) fournit le développement en série de la racine carrée du binôme i +x, quand la valeur numérique de x est inférieure à l'unité. De même, en posant successivement 0.= x» u, = -, •••, on déduirait de l'équation (7) les développements en séries de la racine cubique, de la racine quatrième, ... de ce même binôme.

Concevons à présent que Ton généralise les notations employées dans le § I, et que l'on désigne par

(fx)„ et [fz]„

les coefficients de x'^ dans les développements des binômes

{^\ + xY et (i — j7)-i^

suivant les puissances ascendantes et entières de j?, [jl représentant

iiiH» quantité quelconque et n une quantité entière, positive, nulle ou négative. Alors on aura, pour /^ > o,

(iO

pour /^ = o, lors même que \l deviendrait nul,

enfin, pour /^ <C o,

<'l les formules (7), (8) pourront s'écrire comme il suit

(i4) (i + ^')^' ■=i + {ii-)iX + {[)-)iX- + ...,

Si dans l'équation (7) on remplace x par -, on obtiendra la suivante

Cette dernière, qui subsiste pour des valeurs numériques de x inférieures à celles de a, est précisément ce que devient la formule (2) du § II quand on y remplace m par tx.

§ XII. — Trigono/nétr^ie .

Une longueur, comptée sur une ligne droite ou courbe, peut, comme toute espèce de grandeurs, être représentée soit par un nombre, soit par une quantité positive ou négative, savoir par un nombre lorsqu'on a simplement égard à la mesure de cette longueur, et par une quantité, c'est-à-dire par un nombre précédé du signe -4- ou —, lorsque, l'on considère la longueur dont il s'agit comme portée à partir d'un

RESUMES ANALYTIQUES. 97

point fixe, sur la ligne donnée, dans un sens ou dans un autre, pour servir soit à l'augmentation soit à la diminution d'une autre longueur constante aboutissant à ce point ûxg. Le point fixe dont il est ici question, et à partir duquel on doit porter les longueurs variables désignées par des quantités, est ce qu'on appelle Vorigine de ces mêmes longueurs. On peut choisir à volonté le sens dans lequel on doit compter les longueurs désignées par des quantités positives; mais, ce choix une fois fait, il faudra nécessairement compter dans le sens opposé les longueurs qui seront désignées par des quantités

négatives.

Dans un cercle dont le plan est supposé vertical, on prend ordinairement pour origine des arcs l'extrémité 0 du rayon tiré horizontalement de gauche à droite, et c'est en s'élevant au-dessus de ce point que l'on compte les arcs positifs, c'est-à-dire ceux que l'on désigne par des quantités positives. Dans le même cercle, lorsque le rayon se réduit à l'unité, la quantité positive ou négative s qui représente un arc sert en même temps à représenter l'angle au centre compris entre les rayons menés à l'origine et à l'extrémité de cet arc. Alors, pour obtenir ce qu'on nomme le sinus ou le cosinus de l'arc ou de l'angle s, il suffit de projeter orthogonalement le rayon mené à l'extrémité de l'arc: i" sur le diamètre vertical; 2° sur le diamètre horizontal. Si l'on prolonge ce même rayon jusqu'à la rencontre des tangentes menées à la circonférence par le point 0, origine des arcs, et par l'extrémité supérieure P du diamètre vertical, les parties de ces tangentes interceptées entre la circonférence et les points de rencontre seront ce qu'on appelle la tangente et la cotangente trigonométrique de l'arc s. Enfin les longueurs comptées sur le rayon prolongé entre le centre du cercle et les points de rencontre seront la sécante et la cosécante du même arc. Les sinus et cosinus, tangente et cotangente, sécante et cosécante d'un arc ou d'un angle s sont ce qu'on nomme ses lignes trigonométriques . On désigne encore quelquefois sous ce nom deux longueurs appelées sinus verse et cosinus verse, dont la première est comprise entre l'origine de l'arc s et la projection de l'extrémité de cet arc

OEuvres de C. — S. U, t. X. l3

98 KÉSUMÉS ANALYTIQUES.

sur le diamètre horizontal, tandis que la seconde est comprise entre l'extrémité supérieure du diamètre vertical et la projection de l'extrémité de l'arc sur le même diamètre.

Si l'on représente suivant l'usage par

le rapport de la circonférence au diamètre, la circonférence entière, dans le cercle qui a pour rayon l'unité, sera exprimée par 2û, la moitié de la circonférence par tt, et le quart par -• Cela posé, il est clair que, pour obtenir l'extrémité de l'arc

s + inr. ou s — inr.

(n étant un nombre entier), il faudra porter sur la circonférence, à partir de l'extrémité de l'arc s, dans le sens des arcs positifs, ou dans le sens des arcs négatifs, une longueur égale à 2/^u, c'est-à-dire parcourir n fois la circonférence entière dans un sens ou dans l'autre, ce qui ramènera nécessairement au point d'où l'on était parti . Il en résulte

que l'extrémité de l'arc

s ± 2mz

coïncide toujours avec celle de l'arc s, et que ces deux arcs ont précisément les mêmes lignes trigonométriques.

D'après ce qui a été dit ci-dessus, le sinus et le cosinus verse d'un arc se mesurent sur le diamètre vertical, le cosinus et le sinus verse sur le diamètre horizontal, la tangente trigonométrique et la cotangcnte sur les tangentes menées à la circonférence par l'origine des arcs et par l'extrémité supérieure du diamètre vertical, enfin la sécante et la cosécante sur le diamètre mobile qui passe par l'extrémité de l'arc.. De plus le sinus, le cosinus, la sécante et la cosécante ont pour origine commune le centre G du cercle, tandis que l'origine 0 des tangentes et des sinus verses se confond avec l'origine des arcs, l'origine P des cotangentes et des cosinus verses étant l'extrémité supérieure du diamètre vertical. Enfin on est généralement convenu de représenter par des quantités positives les lignes trigonométriques de l'arc s

dans le cas où cet arc est positif et moindre qu'un quart de circonférence; d'où il suit que l'on doit compter positivement le sinus et la tangente de bas en haut, le cosinus verse de haut en bas, le cosinus et la cotangente de gauche à droite, le sinus verse de droite à gauche, enfin la sécante et la cosécante dans le sens du rayon mené à l'extrémité de l'arc s.

En partant des principes que nous venons d'adopter, on reconnaîtra immédiatement que le sinus verse et le cosinus verse sont toujours positifs, et de plus on déterminera sans peine les signes qui doivent affecter les autres lignes trigonométriques d'un arc dont l'extrémité est donnée. Pour rendre cette détermination plus facile, on conçoit le cercle divisé en quatre parties égales par les diamètres horizontal et vertical, et ces quatre parties sont respectivement désignées sous le nom de premier, deuxième, troisième et quatrième quart du cercle. Les deux premiers quarts de cercle sont situés au-dessus du diamètre horizontal, savoir le premier à droite et le deuxième à gauche. Les deux derniers sont situés au-dessous du même diamètre, savoir le troisième à gauche et le quatrième à droite. Cela posé, si l'on cherche les signes qui doivent être attribués aux diverses lignes trigonométriques d'un arc autres que le sinus verse et le cosinus verse, suivant que l'extrémité de cet arc tombe dans un quart de cercle ou dans un autre, on trouvera que ces signes sont respectivement

Dans Dans Dans Dans

le I" quart de cercle, le 2'. le 3". le 4''.

Pour le sinus et la cosécanlc -4- -4- —

Pour le cosinus et la sécante -+- — — -^

Pour la tangente et la cotangente. ... -+- — -^ —

On peut remarquer à ce sujet que le signe de la tangente et de la cotangente est toujours le produit du signe du sinus par le signe de cosinus. Deux arcs représentés par deux quantités s, t sont appelés suppléments l'un de l'autre, lorsqu'on a

(l) 5 -I- ^ = TC.

Ils seront compléments l'un de l'autre si l'on a

Alors on se trouvera évidemment ramené à l'extrémité de l'arc

si l'on porte son complément /, dans le sens où l'on comptait primitivement les arcs négatifs, non plus à partir de l'origine commune 0 des arcs et des tangentes, mais h partir de l'origine P des cotangentes qui

coïncide avec l'extrémité de l'arc -• Donc à la place d'un arc s on

obtiendra son complément t, si, l'extrémité de l'arc restant la même, on transporte l'origine de cet arc de 0 en P, et si l'on convient en même temps de compter les arcs positifs, non plus dans le sens OP, mais dans le sens PO. D'ailleurs, en opérant ainsi, on échangera évidemment le rayon CO mené à l'origine des tangentes, et sur lequel se mesuraient les cosinus positifs, contre le rayon GO mené à l'origine des cotangentes, et sur lequel se mesuraient les sinus positifs. Donc le cosinus, la tangente et la cosécante de l'arc s se confondront avec le sinus, la tangente et la sécante de son complément /, en sorte qu'on aura généralement

(4) cos,y = sin( s\, cot.ç = tang( s\ cosécs' =r séc ( - — .«

Comme, dans le triangle rectangle qui a pour hypoténuse le rayon, et pour deuxième côté le cosinus ou le sinus, le troisième côté est évidemment égal au sinus ou au cosinus, on peut affirmer que le sinus et le cosinus d'un même arc s sont liés entre eux par l'équation

(5) sin^5 -f- cos^.î = I.

De même, en considérant le triangle rectangle qui a pour côtés la sécante, la tangente et le rayon mené au point 0, ou la cosécante, la

cotangente otle rayon mené au point P, on trouvera

(6) séc^5=: I + tang^A-

ou

( j ) eoséc'5 = I -4- cot-5.

Ajoutons que, ces triangles rectangles étant semblables entre eux, les côtés du premier ou les valeurs numériques de

C0S5, siriA-, I

seront proportionnels aux côtés du second, c'est-à-dire aux valeurs

numériques de

I, tang^, sécî,

et aux côtés du troisième, c'est-à-dire aux valeurs numériques de

cot.î, 1, coséc^.

Donc les valeurs numériques des lignes trigonométriques

lang.9, sécî, cois, cosécsseront respectivement égales aux valeurs numériques des rapports

sirKç 1 cos.ç ]

C0S5 C0S5 sin^ sin5

et, comme elles seront positives ou négatives en même temps que ces rapports (wi> ci-dessus le Tableau relatif aux signes), on aura nécessairement

/o\ . sin.ç , I cos^ I

(,») tang5=z , sec5= , q,oU=z— — , co?.qcs=z-

C0S5 C0S5 sin* sin5

Enfin siv^ et cosiv^, c'est-à-dire le sinus verse et le cosinus verse de l'arc s, seront évidemment déterminés par les formules

(9) siv5=: I — C0S5, cosiv5= I — sin6-.

Donc toutes les lignes trigonométriques d'un arc a peuvent être facilement exprimées à l'aide du sinus et du cosinus de cet arc.

Les extrémités du cosinus et du sinus d'un arc étant précisément les projections de l'extrémité de l'arc : i" sur le diamètre horizontal, 2° sur le diamètre vertical, il est aisé de voir que les arcs

5 et — s

ont le même cosinus, mais des sinus égaux et des signes contraires. Donc

(lo) cos{— s) =:coss, slu (— .ç) = — sin .9.

On trouvera de même

(il) cos{r. -i- s) z=~ coss, sin(T: H- ^) =: — sin.v

et généralement, en désignant par 2k-+-i un nombre impair quelconque,

(f2) cos[5 ± (2A ■ + i)7î] =— C0S5, sin[5± (aA- + i)7r] =— sin.9. On aurait, au contraire, en désignant par 2k un nombre pair,

(i3) cos(5± 2A-7î) = C0S5, sJH (.9 dz 2 A-Ti) = sin5.

Enfin, si l'on remplace s par —s dans les formules (i i) et dans les suivantes

(i4) cos( - — 5 I =; sin5, sin ( - — ^j^rcos^,

on en tirera

(i5) cos(7r — ^) = — COS.Ç, sin(r — .ç) = sin.v

et

(i6) cos( - + .ç J en— sin5, sin( — h^)=:cos.ç.

On pourra donc exprimer en fonction de s'ms et de cos^ les sinus et cosinus des arcs

— S, - ± S, 71 ±: 5, s±2kT:, 5 ± (2 A' H- 1)7:, et même leurs autres lignes trigonométriques, dont les valeurs se dé-

HÉSUMÉS ANALYTIQUES. 103

(luiront aisément des formules (8), (9), combinées avec les équations (10), (11), (12), (i3), (i4). (j5), (16).

observons encore que, s étant un arc quelconque, le rapport - sera nécessairement compris entre deux termes consécutifs de la progression arithmétique

indéfiniment prolongée dans les deux sens. Soit m le terme le plus voisin du rapport -, m désignant une quantité entière positive ou négative. On aura

0 représentant un nombre inférieur ou tout au plus égal à {; puis, en

posant, pour abréger,

± 9v: = oc,

on tirera de l'équation (17)

(18) s = mrL -h (X,

a désignant un arc positif ou négatif, mais renfermé entre les limites -• Gela posé, les formules (12) et (i3) donneront

Ti — )

(19) cos.î==cosa, sin.î=:sina, si la valeur numérique de m est paire, et

(20) cos5 = — cosa, sin.ç=:— siiia,

si la valeur numérique de m est impaire.

Concevons maintenant que a, ^ représentent les deux angles aigus d'un triangle rectangle. Ces angles étant compléments l'un de l'autre,

a, ^ seront deux quantités positives inférieures à - et liées entre elles par l'équation

Soient d'ailleurs a le côté opposé à l'angle a, ^ le côté opposé \\ l'angle p, et c l'hypoténuse. Le triangle dont il s'agit sera semblable à tous ceux qui offriront les mêmes angles, par conséquent à celui qui, dans le cercle décrit avec un rayon équivalent à l'unité, aurait pour premier côté le cosinus de l'arc a, et pour hypoténuse le rayon mené à l'extrémité de cet arc, le second côté étant alors égal à sina. Donc les côtés

du premier triangle seront proportionnels aux côtés homologues du second, c'est-à-dire aux trois quantités

sin a — cos (3, cos a ~ sin (3, i , en sorte qu'on aura

sin a cos a

Lorsque des cinq quantités

deux sont données, on peut aisément, h l'aide des formules (21), (22), déterminer les trois autres, pourvu que les quantités données ne soient pas les deux angles a, (3. En effet, si l'on donne un des angles a, p, l'autre se déduira immédiatement de l'équation (21). Donc alors l'angle a sera connu, et, si l'on donne en outre une des trois longueurs a, h, c, la formule (22) fournira les valeurs des deux autres.

On trouvera, en particulier, si a est connu,

(23) 6 — «cota, crracoséca; si h est connu,

(24) «r^ètanga, c = 6séca, et, si c est connu,

(25) a = csina, b=iccosot..

RÉSUMÉS ANALYTIQUES. t05

Si l'on donnait deux des trois longueurs a, h, c, on déterminerait immédiatement l'angle a par l'une des trois équations

ah a

(26) sma=:-j cosa=:-5 tanga=:-r,

puis on obtiendrait la troisième longueur en opérant comme dans la première hypothèse.

Deux droites tracées arbitrairement dans l'espace sont censées former entre elles les mêmes angles que formeraient deux autres droites parallèles aux premières et passant par un même point. Cela posé, étant données deux droites, situées ou non dans un même plan, qui comprennent entre elles l'angle aigu a, et une longueur c mesurée sur la première droite, si l'on projette orthogonalement cette longueur : 1° sur la seconde droite, 2** sur une droite qui soit perpendiculaire à la seconde dans un plan mené par celle-ci parallèlement à la première, les deux projections se réduiront évidemment aux deux côtés a, h d'un triangle rectangle dans lequel l'hypoténuse égale à c formerait avec le côté b l'angle a. Par suite, on déduira de la seconde des équations (24), jointe à la seconde des équations (23), le théorème que je vais énoncer.

Théorème I . — Une longueur c mesurée sur une droite est équivalente à sa projection sur un axe quelconque multipliée par la sécante de V angle aigu a que cette droite forme avec l'axe. La projection elle-même équivaut à la longueur c multipliée par le cosinus de l'angle a.

Considérons à présent, dans un cercle dont le rayon serait R et le

diamètre

DinaR,

l'arc compris entre deux rayons qui formeraient entre eux un angle double de l'angle aigu a. Cet arc sera représenté par 2a si R se réduil à l'unité, par 2Ra dans le cas contraire; et, si l'on nomme a la corde de ce même arc, ^a sera le côté opposé à l'angle a dans le triangle rectangle qui aura pour hypoténuse l'un des rayons ci-dessus men-

Œuvres de C. — S. II, t. X. l4

tiennes. Cela posé, on tirera de la première des formules (25), en y remplaçant a par \a et c par R,

(27) |a = Rsina, « = aRsina = D sina,

par conséquent

sina

D'ailleurs, les deux portions de la circonférence situées de part et d'autre de la corde a seront évidemment des segments capables des angles a, tt — a, qui offrent le même sinus. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème II. — Bans un cercle quelconque, le rapport qui existe entre la corde d'un arc et le sinus de tout angle inscrit dont les côtés comprennent entre eux ce même arc équivaut au diamètre.

Soient maintenant a, b, c les trois côtés d'un triangle quelconque, et a, p, Y les angles opposés à ces côtés. Les quantités a, p, y, toutes trois positives et inférieures à ir, seront liées entre elles par l'équation

(28) 3c + [3 + yi=7r.

De plus, si l'on nomme D le diamètre du cercle circonscrit au triangle, on aura, en vertu du théorème II,

^'^^' sina "" siri[3 ~ siny ~

Enfin, si, en prenant le côté c pour base du triangle, on nomme h sa hauteur, a, b deviendront les hypoténuses de deux triangles rectangles qui auront pour côté commun la hauteur h, les angles opposés à ce côté commun étant respectivement l'angle p ou son supplément 7î — p et l'angle a ou son supplément t: — a. Donc, en ayant égard aux

formules

sin(7r — a) = sinoc, sin(7: - (3) = sin|3, - .

on trouvera, dans tous les cas,

(3o) A = asin|3 = ôsina.

Ajoutons que la base c du triangle donné sera évidemment égale à la somme des côtés non communs des triangles rectangles, si les deux angles a, ^ sont aigus, et à la différence des mêmes côtés, si l'un de ces angles, a par exemple, devient obtus; d'où il suit qu'on aura, dans le premier cas, (3i) c=: acos[3 4- 6 cosa

et, dans le second cas,

c = « cos[3 — b cos(7r — a).

Or, en combinant la dernière formule avec l'équation

cos(7: — a) = — cosoc,

on retrouve précisément la formule (3i), qui est ainsi démontrée, lors même qu'un des angles a, ^ cesse d'être aigu.

Lorsqu'on pose y=-' les formules (28) et (29) se réduisent, comme on devait s'y attendre, aux formules (21) et (22). Observons encore que la formule (3o) entraîne évidemment l'égalité des rapports

sitia sin[3

et s'accorde ainsi avec la formule (29). Lorsque dans un triangle on donne trois des six éléments

on peut aisément déterminer les trois autres ii l'aide des formules (28), (29), (3o), (3i), pourvu que les éléments donnés ne soient pas les trois angles a, |3, y. Dans cette dernière hypothèse, on ne pourrait évidemment déterminer que les rapports existants entre les côtés. Mais, si l'on donne un côté a avec deux angles, après avoir calculé le troisième angle à l'aide de la formule (28), on connaîtra certainement

a et a, par conséquent

sina

par le moyen de la formule (29), de laquelle on tirera

(33) ^> = Dsin;3, c = Dsiny.

Si l'on donne deux côtés h, c, avec l'angle (3 opposé à l'un d'eux, on connaîtra encore

sinp

puis, on obtiendra successivement y, a et a par le moyen des formules (29) et (28), desquelles on tirera

(35) siny=r-, a=i7r— ((3 + y), a =.1) sina.

Si l'on donne deux côtés ô et c avec l'angle compris a, alors, pour déterminer a et (3, on aura les formules (3o) et (3t) ou

( «sin (3 =: Z* sina,

' a cos ^=: c ~ b cos a, avec la suivante

(37) cos2(3 + sin2|3 = i, et l'on en conclura : 1° en éliminant a

(38) col3=: - cola — i :

2*^ en éliminant p

(39) «-= ft*4- C-— 2 6ccosa.

D'ailleurs, p étant connu, on pourra calculer y et a commq dans le cas précédent. Enfin, si l'on donne les trois côtés a, h, r, on déterminera

l'angle a par le moyen de l'équation (Sq), de laquelle on tire

( 40 ) COS Cf. = y J

^^ ' 2 oc

puis D, |3 et Y par le moyen de la formule (32) jointe à celles-ci

(40 sin(3=^, y:=7:(a + ;3).

Lorsque dans la formule (3i) on substitue les valeurs de a, h, c tirées de la formule (29), savoir

a = Dsina, 6=Dsint3, cz^Dsiny,

on en conclut

siny r= sinacos[3 + sin[3 cosa.

En combinant cette dernière avec la formule (28), de laquelle on tire

siny = sin(7T — a — (3) = sin(a + j3), on trouvera

(42) sin(a + [3) = sinacosj3 H- sin(3cosa.

La formule (42) se trouve ainsi démontrée dans le cas où a, ^ sont deux quantités positives propres à représenter deux angles d'un triangle quelconque, c'est-à-dire deux quantités positives dont la somme ne surpasse pas le nombre -. Elle subsistera donc, si a et fl sont deux angles aigus; et de plus, si, a, |3 étant deux angles aigus, on remplace dans l'équation (42) a par - — a, la formule ainsi obtenue, savoir

sin(7r — a M- j3) =r sin(7r — a)cos{3 + sinj3 cos(7r — a), ou

(43) sin(a — ;3) = sinacosf3 — sin;3 cosa,

subsistera certainement dans le cas où tt — a -h [^ sera inférieur à 7:, c'est-à-dire dans le cas où l'on aura

D'ailleurs, en ayant égard aux équations

sin(— a) — — sina, cos(— a) = cosa,

sin(— (3)=:— sin[3, cos(— [3) = cos[3,

sin(— a — [3)i= — sin(a -H (3), s\n(— a + (3) =— sin(a — [3),

on reconnaîtra sans peine : i° que, pour obtenir l'équation (43), il suffit de remplacer dans l'équation (42) [i par - P; 2." qu'on n'altère point les formules (42) et (43) quand on y remplace simultanément a par — a et |3 par — p. Donc la formule (42) subsiste pour toutes les valeurs positives ou négatives de a et de ^ renfermées entre les

limites j H

Soient maintenant x, y deux arcs quelconques positifs ou négatifs. D'après ce qui a été dit plus haut, on aura

(44) ' x-=zmTz-\-a, j = /i7r + [3,

m, n désignant deux quantités entières positives ou négatives, et a, ^ deux quantités comprises entre les limites — tt, 4- t:. Cela posé, pour passer de l'équation (42) à la suivante

(45) ' sin(x + (3) = sin^cos;3 -H sin;3 cos^, il suffira d'observer que l'on a

sin(m7r-r-a -h (3) — sin(a-h (3),

sin(m7r-ha) =sina,

cos(m7r + a) =cosa,

quand m est pair,

et

sin {niTz-i- a + jS) = — sin(a -i-l3),

sin(m7î-i-a) =— sina,

cos(wTî + a) =— cosa,

quand m est impair. Par la même raison, de la formule (45) on déduira immédiatement celle-ci

(46) . sin(^ +j>-) = sin^cosj -h sin/coso^.

Si dans cetio dernière on remplace j par — r, elle donnera

(4^) sin(x — j)=:sin^cos7 — sinjcos.a7.

Enfin, si dans les formules (46) et (47) on remplace a:^ par ^ — x, on en tirera

(48) cos(.37 — 7) = cos^ cos J + sin^ sin j,

(49) cos(^ +/) = cos^cosj — sina^sin/.

Les formules (47)» (48), (49) subsistent, comme la formule (46), pour des valeurs quelconques positives ou négatives des arcs x et y. Les formules (4^)» (49) pouvant s'écrire comme il suit

sin (o:^ + j) == (lang^ + langj) cos^cos/, cos(a; -f-j) = (i — lang^ langj) coso? ces/,

on en conclut, en divisant la première par la seconde,

,„ , , , tang^ + tangv

5o) tang^+j = J ^»Z,

° •^ r — tanga^langj

puis, en remplaçant/ par — j,

tang.r — tang j

(5i) lang(^— 7) —

I + langer langj

De plus, si dans les formules (4^), (49)» (5o) on pose j = ^, elles donneront

(02) sina^r =: 2 sin^ cos^,

(53) cos2^ = ç,Q'sP-x — sin^.3; = 2 cos^^ — 1 = 1 — 2 sin^ X,

.... ^ 2 tango;

(d4) tang2^=r ^-r— •

° I — tang^jr

On tire encore des formules (46), (4?)» (4^), (49)

sin {x -\- y') -\- sin {x — y) ■= 2 sin x cosy,

sin {x H- j) — sin {x — k) = 2 sin y cos^, (55) < •

1 cos(.r — y) -h cos{x -h y) ^=--2 cosx cosy,

\ cos(ar — y) — ces (a; 4-7) := 2 sin a;. sin /;

puis, en posant

OU, ce qui revient au même,

on en conclut

/ sin/? — sin^ tang|(/? — q)

i sin/j-hsin^ ~~ lang{(/j + 7)'

(56) \ COSfif — cosp

i ^ = tangi(/? — 7)langi(/> + 7),

I COS^ + COS/? o / v/- 11 o.vr V />

En combinant la première des équations (56) avec la formule (29), on trouvera

( 5- ) tang|((3 — y) sin^ — siny h — c

tang|({3 + y) sin[3 + siny 6 + c"

Or, de cette dernière, jointe à l'équation (28), on déduira les suivantes

/ tang!- ^ = 7 cot -,

à l'aide desquelles on peut dans un triangle déterminer immédiatement les angles (3 et y, quand on connaît l'angle a et les côtés qui le comprennent.

Les formules (52) et (53) donnent

(39) sma m 2 sin - cos-,

(60) cosa=:2Cos^ 1 = 1 — 2sin^--

En combinant la formule (60) avec l'équation (39), on trouve

(61) a--^{b -^ cY— '^bc cos^ - = (6 — c)^-}- aZ^csiri--;

puis, on observant que, dans un triangle quelconque, on a

et que, en conséquence,

sin -} cos-

doivent être positifs, on tire des formules (6i) et (Sq)

,^ , a iUa-\-h-^c){h-\-c -a)\'

f 6. ) ^«« :^ -- ^ 1 -Te J '

(63) sin .- = - [^ ^~ I ,

,^,, . r(a + 6 + c) fÔH-c — «) (c + a— 6) (a + 6 — c)l-

(64) sin a = , •

^ ' ibc

Chacune des formules (62), (63), (64) peut être substituée avec avantage à la formule (4o), quand il s'agit de déterminer les angles d'un triangle dont on connaît les trois côtés a, h, c. Si d'ailleurs on nomme h la hauteur du triangle, le côté c étant pris pour base, la surface -ch sera, en vertu de la formule (3o), égale à

- bc sin a,

et, en vertu de la formule (64), à

S représentant le demi-périmètre

Tant que l'arc a reste positif et inférieur à -, alors, cos - et sin - étant nécessairement positifs, on tire de la formule (60)

A-+-cosa . a /i

,-,., a / 14- cos a . a /i — cos a

( 60 ) cos - = ■

A l'aide de ces dernières équations réunies à la formule cost: = — i, on déterminera sans peine les sinus et cosinus des arcs représentés

OEuvres «/f <7. — S U, t. \, l5

par le troisième, le quatrième, ... terme de la progression géométrique

(06) 27:, 7:, -, 7> yj

En y joignant les sinus et cosinus des arcs tt et 27:, on trouvera

71 TT I ;: V 2 4- i/î

COS2 7r — I, C0S7:=— I, COS-=0, COS ,- =: -— > COS- =: ^

. TT .71 I . 7: V2 — i/2

Sm2Tr=rO, Sin7i^0, Slll-:i:::i, Sin^ =t— , Slïï - -^ ^—

On aura par suite

(68) lang2 7r — o, tang7r=:o, tang- = -, lang^=i, tang^ = (^ ^4)

(dq) sec27: = i, sec7:=--i, sec- = -, sec-r--V2, seo, .^ — ,

On peut encore déterminer facilement les sinus et les cosinus des arcs compris dans la progression géométrique

, . 271 TT 7r 71

et d'abord, comme dans un triangle l'égalité des trois côtés a, h, c entraine l'égalité des trois angles a, |3, y, on conclura de la formule (28) que ^ représente un quelconque des angles d'un triangle

équilatéral. Gela posé, on tirera des formules (^o), (64), en y faisant a — 7> = c,

cos - = - , sm 7,- '~ ~ ,

et de ces dernières, réunies aux équations (02), (53), (65), on déduira le système des formules

( ^^^2 7r I 7T I TT v/3 7T v/2-hv/3

SHi^--'-, sm-=:^ , sm-r = -, sm — = -5Î ^

On aura par suite

tang -^- — — v^S, lang ^ — v''^.

sec -„-

sec ^ — 9-,

sec

Au reste, on peut établir directement la formule

lang

sec

SIHtt = COS7;