I /"^ <://' ( 71.2.3.4.5 \ r- dr
9 1.2.3.4.5.0.7 Enfin on a évidemment
i m d[r'({r)] i ^7^ dr (■^••-
,/ k'r'^ AV« A-»/-» \
k' dr
- L ^'^' V 1.2. 3;j I /.„,.„ sinAr i \
k-^ dr -^l^cosA/ ^.^ +3^ ' I
Donc la formule (i/j) pourra s'écrire comme il suit :
d\ ( cos kr ,- h -^ k- r-jf{r)l
k'r' dr )
Au reste, la formule (i5), comme nous le prouverons dans un autre Mémoire, pourrait encore se déduire immédiatement de la formule (79) du § III.
Les formules (79) et (80) du § III, ou la formule (i5), à laquelle on peut les réduire, se rapportent au cas où, les conditions (48), (49), (5o), (5i) (§ III) se trouvant remplies, la propagation de la lumière s'effectue de la même manière en tous sens; et nous devons ajouter que ce phénomène, qui a rigoureusement lieu dans le vide, subsiste approximativement dans les divers milieux, puisque, dans les corps doués de la double réfraction, la différence entre les vitesses de propagation des rayons ordinaire et extraordinaire est généralement fort petite. Or les conditions que nous venons de rappeler se vérifient toujours, comme il est facile de s'en assurer, lorsque, dans les sommes indiquées par le signe S et qui sont de l'une des formes
S[m/--"-' f(/-) cos^-acos!^{3 cos''y], ^[mr-"--^ f{r) cos^-a cos!^[3 cos'^y],
les sommations relatives aux angles a, p, y, compris entre le rayon vecteur r et les demi-axes des coordonnées positives, peuvent être remplacées par des intégrations aux différences infiniment petites et relatives à deux angles auxiliaires jo, q liés aux trois premiers par les équations
(16) cosa = cos/?, cos(3 = sin/?cos^, cosy = sin/> sin^r,
l'angle/? étant celui que forme le rayon vecteur ravec un axe fixe, et l'angle q celui que forme un plan fixe mené par l'axe fixe avec le plan mobile qui renferme le même axe et le rayon r. Il est donc naturel de penser qu'on obtiendra une première approximation des mouvements de l'éther dans tous les milieux, et probablement avec une grande précision les lois de son mouvement dans le vide, si l'on change les som-
mations doubles relatives aux angles/?, q en intégrations doubles, ou même les sommations triples relatives aux variables/?, q, r en intégrations triples. Alors, en désignant par p la densité de l'éther au point avec lequel coïncide la molécule m; par m une seconde molécule dont les coordonnées polaires soient p,q,r; par F(r) une fonction du rayon vecteur r qui s'évanouisse pour r = ao, et par - le rapport de la circonférence au diamètre, ou le nombre 3,i4i59265. . ., on trouvera
(17) S[mF(r)J=r C f pr-F{r)smpdr
dq dp,
le signe S s'étendant, dans le premier membre de l'équation (18), à toutes les molécules m distinctes de m, et
représentant deux valeurs de r, dont la première soit nulle ou bien équivalente à la plus petite distance qui sépare deux molécules voisines d'éther, la seconde infinie ou du moins assez grande pour que,
dans l'expression
S[mF(r)],
la somme des termes correspondants à des valeurs plus considérables de r puisse être négligée sans erreur sensible. Gomme on aura d'ailleurs
sinpdp = 2, j dgz=2'K,
on pourra, en supposant la densité p constante, réduire la formule (17) à
(18) ^[mF{r)]=l^Tip f %'^-F{r)dr,
et par suite l'équation (i5) donnera
(19) s^^^^np r'"^[;^(cos/tr-'>-^^ + lAV»)f(r)l
«/. dT-
Or, pour de très grandes ou de très petites valeurs de r, le produit
/ I ; sinAv I \
.1 „ cosAt sinAr i k- r'' i X:*/'^
développé en un trinôme ou en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de r, pourra être remplacé sans erreur sensible par le premier terme de son développement; et ce premier terme, vis-à-vis duquel tous les autres pourront être négligés, sera, pour de très grandes valeurs de r,
3 ' et, pour de très petites valeurs de r,
Donc la formule (19) donnera sensiblement
(21) s^-= ^ [ri f(rj - ^ AV,* f(;-„)j.
Supposons maintenant ro = o, r^=:co. L'équation (21) fournira pour s^ une valeur finie, positive et différente de zéro, dans deux cas dignes de remarque, savoir : 1° quand le produit
(22) r^-Ur)
se réduira, pour une valeur infiniment grande de la distance r, à une constante finie et positive; 2° quand le produit
(23) r^Hr)
se réduira, pour une valeur infiniment petite de r, à une constante finie mais négative. Le premier cas aura lieu, par exemple, si l'on suppose
(24) nr) = ~^
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHÉMATIQUES. km
G désignant une constante positive, et alors la valeur de .?-, réduite à
(20) s-=-^pG,
deviendra indépendante de la quantité k. Pareillement, le second cas aura lieu si l'on suppose
H désignant encore une constante positive, et alors la valeur de s, déterminée par l'équation
