r- <l '/^i^o ' Ci,o,l

Do,o=d(-o«,.+ C,,o), Eo,o=e(^-^^^-T-c:o,,j, Fo,o=:f(^-^^^4-2,,oj;

Ao,i = a-T^ + fTOi,i-f- eCo,2, Bo,i= f^^ + tîYi,,,H- d^o,2, ^0,,= e -^ + drj,,, -- cÇ,,,,,

OJC (JX ()X

1,0= a-^ -T- 102,0— eÇ,,i, B,,o=i-^^ +»-02,o-t-tl?i,i, ^»'"~^"j^ -i- (1^2,0^ cÇ,,,,

Donc alors, parmi les fonctions

(22) Ao,o> Oq.oj '-'0,n> ^-'o,o> Eq^o» *^o,oî

!Ai,o> Bi^o> '-'1,0» ^^1,0? Ej^o» *i,oj Ao,l» Do,I) '-'CM t-'o,!» Eo,i, ro,i>

les trois suivantes

(24) Bo,o==d(-no.i-T-Çi,o),

(a5) E,..-=e(%«^ ?.,,), Fm= f('^ + ?..,)

seront celles qui dépendront des quantités

D'UNE VEIir.E RECTANGULAIHE. 67

D'ailleurs, si l'on développe, suivant les puissances ascendantes de r, r' , les deux membres de chacune des formules (3) et (4), en observant que les formules (4) subsistent pour r = =t ^, et les formules (3) pour r' — ± i, on trouvera : i" quel que soit /■ ,

(26) { Bo,o + Bo,,/-'-f-Bo,2— -H...+ — (B2,o + B2,i/-'^B,,2— +...j+... = -^,

l>o,o^-Uo,i '•'-+- ï>o.2— -H...-^ -(1)2.0 -t- 1)2,1 /''^D^,.,— -h... ] + ...=: O,

■27) <j B,,„-r-B,,,/-'-f- 4- -^ (B3,o^hB3,,/-'+ ) +...r=:0,

i)i,o-Di,i'-'+ + -Q ( 1)3,0-^03,,/'+ •) -h... = o;

2" quel que soit r,

Eo,o -+-E,,o /■ -+-E2,o h. . .--t- - I E„,2-t- »^1,2 ' -f- ^2,2

) I Do,0+l>.,o'-+ I>,,o^ +...+ '-(Do,2 r-D,,2/--^D2.2'- +...j+... = 0,

. Co,o + C,,o /• -T- Ci,o — 4- ... + - ( (^0,2 + <^i,2 /■ ^ C2.2 — + ... j 4- ... — — P, et

Eo.i -+- E,,, r4- -^7T-( E0.3 -H E,,3 /• -^

' 6 (29) { Do,i '-r Di.jr 4- -4 ^ ( D0.3 ï- D,.3/- 4- 4- . . . = o,

Co.i + C,,, r4- 4-^( Co,:, -f- C,,3 /■ + -h . . .= o.

Donc, par suite, en regardant les épaisseurs ili, ii comme des quantités très petites du premier ordre, et négligeant, dans les formules (26), (27), (28), (29), les termes du quatrième ordre, on aura, non seulement

Fo.o -H — F2,o = O, Bo,o-i B2,o = — ^i*, DooH I), 0 = 0,

f Eo,0-+- — Eo,2=0, Do,o-+- ^^0,2— O, Co,o + -^ Co,2 =-- — P,

Fo,, -1- -^F2,, = o, B,, 4- ^62,1 = 0, Do,i4-— D2,, = o,

f Eo,,+ g-Eo,3=0, Do,i+ g-Do,3=0, Co,l + -g Co,3 = 0,

Fi,o+ -g F3,o = o, B,,o-h -g-B3,o=o, D,,o+ -^03,0=0,

Fi,o+ — E,,j=:o, Di,o-i- — -Di,2=^o, Ci,o-t- — Ci,2 = o,

mais encore

(33) Do,2H ^2,2=0, Da.oH D2 2=0,

puis on tirera des équations (3o) et (33)

(35) Do,o = - ^I^2.o = - -^Do,2= ^D2,2.

On aura donc, aux quantités près du quatrième ordre,

(36) Do,o=o, ou, ce qui revient au même,

(37) Tno,i + Ci,o — o; puis, en posant comme ci-dessus

(38) tj;=:Ç,,o=z:— rjo.i,

on on conclura

(39) E,,o=:e(^?,,,4-^), Fo,,-=f(^^,i

Il reste à former deux équations qui soient propres à déterminer les valeurs des deux inconnues -^ et ^,,,, ou, ce qui revient au même, les valeurs des deux fonctions E,,o, Fo,i- Or on a déjà, en vertu des formules (3i) et (32),

(4o) Fo,i = ^^2,1» E,,o = — — E,,2.

De plus, si l'on développe, suivant les puissances ascendantes de r, r' , les premiers et seconds membres des équations (5), on en tirera

-^— +D2,2+C.,3 + pA,2 = p-^-^-.

et, en éliminant B,,,, C,,, entre ces dernières, après y avoir substitué les valeurs de

(44) Bs,!, Cl, 3, Do, 2, D2,o, D2,2, F2,l, Ej^j

déduites des formules (34)» (35) et (4^)» on trouvera

^^^ 3 "ZT - 3 "7^ "^ P i^"'' ^ 6 ^^''.j = Pt,"^?" + -6 -^Ti- (^7) 3-rf:^-3"Â^+Pr>»-^ 6^''0-pI-1^ +6 "âl^

Enfin, si l'on néglige les termes du quatrième ordre par rapport aux épaisseurs 2 A et ii : 1° dans l'équation (45) multipliée par h'^i^; 2^ dans celle que produit l'élimination de Do „ entre les formules (46) et (47)» on obtiendra les deux suivantes :

(48) A^E,,o^/-Fo,, = o,

Les équations (4^) et (49)» étant réunies aux formules (38) et (39), fourniront évidemment le moyen de déterminer, avec la fonction de x désignée par ^,,,, l'angle '\>, et, par conséquent, les inconnues y]o,,, ^,,0- En effet, on tirera des formules (38), (39) et (48)

à'-K\,o— i'-rio,i~ (/'^-H

Ei.o Eo,i

âb

E,.o -Fo., e f

■'■ôi:

Donc

1 eqi

uation (49) pourra être réduite à

8 hH' ô^^ ,,,„ .,^- ^

ou, ce qui revient au même, ii

Ajoutons que, après avoir fixé la valeur de -{> à l'aide de l'équation ( )4), on conclura des formules (39) et (48)

ë "~ T d^ P ^ A* dx e "^ T

Concevons à présent que la verge élastique soit extraite d'un corps solide qui cesse d'offrir trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes des x,y, z. En raisonnant comme ci-dessus, on établira encore les équations (36), (48), (49). Seulement les valeurs de Do,o, E,,o, F„,, ne seront plus fournies par les équations (24) et (25), auxquelles on devra substituer de nouvelles formules que nous allons indiquer.

Si, dans les équations (3o) et dans celles des équations (3i), (32) qui ne renferment pas les fonctions E,,o» F„,,, on néglige les termes proportionnels au carré de A ou de i, on obtiendra non seulement la formule (36), mais encore les suivantes :

(56) Bo,o^----'JP, €0,0 = -!", Eo,o^o, Fo,o=:o;

(57) Bo..==o^ Co,,= o. Do,,-o, Eo,,^o;

De plus, si, après avoir remplacé, dans les formules (5), (6) des pages 10 et II, les variables y, z par r, r', on y développe les quantités ^, •/], 'C, A, B, C, D, E, F suivant les puissances ascendantes de r et r\ on en conclura

Ao,o= a -J^ 4- fYi,,o -t-eCo,i -^ ii(yîo,,+ Çi,o)

Bo.o=f ^-" + 1^^1,0 -^^Ko,i -i- u'(-Oo,,-i-C,,o)-^v' (-^-^^0,1

V / <''sO,0

Co,„ = e^-+-drj,,o +cÇo.. +u''(rio..^Ç,.o)-^v"(--J^ + £o.. Do,o= u -j^ + u'r),,o + u'Ço.i ^ ti(-no,, + C.,o) + -^"{pjj^ + ^o,t Eo.o= V ^" 4- v'-n,,o -+- VÇo.. -I- w"(r]o,. + C.,o) + e (^^ -r Ho.1 Fo,o = w^" + w'-r),,o-f-w''Co,,+ v'Cno,i-^C.,o) + u (^"+^0,1

ôx

Çl.O

ax ôx Ox

ii.o

— Çi.o

Ao.i=a-|^+fra., +eCo.2 ^ u(y)o,2+ Ç,,,) + v ("^ + |„^

Bo,,= f ^ + bï).,, + d^o.. + u'(r)„,,+ C,,0 -f- V (^^ + ^„,

^ço

V fà^OA

Co,, = e -^ + dïi,,, + cCo,2 + u"(y)o,2H- C,,i) + V" p^ 4- |„,

\ Ai.o=a^" + f%,o +eCi,t + u(r)i,, + C2,o)+v ( ^ + |,^,

Bi,o-f ^ + br),,o +dCi., + u'(rî,.,-Ç,,o) + v' (^ + |,,t

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