CM
Gela posé, admettons que l'on substitue les valeurs des fonctions
**0,0> ^0,0» Uco» Lo,o> ^0,0»
tirées des formules (09) dans les cinq équations (36) et (56). On pourra de ces cinq équations déduire les valeurs des cinq quantités
T'M.O» S0,1> 1^0,1-1- Si, o> ~^ r- Ço,n —\ r~Çl,0»
exprimées en fonction de
^Ho.o
, P el a\
D'UNE VERGE RECTANGULAIUE. 73
Kn opérant de cetle manière, on retrouvera nécessairement les formules (23) et (4^) des pages 29 et 32, savoir,
ir, ir, II,, U., étant des fonctions linéaires de P et de <S déterminées
par des équations semblables aux formules (21) de la page 29; et, pour fixer ensuite la valeur de
il suffira de combiner les équations (05), (66) avec l'équation (36) présentée sous la forme
en sorte qu'on aura
u'ir'+u"n, + v'ii'H-\v II,
L'équation (68) est celle qui, dans riiypothèse admise, devra remplacer le système des formules (24) et (36). D'autre part, si, après avoir substitué les valeurs de
tirées des équations (60), dans les formules (37), on déduit de ces formules les valeurs de
(70) ini,!, Co,2, Ylo,2+Cl,l,
pour les substituer à leur tour dans la dernière des équations (60), on
OEuures de C. — S. H, t. IX. lO
7i SUR LA TORSION ET LES VIBRATIONS TOURNANTES
obtiendra un résultat de la forme
g, h désignant des coefficients qui dépendront des constantes a, b, c, d, e, f, u, V, w, u', v', w', u", v", w". Pareillement les formules ( j8) et (Gi) donneront
j, i désignant de nouveaux coefficients analogues à ceux que renferme l'équation (71). Si maintenant on combine les formules (71), (72) avec les formules (48) et (49)» on trouvera successivement
Fo.i i
Ei.o Fo,i j (?|i,o g ^,i ^ (^(|i,o— ^0,1)
i dcT h dx
dx
(74) /<^E,,o— ^''Fcirii ;^
i ^ ^ ^&ii ^ ^(^1,0— -^0,1)
i dx h ()^ dx
i Ox'- Il (9^'^
p(A^Z,,o— i'Yo,,;
1 II
puis on en conclura, en ayant égard à la première des équations (Gd) et à la première des équations (G6)
(^jr-' \i ' Il / c^>2?' i (9.r^ îi àx'*
^"(/'■Ci.o— <-Y]o,i^
Les formules (G8) et (76) serviront à déterminer les deux inconnues ''îo.i' Ct,o» quand on aura fixé, à l'aide des méthodes exposées dans l'un
dos derniers articles, les valeurs de Ho,o, "/io.oc Co.o» c'est-k-dire les déplacements d'un point situé sur l'axe de la verge élastique. Ajoutons (|ue l'on tirera des formules (48), (71) oi (72)
ou, ce qui revient au même,
Il \ d^
i \ dx
et que l'équation (78), étant jointe aux formules (68), (76), fournira le moyen de déterminer l'inconnue ^^\^.
Les formules (68), (76), (78) se simplifient lorsqu'on suppose chaque point de l'axe des x immobile pendant la durée du mouvement, et les pressions P, à' réduites à zéro. Alors, en effet, les quantités
r Y) ^ II' n" TT TT
étant nulles aussi bien que les pressions P, ^i\ l'équation (68) se réduira simplement à la formule (37); et, en posant de nouveau
on tirera : 1" de la formule (76) ou, ce qui revient au même.
h^ J dt' '
II'
dx
2** (le la formule (78)
(81) Iaa Dans la môme hypothèse, on aura encore
(82) Ç(.,1 = 0, ;i,o=o, -^i^o^zo, ?o,i = o-
Par suite, les formules (71), (72) donneront
et les formules (8) se réduiront aux formules (10).
Il est maintenant facile d'apprécier le motif qui nous a déterminés à conserver les termes proportionnels au carré de h ou de i, dans les formules (4o)» c'est-à-dire dans celles des formules (3i), (32) qui renferment les fonctions E,^o' Fo.i- Effectivement, si l'on négligeait sans exception tous les termes dépendants de h et de i dans les formules (3i), (32), on en déduirait, non-seulement les équations (37), (58), mais encore les deux suivantes
Fo,i=o, Eko=o; et l'on conclurait de ces dernières, combinées avec les formules (83),
Or l'équation
^''• = ^' tv^""'
dx
exprime que l'angle '\) est indépendant de l'abscisse x, et cette circonstance ne peut s'accorder avec le mouvement d'une verge tordue, mais seulement avec le mouvement d'une verge qui tourne sur elle-même. Donc, pour découvrir, dans tous les cas, les phénomènes qui résultent de la torsion d'une verge élastique, il est nécessaire de conserver les termes proportionnels au carré de h ou de i dans les formules (4<>); ce
qui revient à supposer que les fonctions
acquièrent des valeurs numériques très considérables relativement à celles des quantités
que renferment les fonctions Fo.,, E,,o.
Lorsque les forces accélératrices Y, Z deviennent constantes, les quantités Yo,,, Z, „ s'évanouissent; et alors, en faisant, pour abréger,
on tire de la formule (80)
' dx^ dt-
Dans le cas particulier où la verge est extraite d'un corps solide qui offre trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes des x, y, Zy les formules (71), (72) se réduisent aux formules (2.5), et l'on a, par suite,
Enfin, si l'élasticité du corps solide est la même dans tous les sens, on trouvera
et la formule (87) donnera simplement
Les équations (68), (7G), (80), etc., subsistent pour une valeur quelconque de l'abscisse a?. Mais, lorsqu'on veut effectuer la détermi-
nation complète des inconnues yjo ,, '(, „, 'h, il faut à ces équations en joindre d'autres qui se rapportent aux deux extrémités de la verge élastique. Concevons, pour fixer les idées, cette verge terminée, dans son état naturel, par deux plans perpendiculaires à l'axe des x, et qui supportent en chacun de leurs points une nouvelle pression désignée par y. On aura, pour ces mêmes points,
quelles que soient les valeurs de r, r'; et, par suite,
(9O Fo,i = o, Ei,o=:o;
puis on tirera des formules (91) combinées avec l'équation (74)
i du- h d^ dx
Ajoutons que, si, les pressions extérieures étant nulles, l'axe de la verge reste immobile, la condition (92) pourra être, en vertu des formules (38) et (82), réduite à la condition plus simple
Les formules (92) et (93) sont relatives au cas où l'on suppose libres les deux extrémités de la verge élastique. Si ces deux extrémités devenaient fixes,- ou plutôt si, les extrémités de l'axe étant fixes, chacun des points renfermés dans les plans qui terminent la verge était assujetti de manière à rester toujours placé sur une même droite parallèle à l'axe, on aurait, pour les abscisses correspondantes aux plans dont il s'agit, non seulement
(94) lo,o=o, -00,0=0, Ço,o=o,
mais encore
quelles que fussent les valeurs de r, r', et par conséquent
(96) rîo.,=:o, Ç,,o=o.
Donc, en supposant l'axe immobile et les pressions extérieures nulles, on trouverait, pour les deux extrémités de la verge,
Si l'on voulait découvrir les phénomènes produits par la torsion d'une verge élasti^que, non plus dans l'état de mouvement, mais dans l'état d'équilibre, il suffirait de supprimer les dérivées relatives à t, savoir
dT- '^ 7?'
dans les équations (76), (80), (85), dont la dernière se réduirait à
Nous ajouterons ici une remarque importante. Si, après avoir coupé la verge, prise dans l'état d'équilibre ou de mouvement, par un plan perpendiculaire à l'axe des .r, et correspondant à l'abscisse x, on considère le système des pressions ou tensions supportées par les divers éléments de la section ainsi formée, à ce système correspondra une force principale dont les projections algébriques sur les. axes des .r, y, z seront évidemment représentées par les intégrales
ph pi ph pi ph pi
/ / Xdrdr', / / ]^drdi\ l i Edrdr',
J-h'^-i J-U^-i J^^uJ-i
et un moment linéaire principal dont la projection algébrique sur l'axe des X sera exprimée par l'intégrale
(]oo) . Ci {/■¥. — r'¥)drdr',
pourvu que l'on fasse coïncider le centre des moments avec le point où le plan sécant rencontrera l'axe de la verge. En d'autres termes, l'expression (100) représentera, au signe près, ce qu'on peut nommer le moment du système des pressions ou tensions ci-dessus mentionnées par rapport à l'axe de la verge; le moment d'une force par rapport à un
axe (') n'étant autre chose que le produit de cette force projetée sur un plan perpendiculaire à l'axe par la plus courte distance entre l'axe et la droite suivant laquelle elle agit. D'autre part, si, dans les intégrales (99) et (100), on substitue, pour A, F, E, leurs valeurs approchées fournies par les équations
/ A=r Ao,o+ A,,or-i- Ao,,r', (loi) j F = Fo,o + Fi,o'" + Fo,i/-',
( E = E„,o4-E,,or+Eo,i/-',
ces intégrales deviendront respectivement
1,102) /iAo.o^i, 4Fo,o/i/, 4Eo,o/'i
et
Donc, en vertu de la formule (74)» l'expression (100) pourra être remplacée par le produit .
(io4)
i dj^ h dx dx
Dans le cas particulier où les déplacements des points situés sur l'axe de la verge sont nuls, ainsi que les pressions extérieures, le produit (io4) se réduit à
Dans le même cas, si l'on applique à une extrémité libre de la verge une forée dont la direction soit comprise dans un plan perpendiculaire
(•) La définition de ce moment, placée an bas de la page 256 du III" Volume (*), convient seulement au cas où la force est comprise dans un plan perpendiculaire à l'axe,
(«) Heiifies de Caitchy, S. Il, T. VIH, p. 3oi.
d;une verge rectangulaire. si
à l'axe, et dont le moment, par rapport à cet axe, soit désigné par DC, si d'ailleurs on suppose le point d'application de la force lié invariablement avec les autres points du plan, ou du moins avec ceux qui se trouvent placés sur la base de la verge élastique, on aura, pour l'extrémité dont il s'agit,
Pour montrer une application des formules précédentes, considérons d'abord l'équilibre d'une verge rectangulaire qui, dans l'état naturel, ait pour axe l'axe des x, et qui offre une extrémité fixe, l'autre extrémité étant sollicitée, comme on vient de le dire, par une force comprise dans un plan perpendiculaire à l'axe. Si l'on suppose les pressions extérieures nulles, ainsi que la valeur de x correspondante à l'extrémité fixe, et les déplacements d'un point quelconque de l'axe, si de plus on nomme a la longueur de cet axe, on devra intégrer l'équation (98) de manière à vérifier pour ^ = o la condition (97), et pour X = ah condition (106). Or on tirera de l'équation (98) réunie à la condition (106)
^^^^^ dx ~ 16 hH^\\ " h
et de l'équation (107) réunie à la condition (97)
Il suit de cette dernière formule : i** que l'inconnue '\i, ou l'angle de torsion de la verge rectangulaire, mesuré dans un plan quelconque perpendiculaire à l'axe, est en raison directe, non seulement de la distance qui sépare ce plan de l'extrémité fixe, mais encore du moment de la force appliquée à l'extrémité libre; 2° que, si la section transversale de la verge varie en demeurant semblable à elle-même, l'angle '\i variera en raison inverse du carré de l'aire de cette section, ou, ce qui
OEuvres de C. — S. II, t. IX. II
revient au même, en raison inverse de la quatrième puissance de l'épaisseur ih ou ii. Ces résultats, semblables à ceux que M. Poisson a obtenus, en considérant la torsion d'une verge cylindrique à base circulaire, subsisteraient pareillement pour une verge cylindrique ou prismatique à base quelconque. Lorsque les épaisseurs ih, ii deviennent égales entre elles, la formule (io8) se réduit à
Ajoutons que, si l'épaisseur ii devient très petite relativement à l'épaisseur ih, on aura sensiblement
( I I O) ■ (il =r — — — - .
Donc alors l'angle de torsion sera en raison inverse de la plus grande épaisseur et du cube de la plus petite.
Concevons à présent qu'après avoir tordu la verge élastique, en laissant à sa place chaque point de l'axe, on abandonne cette verge à ellemême sans lui appliquer aucune force. Les variables ^0,0» y]o.o» so,o conserveront des valeurs nulles pendant toute la durée du mouvement, et la verge exécutera des vibrations tournantes dont les lois se trouveront exprimées par l'intégrale de l'équation (85). De plus, les vitesses initiales des différents points de la verge étant supposées nulles, les
valeurs de -^ et de ^, tirées des formules (10) et (38), savoir
dt ~ ' ôt' ' ât ^^dt'
devront s'évanouir à l'origine du mouvement, quels que soient r et /'.
Par conséquent, la valeur initiale de jj devra se réduire à zéro. Soit
d'ailleurs ((x) la valeur initiale de l'angle '|. Si les deux extrémités de la verge élastique restent libres, l'équation (85), intégrée de manière que la condition (98) soit remplie pour a; = o et pour x = a, donnera
D'UNE VERGE RECTANGULAIKE. 83
[tmr, dans le IIP Volume, la formule (ii8) de la page 268] (*)
("•) ^=âS'^'~^'^'~^i cos-^f(,.).//.,
le signe § s'étendant à toutes les valeurs entières positives, nulles ou négatives de n. Si, au contraire, les deux extrémités de la verge deviennent fixes, il faudra substituer la condition (97) à la condition (qS), et, par suite, la valeur générale de j' sera semblable à la valeur de ^„ fournie par l'équation (ii4) ^^ la page 268 du IIP Volume (^), on sorte qu'on aura
, , . , in nT.Q.t . nr.x f" . nr.u.
(112) ^=.-J^cos-^-sin-^j^ sin-^f(^)./^.
Il est facile d'assigner la nature de la fonction f(^) qui réduit la valeur de J; fournie par l'équation (i 1 1) à un seul terme de la forme
(113) (Lzz: — CCS COS ,
n désignant une valeur particulière de n, et a une quantité constante. En effet, pour y parvenir, il suffit de poser / = o dans l'équation (i i3), qui donne alors
(l l4) f(-^) = — COS
et l'on peut d'ailleurs s'assurer « po^/enon que, si l'on substitue dans l'équation (i 1 1) la valeur de f(ti.) tirée de la formule (ii4)' savoir
G lira — COS— ^ > a a
on retrouvera précisément l'équation (ii3). Ajoutons que l'équation (ii3) exprime un mouvement régulier de la verge élastique, dans lequel les mêmes vibrations tournantes se reproduisent périodique-
(«) OEuvres de Cauchy, S. II, T. VIII, p. 3i;'). (î) Ibid., p. 3i/,.
8i SUR LA TORSION ET LES VIBRATIONS TOURNANTES
ment, la durée d'une vibration étant la valeur de t donnée par la formule
(Il5) n: 27r.
Le son correspondant à un mouvement de cette espèce a pour mesure le nombre x des vibrations exécutées pendant l'unité de temps, ou, ce
qui revient au même, la valeur de - déduite de la formule (i i5). Or
on tirera de cette formule, en écrivant n au lieu de u,
(ii6) DL=^ - =
Si l'on veut maintenant déterminer les nombres de vibrations tournantes correspondants aux sons les plus graves que la verge élastique puisse rendre, il suffira de prendre successivement n=^\, n^i, /? = 3, . . . ; et Ton trouvera en conséquence
(117) ^ = — , 5t,=r-, Db=— ,
la a ia
On arriverait encore aux mômes résultats en partant de l'équation (112), c'est-à-dire en considérant les vibrations tournantes d'une verge dont les deux extrémités seraient fixes.
Si, dans la première des formules (117)» on substitue la valeur de Î2 tirée de réquationj^84), on trouvera, pour le nombre des vibrations tournantes qui correspondent au son le plus grave.
Donc le son dont il s'agit est réciproquement proportionnel à la longueur de la verge élastique, et il ne change pas, lorsque les épaisseurs iH, ii croissent ou diminuent dans le même rapport, c'est-à-dire lorsque la section transversale de la verge varie en demeurant semblable à elle-même. Ces conclusions se trouvent confirmées par des
expériences de M. Savart. Lorsque les épaisseurs -ih, -li deviennent égales entre elles, la formule (118) se réduit à
D'autre part, si l'on suppose la verge extraite d'un corps solide dont l'élasticité soit la même en tous sens, on aura
et par conséquent les formules (118), (119) donneront respectivement
^ /2f\2 hi
(120) JQ) =
3p/ a{li^-\-i^)
D'ailleurs, si, dans la même hypothèse, on fait vibrer la verge élastique longitudinalement, et de manière que le son produit soit le plus grave possible, le nombre N des vibrations longitudinales sera déterminé par la formule (78) de la page 52 et la formule (17) de la page 89, c'est-à-dire que l'on aura
\2pJ 2a Donc, par suite, on trouvera, en prenant h = i,
Enfin, si l'épaisseur 2? devient très petite relativement à l'épaisseur 2 A, l'équation (118) donnera sensiblement
et l'on en conclura, en supposant que l'élasticité du corps reste la
même en tous sens,
\ipj ah
Donc le son le plus grave produit par les vibrations tournantes d'une verge plate et rectangulaire, ou, en d'autres termes, d'une plaque dont la largeur est peu considérable, varie en raison directe de l'épaisseur de cette plaque, et en raison inverse du produit de deux autres dimensions, ou, ce qui revient au même, en raison inverse de la superficie de la plaque. La loi que nous venons d'énoncer est précisément celle que M. Savart a découverte, et à laquelle il a été conduit par l'expérience, ainsi qu'on peut le voir dans le tome XXV des Annales de Physique et de Chimie.
SUR LA
ET SUR LA
CONSIDÉRÂTIO?JS GÉNÉRALES.
On a beaucoup écrit sur la résolution des équations numériques et sur l'élimination. On sait en particulier que la première de ces deux questions est l'objet spécial d'un Ouvrage de Lagrange, dans lequel cet illustre géomètre a présenté, pour la détermination des racines réelles d'une équation de degré quelconque, une méthode fondée sur la considération d'une équation auxiliaire, dont le degré est généralement plus élevé, et dont l'inconnue a pour valeurs les carrés des différences entre les diverses racines de la proposée. On se sert de cette équation auxiliaire pour calculer une limite inférieure à la plus petite différence entre deux racines réelles. J'ai fait voir dans VAnalvse algébrique [Note III (')] qu'on pouvait arriver au même but, en considérant seulement le produit de toutes les différences des racines. Mais, pour tirer un parti avantageux de cette remarque, il restait à indiquer un moyen facile de former le même produit. Au reste, dès que Ton connaît une limite inférieure à la plus petite différence entre deux racines réelles, on parvient sans peine, non seulement à calculer le nombre de ces racines, mais encore à en obtenir des valeurs de plus en plus approchées.
(>) Œuvres de tauc/ij, S. II, T. III.
Une autre méthode, également applicable à l'évaluation des racines réelles et des racines imaginaires, a été donnée par M. Legendre, dans la seconde édition de la Théorie des nombres. En suivant cette dernière méthode, on réduit la recherche de l'une des racines de l'équation proposée à la résolution d'une équation binôme, résolution que l'on opère à l'aide des propriétés bien connues des fonctions trigonométriques. D'ailleurs, en s'appuyantsurla même méthode, on prouve directement que l'on peut satisfaire à une équation de degré quelconque par une valeur réelle ou imaginaire de la variable. A la vérité, la démonstration que M. Legendre a donnée de cette proposition, et qu'il considère comme s'étendant à toutes sortes d'équations algébriques ou transcendantes, paraît sujette à quelques difficultés; mais on peut les surmonter, lorsque l'équation est algébrique, dans tous les cas possibles, et, lorsqu'elle devient transcendante, en apportant quelques restrictions à la proposition dont il s'agit, comme je l'ai fait voir dans les Leçons sur le Calcul différentiel ( * ).
On pourrait citer encore diverses méthodes relatives à la résolution des équations numériques et développées ou seulement indiquées dans les Ouvrages de Newton, de Halle, d'Euler, deLagrange, de M. Budan, de M. Legendre, de M. Fourier, etc. Mais ces méthodes, dont quelquesunes supposent déjà connue la valeur approchée d'une racine de l'équation que l'on veut résoudre, ou sont appuyées sur des théories étrangères aux éléments d'iVlgèbre, par exemple, sur la considération des séries récurrentes, n'off'rent pas de règles certaines pour la détermination a priori du nombre des racines réelles. On doit toutefois excepter les méthodes qui ont été annoncées par M. Fourier, dans le Tome MI des Mémoires de l'Académie des Sciences, et que le nom de l'auteur recommande à l'attention des géomètres, mais dont on ne pourra se former une idée précise qu'au moment où il aura publié l'Ouvrage qu'il prépare sur cette matière.
Quoi qu'il en soit, j'ai pensé qu'il serait utile, pour ceux qui se pro-
(1) OEuvres de Cauc/ij, S. II, T. IV. *
ET SUR LA THÉORIE DE L'ÉLIMINATION. m
posent de cultiver les sciences mathématiques, d'offrir ici des méthodes simples et générales, à l'aide desquelles on puisse déterminer le nombre des racines, soit réelles, soit imaginaires, d'une équation de degré quelconque, et les calculer approximativement, sans recourir à l'équation auxiliaire dont l'inconnue a pour valeurs les carrés des différences entre ces racines, et sans employer des notations étrangères à ceux qui ne possèdent que les premiers principes de l'Algèbre. Ces méthodes, qui seront développées dans les paragraphes suivants, fourniront en même temps les moyens de simplifier la théorie de l'élimination, et de lever les difficultés qu'elle présente.
j:; L — Sur la résolution des équations du premier et du second degré à coefficients réels, et sur les expressions imaginaires.
Considérons l'équation du premier degré
(i) aç^.x + ai — o,
dans laquelle «„, «, désignent deux constantes réelles. Si l'on fait, pou r abréger,
l'équation (^i), divisée par «„, deviendra (3) ^ + A=:o,
el l'on en tirera
Considérons maintenant l'équation du second degré
rt„, a^, a., désignant trois constantes réelles. Si l'on fait, ponr abréger,
(6) A=^, R=Tr^,
Oo «0
OEuvres de C. — S. Il, t. IX. 12
l'équation (5), divisée par^o» deviendra
(7) ^2+ Aa7 + R =0.
Avant de résoudre généralement cette dernière, examinons d'abord le cas particulier où Ton aurait
Dans ce cas, l'équation (7), ou plutôt l'équation binôme
(9) a:--t-R r= O donnera
(10) jc' — —B,
et on la vérifiera, si B est négatif, en prenant
Donc alors l'équation (9) admettra deux racines réelles, savoir (12) ^ = -v/:^,
Ainsi, par exemple, l'équation binôme
offrira les deux racines réelles
(i5) jo =— I,
Mais, si B devient positif, si l'on suppose, par exemple, B = j , l'équation (9), réduite à
ne sera plus vérifiée par aucune valeur réelle de jc* puisqu'une semblable valeur rendra toujours la somme x- -+- 1 égale ou supérieure à l'unité, et par conséquent positive. Dans le même cas, les valeurs de a-,
données par les formules (12) et (r3), savoir
('9) ,T = sJ^,
ne seront plus que des expressions algébriques qui ne signifieront rien par elles-mêmes, et qui, pour cette raison, sembleraient devoir être exclues de TAlgëbre. Néanmoins, il peut être utile de les conserver dans le calcul. C'est en effet ce qui résulte des observations suivantes. En Analyse, on appelle expression symbolique ou symbole toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par elle-même, ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle qu'elle doit naturellement avoir. On nomme de mèmi.^ équations symboliques toutes celles (jui, prises à la lettre et interprétées d'après les conventions généralement établies, sont inexactes ou n'ont pas de sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts en modifiant et altérant, selon des règles fixes, ou ces équations elles-mêmes, ou les symboles qu'elles renferment. L'emploi de ces symboles ou de ces équations est souvent un moyen de simplifier les calculs, et d'écrire sous forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence. Or, parmi les expressions ou équations symboliques dont la considération est de quelque importance en Analyse, on doit surtout distinguer celles que l'on a nommées imaginaires. Nous allons montrer comment l'on peut être conduit à en faire usage.
Soient
Cf., a', a", ..., p, (3', [3", ...
plusieurs quantités réelles positives ou négatives. Si l'on multiplie les unes par les autres les expressions symboliques
(20) a + (3^/117, a'+pV^» a"-l-(3V^, ...,
en opérant d'après les règles connues de la multiplication algébrique, comme si \/ — i était une quantité réelle dont le carré fût égal à — r, le produit obtenu se composera de deux parties, l'une toute réelle,
l'autre ayant pour coefficient \/— i, et restera le même, quel que soif l'ordre clans lequel on aura effectué les diverses multiplications. Or cette simple remarque peut être employée fort utilement dans la recherche des propriétés générales des nomhres ou des quantités réelles, et fournit, par exemple, le moyen d'établir la proposition suivante :
Thkorkme I. — .SV l'on multiplie l'un par l'autre deux nombres entiers dont chacun soit la somme de deux carrés, le produit sera encore la somme de deux carrés.
Démonstration. — Soient
les deux nombres entiers dont il s'agit, a-, J^-, y-, 0'- désignant des carrés parfaits. Ces deux nombres pourront être considérés comme résultants, le premier de la multiplication des facteurs symboliques
le second de la multiplication des facteurs symboliques
Donc le produit
pourra être considéré comme résultant de la multiplication des quatre facteurs symboliques
(25) a + [3v/=7, 3f-;3v/^, 7 + ôV^', y-^\'~.
D'ailleurs, si l'on multiplie : i" le premier facteur par le troisième; 2° le deuxième par le quatrième, les produits ainsi formés seront respectivement
(26) ay — (3ô + (aô + |3y)v/^, ay — (30— (aô + (3y) y— i;
puis, en multipliant l'une par l'autre les expressions (2G), on (rouvera pour résultat définitif la quantité positive
On aura donc
(27) (ay-Po^r+(ao^ + ^/r=(a^+;3^)(-/^+a^').
Or cette dernière formule comprend évidemment le théorème I.
Corollaire I. — Si, dans la formule (27), on échange entre elles les lettres 0 et y, on en tirera
(28) (a-/ + ^^of+{y.o - ^yy-= (a^+ jS^) (y^+ o'^)-
II V a donc en général deux manières de décomposer en deux carrés le produit de deux nombres entiers dont chacun est la somme de deux carrés. Ainsi, par exemple, on tire des équations (27) et (28)
Corollaire IL — Les formules (27), (28) subsistent évidemment dans le cas même où les lettres a, p, y, 0 cessent de représenter des nombres entiers, et désignent des quantités réelles quelconques, positives ou négatives.
On voit, par ce qui précède, qu'il peut être utile, dans la recherche des propriétés générales des quantités réelles, de considérer des expressions symboliques de la forme
Une semblable expression, dans laquelle a, p désignent deux quantités réelles, est ce qu'on nomme une expression imaginaire ; et l'on dit (|iie deux expressions imaginaires
sont égales entre elles, lorsqu'il y a égalité de part et d'autre : i" entre les parties réelles a et y; 2" entre les coefficients de y/— i, savoir ^ et 0. L'égalité de deux expressions imaginaires s'indique comme celle de
9i SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES
deux quantités réelles par le signe = ; et il en résulte ce qu'on appelle une équation imaginaire. Cela posé, toute équation imaginaire n'esl que la représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles. Par exemple, l'équation symbolique
équivaut seule aux deux équations réelles
l.orsque, dans l'expression imaginaire
le coefficient ^ de \l—i s'évanouit, le terme ^ V"^ ^st censé réduit à zéro, et l'expression elle-même à la quantité réelle a. En vertu de cette convention, les expressions imaginaires comprennent comme cas particuliers les quantités réelles.
Les expressions imaginaires peuvent être soumises, aussi bien que les quantités réelles, aux diverses opérations de l'Algèbre. Si l'on effectue, en particulier, l'addition, la soustraction ou la multiplication de deux ou de plusieurs expressions imaginaires, on obtiendra pour résultat une nouvelle expression imaginaire qui sera ce qu'on appelle la somme, la différence, ou le produit des expressions données; et l'on se servira des notations ordinaires pour indiquer cette somme, cette différence ou ce produit. Par exemple, si l'on donne seulement deux expressions imaginaires
a-h{3v/^^, y + oV^, on trouvera
(3o) (a-+-(3v'^) + (y + ôv/^)= a +y +({3 -h (5)v/~,
(3i) (3( + {3v/-=^i)-(y + ôv/^)= a - y -h([3 - <5)v^~,
( 32 ) (a 4- (3 v^^) X (y + à y/'^) = ay — [3Ô + (aô + ^y) \'^ .
Diviser une première expression imaginaire par une deuxième, c'est trouver une troisième expression imaginaire qui, multipliée par la
Eï SUR LA THÉORIE DE L'ÉLIMINATION. 95
deuxième, reproduise la première. Le résultat de cette opération est le quotient des deux expressions données. On se sert, pour l'indiquer, du
signe ordinaire do la division. Ainsi
7 + oy/— • représente le quotient des deux expressions imaginaires
Elever une expression imaginaire à la puissance du degré m (m désignant un nombre entier), c'est former le produit de m facteurs égaux à cette expression. On indique h puissance m'*"'"^ de a-hjî» y— i par la notation
Ainsi, on particulier, la notation
représente le produit de l'expression a + Ji V~ i P''^'' elle-même.
On dit que deux expressions imaginaires sont conjuguées l'une à l'autre, lorsque ces deux expressions ne diffèrent entre elles que par le signe du coefficient de \/— i. La somme de deux semblables expressions est toujours réelle, ainsi que leur produit. Kn effet, les deux expressions imaginaires conjuguées
donnent pour somme 2a, et pour produit a^+ fJ-. La racine carrée de ce produit, ou
est ce qu'on nomme le module de chacune des expressions (■2'2). Pour que le module (33) s'évanouisse, il est nécessaire et il suffît que l'on ait en même temps a = o, ^ = o, c'est-à-dire, en d'autres termes, (jue les expressions (22) se réduisent l'une et l'autre ii zéro.
OG SLll LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMERIQUES
Remarquons encore que, en vertu des principes ci-dessus établis, règalilé de deux expressions imaginaires entraîne toujours l'égalité de leurs modules.
Quelquefois on représente une expression imaginaire par une seule lettre. Cela posé, soit
une semblable expression, p et q étant deux quantités réelles quelconques. On pourra se proposer d'assigner à ces deux quantités des valeurs telles que la valeur correspondante de x vérifie une équation donnée du second degré, par exemple, l'équation (7) ou (9). Alors la valeur de x deviendra ce qu'on nomme une racine imaginaire de l'équation (7) ou (9). Ajoutons que cette racine imaginaire se transformei-a en une racine réelle, dans les cas où la valeur de q sera nulle. Si l'on suppose en particulier l'équation (9) réduite à l'équation (i4) ou (17), on la vérifiera évidemment en attribuant à x l'une des valeurs réelles (i5), (iG), ou l'une des valeurs imaginaires (18), (19). Donc ces valeurs représentent des racines réelles de l'équation (i4) et des racines imaginaires de l'équation (17).
Revenons maintenant à l'équation (9) ou (10). Pour la résoudre généralement, c'est-à-dire, pour trouver toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x qui peuvent la vérifier, posons comme ci-dessus X =p -h q \ — I. Elle donnera
( 35 ) . //- — f- + iprj y/— I = — R,
et se partagera on deux équations réelles, savoir
(36) p2 — 7-- = — R, 9.pq-o.
Or on ne peut satisfaire aux équations (3G), par des valeurs réelles de f) et de </, qu'en supposant
ou
La première supposition n'est admissible que dans le cas où l'on a (39) H<o,
et l'on tire alors des formules (37)
x\u contraire, la seconde supposition n'est admissible que dans le cas on l'on a
(>t l'on tire alors des formules (38)
Donc, dans tous les cas possibles, l'équation (10) admettra seulement deux racines, savoir, deux racines réelles fournies par les formules (12) et (i3), si B est négatif, et deux racines imaginaires, mais conjuguées, fournies par les formules
(44) ^ = BV-i,
si B devient positif. Si la quantité B s'évanouissait, les deux racines de l'équation (10) seraient égales entre elles, et chacune des formules (i 2),
(i3), (43), (44) donnerait
Passons maintenant à l'équation (7). (]ette équation pouvant s'écrire comme il suit
on en tirera
OF.uvres de C. — S. II, t. IX. l3
Cette dernière, étant semblable à l'équation (lo), se résoudra de la même manière; et d'abord, si l'on suppose
(48) 4^r= ou >R,
elle donnera
et par conséquent
Donc alors l'équation (7) admettra deux racines réelles, savoir (3.) ..=^^'^,,
(5.) ,=^^.^çr7i.
Si l'on suppose, au contraire,
la formule (47) donnera
et par conséquent
Donc alors l'équation (7) admettra deux racines imas^inaires, mai: conjuguées l'une à l'autre, savoir
(56) .rzzr-i^-j'B-^yv/^T,
(57) a:=-^ + (^-^ Nous terminerons ce paragraphe en indiquant quelques propriétés
des expressions imaginaires. Ces propriétés sont comprises dans les théorèmes que nous allonsénoncer.
Théorème II. — La somme de deux expressions imaginaires offre, ainsi que leur différence, un module compris entre la somme et la différence de leurs modules.
Démonstration. — En efï'et, soient
(58) a-i-j3v/^, y + ôv/^
les expressions imaginaires proposées. Leur somme et leur différence
offriront pour modules les deux quantités
(60) [a'-+;32+2(ayH-[3ô)-+-y-+ô2-|î^ [5,2.^ |32 ^^-^-^ ^ /35) ^ .^«^ ^îjï^
Comme on aura d'ailleurs, en vertu de la formule (28),
(61) (ay + [3a)2= OU <(a''+;3-^)(/-+o-),
il est clair que la valeur numérique de la somme
(62) ay + ;3â • sera inférieure ou tout au plus égale au produit
Donc cette somme sera renfermée entre les deux limites
Donc, par suite, chacune des quantités (Go) sera comprise entre les deux limites
(,a-+ [32- 2 v/a^'^ (3Vy»+ 0^4- y^+ ôO' = ± (v^a*+ (3^ - V/y* + ô^,
(a2+(32 4-2v/a-+[3Vy^-+-ô^4-y^-hoO' = V'a*4-(S'-»-v/y*-^^*»
c'est-à-dire entre la somrrie et la différence des modules des expressions (58).
Corollaire. — La somme de plusieurs expressions imaginaires offre un module inférieur à la somme de leurs modules.
Théorème III. — Le produit de deux expressions imaginaires a pour module le produit de leurs modules.
Démonstration. — En effet, le produit des expressions imaginaires
étant lui-même une expression imaginaire conjuguée à celle qui représente le produit des deux suivantes
chacun des produits en question aura pour module la racine carrée de la quantité
qui résulte de la multiplication des quatre facteurs (58) et {^^)' Donc ce module sera équivalent à
(66) (a2+;3-^)^(y2-HÔ^)S
c'est-à-dire au produit des modules des expressions (58). Corollaire I. — Le produit de plusieurs facteurs imaginaires
a pour module le produit de leurs modules.
Corollaire II. — Si, dans le corollaire qui précède, on suppose les divers facteurs imaginaires égaux entre eux, et leur nombre égal à m, on reconnaîtra que la m''"'"^ puissance d'une expression imaginaire a pour module la m'^^^ puissance de son module.
Corollaire III. — Comme le produit de plusieurs modules ne peut devenir nul, sans que l'un de ces modules s'évanouisse, et qu'une ex-
pression imaginaire dont le module s'évanouit se réduit nécessairement il zéro, il est clair que le corollaire I entraînera encore la proposition suivante :
Théorème IV. — Le produit de plusieurs facteurs imaginaires ne peut s'évanouir avec son module qu'autant que l'un des facteurs se réduit à zéro.
On établit encore sans difficulté les théorèmes suivants :
Théorème V, — Pour diviser une expression imaginaire par une quantité réelle, il suffit de diviser par cette quantité, dans l' expression dont il s'agit, la partie réelle et le coefficient de \] — i .
Démonstration. — En effet, diviser l'expression imaginaire
par une quantité réelle y, c'est chercher une seconde expression imaginaire
qui, étant multipliée par y, reproduise la première, en sorte que Ton ait
Or l'équation symbolique (G;) équivaut aux deux équations réelles
desquelles on tire
et, par suite,
Donc, pour obtenir le quotient de l'expression imaginaire a h- !5i y — ' par la quantité réelle 7, il suffit, dans cette expression, de diviser [)ar Y la partie réelle et le coefficient de y/— i .
Théorème VI. — Pour diviser une expression imaginaire a 4- [3 y/— i par une expression semblable y -+- § y/ — i, il suffit de multiplier la première par une troisième expression imaginaire y — § ^ — i qui soit conjuguée à la seconde, et de diviser le produit obtenu par le carré du module
de Y 4- 0 y — I .
Démonstration. — En effet, diviser a -f- ^ \J— i par y + ^V — i» c'est chercher une expression imaginaire
qui soit propre à vérifier la formule
(69) (■/ + ôv''— i)^ — a-H [3 y/— 1 .
D'ailleurs, si l'on multiplie par y — o\/— i les deux memhres de l'équation (69), elle deviendra
et l'on en tirera
/^n (g + ^ v/:=T) (y - a y/ITf)
Or cette dernière formule comprend évidemment le théorème YI.
Scolie. — Si l'on développe le second membre de la formule (71), en ayant égard au théorème V, on trouvera
/ X «y + P^ Py — ao / —
ThéorÈxME YII. — Les deux polynômes
( aoX"-h aïO^'^-'^-i- . . .-\- a^-iJ^ -h a,i, (73)
( Co ce" + Cl .^^«-^ H- . . . + C„i J? H- C„,
6/«7i5 lesquels a^, «, , . • . , «„, , «„; c^, c, , . .. , c„, , c,^ désignent des coefficients réels ou imaginaires, ne peuvent rester égaux entre eux, quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de x, à moins que l'on n'ait
(7/4) «o=Co, «i=C,, ..., an-x — Cn
Démonstration, — En effet, si deux polynômes (73) restent égaux, quel que soit n, leur différence sera toujours nulle, et l'on aura constamment
Or on tirera de l'équation (73) ; i'' en posante? = o,
Cl ri Cfi i:^ O, Clfi 'i^z C„ ;
2'' en divisant le premier membre par x, et posant de nouveau 00 = o,
et ainsi de suite.
Nous remarquerons encore que, étant donnée l'équation algébrique
(7É)) ^0^"+ aiic«-'-f- a,x"'---^. . .+ a^-iX -h a„=o,
dans laquelle n désigne un nombre entier quelconque, et «0, «,, . . ., «„,, «rt des coefficients constants réels ou imaginaires, on peut toujours réduire à l'unité le coefficient du premier terme. En effet, si l'on pose
OU, ce qui revient au même,
(78) a,nraoA, «2=aoB, ..., rt„, = aoI, a^^a^K,
l'équation (76) pourra s'écrire ainsi qu'il suit
(79) a^ix"- -^ Xx"-^ + lix"-'^ -\- . . .+ Ia: + K) =0;
et, comme «0 diffère nécessairement de zéro, lorsque a^x" est le premier terme de l'équation (70), on tirera de la formule (79), réunie au théorème IV,
(80) j;"+ A^'»-»-f B^«---f-.. .+ Ia7 + K = o.
Dans le cas particulier où l'équation (76) est binôme ou du second
desré, c'est-à-dire de l'une des formes
(81) GqX"-^ a„—o,
alors, après la réduction du coefficient de son premier terme à l'unité, elle devient
(83) :c"-t-K = o ou
§ II. — Sur la résolution des équations du premier et du second degré à coefficients quelconques, réels ou imaginaires.
Considérons d'abord une équation du premier degré à coefficients réels ou imaginaires. Si l'on réduit à l'unité le coefficient du premier terme, cette équation se présentera sous la forme
A désignant une constante réelle ou imaginaire, et l'on en tirera
Considérons maintenant une équation quelconque du second degré. Si l'on réduit à l'unité le coefficient du premier terme, cette équation se présentera sous la forme
(3) ^2^Aa: + B = o,
A, B désignant deux constantes réelles ou imaginaires. Si, de plus, la constante A s'évanouit, l'équation (3) deviendra
(4) ^^+B = o OU
Donc alors, en écrivant, au lieu de — B, a + f» v — i» ^t attribuant aux
lettres a, [3 des valeurs réelles, on aura simplement à résoudre l'équation binôme
Or, on y parviendra sans peine, en opérant comme il suit.
Désignons par/?, q deux quantités réelles tellement choisies que
soit une valeur de x propre à vérifier l'équation (6). Cette équation donnera
( 8 ) ]f- — (y- -t- ipq y — I =: a 4- P \/ — i
et, par conséquent,
puis on tirera des formules (7) et (10)
OU, ce qui revient au même,
D'ailleurs les formules (9) et (10) entraîneront la suivante
que l'on peut aussi déduire immédiatement de l'équation (G) jointe au corollaire II du théorème III. Enfin l'on conclura des formules (9)
et(i3)
OEuvres de C. — S. H, t. IX.
lOG SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES
et, par suito,
puis, en substituant la valeur de/? dans la formule (11), ou la valeur de q dans la formul(5 (12), on trouvera
tV/-
OU, ce qui revient au même,
{>J^FTf'-a)'
Donc l'équation (6) admettra deux racines dont les valeurs seront respectivement
2' a^v/ÔM^+a)
rvZ-i.
OU, ce qui revient au même,
Dans le cas où [^ s'évanouit, l'équation (6) se réduit à
Dans le mémo cas, on tire de la formule (i8), en supposant a positif,
(25) œzzzzhy."^,
et de la formule (19), en supposant a négatif,
Ces dernières s'accordent, comme on devait s'y attendre, avec les formulés (40) et (42) du § I.
Dans le cas où a s'évanouit, l'équation (6) se réduit k
(27) • x^-^^sj'^i,
et l'on tire de la formule (18) ou (19) : i" en supposant ^ positif,
2" en supposant p négatif,
Ainsi, en particulier, les deux racines de l'équation (3o) ^2=v/^^
seront données par la formule
et celles de l'équation
par la formule
Revenons maintenant à l'équation (3), et supposons que le coeffi-
ciont A cesse de s'évanouir. Cette équation pouvant s'écrire comme il suit
(34) ' (^a:+Ay^B-A!^o, on en tirera
Or l'équation (35), étant de la même forme que l'équation (6), se résoudra de la même manière, et fournira pour a? 4- - des valeurs
semblables aux valeurs de x déterminées par la formule (i8) ou (19). Exemple. — Soit donnée l'équation du second degré
On en tirera
D'ailleurs, si l'on remplace x par x — (- -^ 1 y^ i j dans le premier
membre de la formule (18), et si l'on pose en outre a = — — , [3 = 2, on tirera de cette formule
et, par suite,
Donc, les deux racines de l'équation (36) seront respectivement
