VIBRATIONS TOURNANTES DTNE VERGE RECTANGULAIRE

Considérons, comme ci-dessus (p. 23), une verge rectangulaire qui, dans l'état naturel, ait pour axe l'axe des x, pour densité la constante p, et pour section transversale un rectangle dont les côtés ih, ii soient respectivement parallèles aux axes des y et z. Supposons d'ailleurs que, cette verge venant ii se mouvoir, on désigne, au bout du temps /, par X, y, z les coordonnées de l'un de ses points, par X, Y, Z les projections algébriques de la force accélératrice appliquée au point (a?, r» ^)» et par A, F, E; F, B, D; E, D, G les projections algébriques des pressions que supportent au même point, du côté des coordonnées positives, trois plans perpendiculaires aux axes des x, y, z. Soient encore x — ^,y — -q, ^ — C les coordonnées initiales du point {x, y, z), et concevons que les faces latérales de la verge, primitivement paral- Itdes aux plans des x, y et des x, z, soient soumises aux pressions t'xtérieures et constantes P, 'i*. Enfin, désignons par

les valeurs des déplacements H, yj, C relatives au point qui, étant situé sur l'axe de la verge, correspond à l'abscisse x; et posons généralement

(') y = rio,o-h/-, j = Co,o+/"'-

Si l'on prend x, y, z pour variables indépendantes, les formules (^8 )

+ 1- + dy

dE dx

ày

d\) dz

dE dx

ày

ol (9) de la page 33 1 du IIF Volume ( ' ), savoir

subsisteront, les trois premières pour un point quelconque de la verge en mouvement, les trois dernières pour r'= — i, r'= i, tandis que l'on aura, pour r = — h et pour r := h,

Quant aux pressions A, B, G, D, E, F, elles seront déterminées par les formules (11) et (12) de la page 12, si la verge élastique est extraite d'un corps solide qui offre trois axes d'élasticité parallèles aux axes coordonnés, et, dans le cas contraire, par les formules (5), (G) des pages 10 et II. Déplus, on prouvera, par des raisonnements semblables à ceux dont nous avons fait usage à la page 2/48 du IIP Volume (-), que, si l'on veut prendre pour variables indépendantes r et /•' à la place des deux coordonnées r,^, il suffira d'écrire partout rau lieu de r, et r' au lieu de z, dans les formules dont il s'agit et dans les équations (2). On aura donc alors, pour tous les points de la verge élastique,

/ ^A ^F l dx dr

,.. ] dF dB

dx df

dE dD

dx dr

(' ) OEuvres de Caiichy, S. II, T. VIH, p. 385. (2) Ibid., p. 292.

dr'^P^

d'n = Pdt^-

dC ., dr'

dK ^^dt^-

D'UNE VERGE RECTANGULAIKE. G3

Ajoutons que, pour tout point situé sur l'axe de la verge, on aura évidemment

et, par suite,

Cela posé, si l'on développe les quantités

ç, Yî, C; X, Y, Z; A, B, C; I), E, F,

eonsidérées comme fonctions de x, r, r' et /, suivant les puissances ascendantes de r, r', et si l'on joint, en conséquence, à la formule

toutes celles qu'on en tire quand on y remplace la lettre ^ par l'une des lettres y], l; X, Y, Z; A, B, C, D, E, F, on déduira sans peine des équations (■)), réunies aux conditions (3) et (4), celles qui serviront à déterminer, pendant le mouvement de la verge élastique, les valeurs des fonctions

Ço,o> '1o,o> so,o»

c'est-à-dire les déplacements d'un point de l'axe mesurés dans le sens des coordonnées x, y, :-. En opérant de cette manière, on se trouvera immédiatement ramené aux formules (23), (26) et (Vi) des pages 29 et 3-2. De plus, lorsqu'on connaîtra les valeurs des fonctions Ho.o» /io.o' "Co,o» on pourra fixer les valeurs correspondantes de

Çl,Ol ÇO.U "^Jl,0' Co,i

à l'aide des formules (23) et (42) des pages 29 et 32, et la valeur approchée de ^ à l'aide de l'équation

Quant aux valeurs approchées des déplacements r^, Z, que l'on peu! considérer comme devant être fournies par les équations

Oi SUR LA TORSION ET LES VIRRATIONS TOURNANTES

elles dépendront non seulement des quantités v]o.o, Co.o» "l^o» Co..

mais encore des suivantes :

il est important d'observer que, si, les pressions P, (e étant nulles, la verge élastique se meut de manière que chaque point de son axe demeure immobile, les trois fonctions

s'évanouiront, ainsi que les valeurs de ^,,0. z]!,». ^o..» 'Co,. déterminées par les formules (23) et (42) des pages 29 et 32. Alors les vibrations de la verge seront du genre de celles que l'on nomme tournantes; et la valeur approchée de \ sera nulle, tandis que les valeurs approchées de •/], 'C, réduites à

dépendront des quantités (9). Il y a plus, si l'on désigne généralement par X le rayon vecteur mené, au bout du temps /, du point {x, y]o,o, Co) au point (a;, y, z), et par tt l'angle que forme ce rayon vecteur avec le demi-axe des y positives, on aura

(n) r — 7)0^0= /•= icoscT, 5 — so,o ='■'=«- sinro;

tandis que, en nommantr — 6 la perpendiculaire primitivement abaissée du point {x — \,y — r^,z — t) sur l'axe de la verge, et cr — -^ l'un des angles formés par cette perpendiculaire avec l'axe des j, on trouvera

(i^-) J — r, z= (i — ô)cos(cj — d;), ^ — C = (t — ô)sin(în — 4^).

D'ailleurs on tirera, des formules (8), (11) et (12) combinées entre elles,

I ( '~ -) cos(gj — d>) = (i — y)i,o) COSGT — -^0,1 sincT, (i3) <

( y~l) sin(^ — '!) = — ^i,ocosc7 + (i — Ç(,,i)sincT;

puis, on en conclura, en considérant les quantités -? 'j» comme infiniment petites du premier ordre, et négligeant les termes du second ordre,

f - sinGT + (]; cosGT m Çi,o cosTH + Ço,i sincT, ou, ce qui revient au même,

cosîjj — 'I sinm =; Y]i,o cosci -H -^0,1 smcT,

- ^ "''•"'^ ^"'' + ^■'«~ ^«-^ COS270 + "^"■^ ^ ^''''' sin.^,

Donc, lorsque la fonction ^«,0 et, par suite, les quantités y],,o. Co,i s'évanouiront, on aura simplement

(,6) ^':^!lMltli^sin2GT, ^=^-MIz:^ + ^-M±:^cos2m. ^ ' t 2 2 2

Enfin, si S s'évanouit, les équations (iG) donneront

(17) Tno,i + Çi,o=o

D'autre part, il est facile de reconnaître que, dans les diverses formules qui précèdent, - et ']/ représentent à très peu près la dilatation linéaire mesurée suivant le rayon t, et l'angle de torsion de la verge élastique autour du point situé sur l'axe des x à la distance x de l'origine. Donc, pour évaluer cet angle, ainsi que pour découvrir les lois des vibrations tournantes, il est nécessaire de fixer les valeurs des quantités y]o,,, ^,,0 que renferment les formules (10) et (f8). Tel est l'objet dont nous allons nous occuper.

Considérons d'abord le cas où l'on suppose la verge élasti({ue extraite

OEuvres de C. — S. U, t. IX. 9

d'un corps solide qui offre trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes des x, y, z. Dans ce cas particulier, on tirera des formules (i i) et (12) de la page 12, en y remplaçant j, z par r, r', et en développant les quantités E, r^, '(, A, B, C, D, E, F suivant les puissances ascendantes de r, r', ii l'aide d'équations semblables à l'équation (6),

Ao,o — a-y— — 1-^1,0-+- eÇo.i, Bo,o= 1 -i OYîi,o4- aCo.i,

''Çn.n , 1 L f-y