S III

Sur la résolution des équations binâmes.

Considérons une équation binôme du degré n, la lettre n désignant un nombre entier quelconque. Si l'on réduit le coefficient du premier terme à l'unité, cette équation se présentera sous la forme

K étant une constante réelle ou imaginaire, et l'on en tirera

Donc, en écrivant, au lieu de — K, a + ^V— i, et attribuant aux lettres a, ^ des valeurs réelles, on ramènera l'équation (i) à la forme

Or on prouvera facilement que cette dernière peut toujours être résolue par des valeurs réelles ou imaginaires de la variable x. C'est, en effet, ce qui résulte des principes que nous allons établir.

Supposons d'abord que le degré n se réduise à une puissance de 2, c'est-à-dire à l'un des nombres 2, 4, 8, iG, .... Alors l'équation (^3) se trouvera réduite à l'une des suivantes :

Or l'équation {\) a déjà été résolue dans le paragraphe précédent, où l'on a fait voir qu'elle admet deux racines de la forme p ^ (f \J — ^ - R<' plus, il suffira de poser

pour obtenir, à la place de la formule (5), le système des équations binômes

(8) ^^ = y, j2 ^ ^ j3 ^/iry .

à la place de la formule (G), le système des trois équations binômes

(9) ^^=y, y^ = ^, ^^=a + Pv/^;

à la place de la formule (7), le système des quatre équations binômes

etc.

D'ailleurs, la dernière des formules (8) étant semblable à l'équation (4), on en tirera deux valeurs réelles ou imaginaires de y; et, après avoir substitué successivement ces deux valeurs dans le second membre de l'équation x-=y, on déduira de celle-ci quatre valeurs réelles ou imaginaires de x qui seront propres à vérifier l'équation (5). Pareillement, on tirera des formules (9) deux valeurs de z, quatre valeurs de y, et, en définitive, huit valeurs de x propres à vérifier l'équation (G). De même encore, on tirera des formules (10) seize valeurs de x propres à vérifier l'équation (7), etc. Donc, chacune des équations (4), (5), (G), etc. offrira autant de racines que son degré renferme d'unités. On voit, en outre, que la détermination exacte de ces racines ne présentera aucune difficulté.

Supposons maintenant que le degré n soit un nombre impair. Dans cette hypothèse, l'équation (3) admettra certainement une ou plusieurs racines réelles ou imaginaires, si l'une des quantités a, ^ s'évanouit. En effet, soit 2/72 + i une valeur impaire de n. On vérifiera évidemment l'équation

(11) a?«=ra OU

en prenant

(.3) ou bien

V TT y.''

X r=^ — ( — af

suivant que a sera positif ou négatif; et l'équation

en prenant

OU bien

suivant que ^ sera positif ou négatif, .l'ajoute que, si, a étant impair, les quantités a et ^ ne s'évanouissent ni l'une ni l'autre, on pourra encore trouver une valeur réelle ou imaginaire de x propre à vérifier l'équation (3) ou

C'est ce que l'on démontrera sans peine en raisonnant comme il suit. Représentons par/?-h^v/~i une valeur imaginaire quelconque attribuée à la variable x\ par

la valeur correspondante du binôme

et par /-, p, R les modules des trois expressions imaginaires

p^q^ZTi^ a + Pv^-^, P-T-Q\/^, en sorte qu'on ait

Le module R de l'expression (20) deviendra, en vertu du théorème II, supérieur à la différence

si l'on suppose r'^^p, r>p"; et, par conséquent, il surpassera le module p, si l'on a

Au contraire, R sera équivalent à la valeur numérique de fl ou de a et, par conséquent, inférieur à p, si l'on suppose

(27) Ç='-o, a;":=p'^^a OU bien

(28) p^O, ^«=z(çry/37)''=[3v/^^.

Donc, la plus petite valeur que puisse acquérir le module R de l'expression (20) ou (21), tandis que x varie, est inférieure au module p

de an- ^ y/— I,. et correspond à une valeur de x différente de zéro,

mais dont le module r ne surpasse pas (^p)". D'ailleurs, si l'on

attribue à la variable œ une valeur distincte de p -+- q\'— 1, et représentée par

le binôme (21) se transformera en une fonction entière de z du degré n, savoir

Or, dans la formule (29), la somme des deux premiers termes du second membre s'évanouira si l'on prend

Mais si l'on prend

£ désignant une quantité positive très peu différente-de zéro, ce second membre deviendra une fonction entière de £ qui offrira pour premiers termes les deux expressions imaginaires

P + Qv/^, -£(P + Qv/^0-

Donc, si l'on divise cette fonction de £ par P + Q y— i, le quotient sera de la forme

(82) I — e 4-c,e^4-C2e*4-. . . + c„ie„,

(') La formule ('29) se déduit immédiatement de l'équation (20) jointe à celle qu'on obtient en remplaçant j- par p -^q s/ — i dans l'équation connue

{a) ( j -i- 3 )'» = j/« H- /^J«-1 3 4- ... -H nyz"-'^ -^ c'».

Au reste, l'emploi que nous faisons ici de la formule (-ji) n'exige pas que l'on détermine les coefficients do toutes les puissances de :; qui entrent dans le second membre de cette formule ou do la formule {a). On peut môme, à la rigueur, calculer seulement le coefficient de 2. Or, pour s'assurer que ce coefficient se réduit, dans la formule («), à //j""~', il suffit d'observer que l'on a généralement

et, par suite, en supposant cj = sj — . . . = 2„ = 5,

(/-<--)" = y" + ny'^-'^z -H. . .-+- z". OF.uvreu de C. — S. U, t. IX. l5

Ui SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

c,, Co, . . ., c„, désignant des coefficients réels ou imaginaires, et l'on trouvera, en supposant la variable z déterminée par l'équation (3i),

( zir (P-H Q V^— l) (l — £ H- Ci£2 4-C2£'*4-. . .+ C„i£").

Observons maintenant que, si R n'est pas nul, le second membre de l'équation (33) offrira, pour de très petites valeurs de £, un module inférieur à R. En effet, si l'on nomme

Xj, X,, . . . , ''^n—l

les modules des expressions imaginaires

Cl, C2, • • • » ^n—lf

la somme des expressions

OU le polynôme (32), aura pour module (en vertu des théorèmes II, III et de leurs corollaires) un nombre G inférieur à la somme des quantités

I — £, Xi£ , 3*2 £ , • • • , '^/i— 1£ y

en sorte qu'on trouvera

D'ailleurs, pour de très petites valeurs de £, le polynôme

(35) I — Xi£ — X2£^— . . .— X„i£"~'

étant très peu différent de l'unité, on conclura de la formule (34)

Donc, lorsque R ne sera pas nul, on pourra choisir £ de manière que le module 6R de l'expression (33) devienne inférieur à R. Il suit évidemment de cette remarque que le plus petit module de l'exprès-

sion (21) ne saurait différer de zéro. Donc, puisque ce plus petit

module correspond à une valeur de r inférieure à (2p)", et que l'expression (21) s'évanouit avec son module, l'équation (19) ou (3) admet une ou plusieurs racines dont les modules sont renfermés entre les

limites o, (sp)".

Les principes que nous venons d'exposer ne servent pas seulement à prouver que, dans le cas où n est impair, l'équation (3) admet une ou plusieurs racines réelles ou imaginaires; ils fournissent encore le moyen de déterminer numériquement au moins l'une de ces racines. En effet, supposons que, n étant égal à im + i, on désigne par x^ la valeur de x donnée par l'une des équations (i3), (i4)' (i?)» (i^).

Après avoir calculé les valeurs correspondantes des nombres x,, x,

X;j,, on trouvera sans peine une valeur de £ propre à rendre positive la quantité (35), c'est-à-dire à vérifier la condition

(38) xi£ -}--/2e2-h. . .-f-x„ie'^-i<i.

Car il suffira, pour y parvenir, d'attribuer as des valeurs décroissantes, par exemple

lOOO

jusqu'à ce que le polynôme

(39) Xi£ -H /je^-l-- •

• -+-- it/î-

(jui décroit constamment et indéfiniment avec £, devienne inférieur à l'unité. Or, £ étant choisi de manière à vérifier la condition (38), il suffira d'ajouter à x^ le second membre de la formule (3i), pour obtenir une nouvelle valeur de x, à laquelle réponde une valeur de R plus petite que le module de l'expression £r"4-aH- ^^\J— 1. Soit x., cette nouvelle valeur de x. L'opération par laquelle on a déduit .To de x^, étant plusieurs fois répétée, fournira une suite de valeurs de x, auxquelles correspondront des valeurs de plus en plus petites de la quantité positive R, qui représente le module de l'expression

116 SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES Cela posé, soit

la suite des valeurs de x dont il est ici question. Tandis que les modules des expressions

(40 ^f + a + Pv/'^, ^^-t-aH-j3v/-~i, ^^ + a + [3v/^, o^^ + a + Py/^, ...

deviendront de plus en plus petits, les termes de la série (4o) convergeront vers une certaine limite qui sera nécessairement une valeur de 07 propre à vérifier l'équation (3).

Il reste à examiner le cas où le degré n de l'équation (3) ne se réduit ni à un nombre impair ni à une puissance de 2. Soit, dans cette hypothèse, 2' la plus haute puissance de 2 qui puisse diviser le degré n. Ce degré sera le produit de 2^ par un nombre impair 2/72 + i , et l'équation (3) ou

pourra être remplacée par le système des deux formules

Or la seconde des équations (43), étant semblable à l'équation. (3), mais d'un degré impair, pourra toujours être vérifiée, d'après ce qu'on vient de dire, par des valeurs réelles ou imaginaires de y; et, pour chacune de ces valeurs de j, l'équation

dont le degré se réduit à une puissance du nombre 2, fournira autant de valeurs de x que son degré renferme d'unités.

On peut donc affirmer que, dans tous les cas, une équation binôme admet des racines réelles ou imaginaires.

Au reste, on s'assurera facilement que le module de chacune des

racines de l'équation (3) se réduit toujours à p". Car, si l'on nomme r

le module d'une de ces racines, on aura, en vertu de ce qui a été dit ci-dessus (p. 9G),

et, par suite,

(45) rzzzp".

§ IV. — Sur la résolution des équations de degré quelconque à coefficients réels.

Si, dans une équation du degré n, on réduit à l'unité le coefficient du premier terme, elle se présentera sous la forme

Si d'ailleurs les coefficients A, B, ..., I, K sont réels et donnés en nombres, on pourra, lorsque certaines conditions seront remplies, affirmer que l'équation (i) admet des racines réelles, et l'on établira sans peine les propositions suivantes :

Théorème VIII. — 5/, en substituant V une après l'autre, dans le premier membre de l'équation (i), deux valeurs réelles et finies de x, par exemple x =^ a, x =^ b, on obtient deux résultats de signes contraires, on pourra en conclure que l'équation admet au moins une racine réelle comprise entre aet b.

Démonstration, -r- En effet, concevons que l'on fasse varier x par degrés insensibles depuis la limite x = a jusqu'à la limite x = b. Le premier membre de l'équation (i), ou le polynôme

(2) a;«+ A^^-'h-Bj;"---!-. . .H- Ij7 + K

variera lui-même par degrés insensibles, en conservant une valeur finie, mais de manière à changer de signe; et il est clair qu'il s'évanouira au moment où il passera du positif au négatif, ou du négatif au positif.

Corollaire I. — 11 est bon d'observer que le polynôme (2) peut être considéré comme le produit des deux facteurs

dont le second diffère très peu de l'unité, et par suite reste positif, quand on attribue à la variable x une très grande valeur numérique. Cela posé, comme l'autre facteur x" change de signe avec x, dans le cas où le degré n est un nombre impair, il suffira évidemment, dans ce cas, d'attribuer à la variable x deux valeurs de la forme

a désignant une quantité positive très considérable, pour que les valeurs correspondantes du polynôme (2) soient affectées de signes contraires. Donc alors l'équation (i) admettra au moins une racine réelle.

Corollaire IL — Si, le degré n étant un nombre pair, on désigne toujours par a une quantité positive très considérable, le polynôme (2), ou le produit des facteurs (3) et (4), sera évidemment positif pour a? = — «. Si d'ailleurs la quantité K est négative, le polynôme (2) deviendra positif pour a? = o. Donc alors ce polynôme changera de signe tandis que l'on fera varier x, soit entre les limites x^= — a,x = o, soit entre les limites x = o,x = a. Donc, par suite, l'équation (i) admettra au moins deux racines réelles, l'une positive, l'autre négative.

Théorème IX. — Supposons que, dans le polynôme (2), le dernier terme étant négatif, les termes positifs, s'il en existe, suivent immédiatement le premier terme. L'équation (i) admettra une racine réelle et positive, et n'en aura qu'une de cette espèce.

Démonstration. — Soient

Pl> P21 • • • > Pn-lf pn

les valeurs numériques des coefficients

En vertu de l'hypothèse admise, l'équation (i) sera de la forme

(5) a;'*+ p, jr''-' + p2a;"-2 + . . .+ p,„^«-'"— pm+ia:"-""-^ — . . .— p^-io; — p„ = o, m étant un nombre entier inférieur à n. D'ailleurs le polynôme

est le produit des deux facteurs

/o\ m . m — 1 , , / P/n-+-l , , pn — 1 , Pn

et il est clair que, si l'on fait croître x par degrés insensibles, mais indéfiniment, à partir de ^ == o, l'expression

(9) ^'«+Pi^'"-' + . . .-f-p,„

croîtra en passant de la limite p„j à l'infini positif, tandis que l'expression

( \ '^' -^ ^ P/»-l , Pn

décroîtra en passant de l'infini positif à zéro. Donc alors la difierence (8) croîtra sans cesse, en passant de l'infini positif à l'infini négatif. Donc cette diff'érence s'évanouira, mais une fois seulement, pour une valeur positive de x, et l'on pourra en dire autant du polynôme (6) qui forme le premier membre de l'équation (5).

Corollaire. — Lorsqu'on suppose m = o, l'équation (5) se réduit à

(11) ûc" — p^x'^-^ — piX""-^ — . . . — p„i^ — p„ = o.

Donc cette dernière admet une racine réelle positive, et n'en a qu'une de cette espèce.

Lorsque les coefficients de l'équation (5) ou (ri) sont donnés en

nombres, on peut aisément déterminer la racine positive de cette équation, avec une approximation aussi grande qu'on le juge convenable, à l'aide de procédés semblables à ceux auxquels on a recours dans l'extraction des racines carrées et cubiques. Il est d'ailleurs facile de trouver une limite supérieure à la racine dont il s'agit. On y parviendra en particulier pour l'équation (i i), en suivant l'une des méthodes que nous allons exposer.

Soient p le plus grand des coefficients p,, po, ..., p«,, p„, et t la racine positive de l'équation (i i). On aura

et, par suite,

ou, ce qui revient au même,

Donc la racine positive de l'équation (ii) sera inférieure au plus grand des nombres

(i4) pi + l, P2+', •••, p„-i + l, p„4-l.

De l'équation (12), présentée sous là forme

on conclut encore que les rapports

Pn-l

doivent être ou égaux entre eux et à -> ou les uns supérieurs, les autres inférieurs à - • Donc, par suite, les rapports

^^yf —-' ~r' •••' T^iiT' TTT

doivent être, ou égaux, ou les uns supérieurs, les autres inférieurs à l'unité; et l'on pourra en dire autant des expressions

np,y{np,y

«Pi ( Ipl] — V " p-i

npn

{npn'r

Or il en résulte évidemment que la racine t sera comprise entre le plus petit et le plus grand des nombres

npi, (np.y, ..., {np,^^)"-\ {np„)".

Observons maintenant que, si, dans le premier membre de l'équation (il), on attribue à la variable ce une valeur positive quelconque désignée par r, la valeur correspondante de ce premier membre sera

Pn-l'

ou, ce qui revient au même,

rnij-Pl-Pl-,

Or le produit (20) est composé de deux facteurs qui, pour des valeurs croissantes de r, croissent l'un et l'autre, et convergent, le premier vers la limite ce, le second vers la limite i . Donc ce produit, qui s'évanouit pour r=ï, deviendra positifdès que l'on aura /■>ï, par exemple, lorsqu'on supposera r=p-\- i, ou lorsqu'on prendra pour r le plus grand des nombres (18); de plus, le produit dont il s'agit ou le polynôme (19) deviendra infini pour des valeurs infinies de r.

§ V. — Sur la résolution des équations de degré quelconque à coefficients imaginaires.

Considérons, comme dans le § IV, une équation du degré n, mais à coefficients imaginaires. En réduisant le coefficient du premier terme

Œuvres de C. — S. H, t. IX. 1 6

à l'unité, on ramènera encore cette équation à la forme

(i) x'»-i-A^"-'+Bj7''-2-i-. ..-hIj? + Ki=o.

Seulement les constantes A, B, . . ., I, K et les valeurs de x propres à vérifier l'équation (i) pourront être imaginaires. D'ailleurs, si l'on désigne par /? -4- ^ V^7 une valeur imaginaire quelconque attribuée à la variable x, et par

les modules des expressions imaginaires

A, B, ..., I, K, p + rjs/'^,

le module du polynôme

(2) Aa:«->-f-B^«-2 + . . . + I^ + K

sera (en vertu des théorèmes II et III) égal ou inférieur à la somme

(3) pi/-'»-^+p2A-"~- + . • • + p«-i/' + P«,

et, par suite, le module du polynôme

(4) :r«+ A^"-' + Bx"-- + .. .+ I^ + K

{voir encore le théorème II) sera égal ou supérieur à la différence

lorsqu'elle sera positive, c'est-à-dire lorsque le module j" de x" surpassera celui du polynôme (2). Or l'expression (5) acquerra une valeur positive et différente de zéro {voir le § IV), dès que le module r deviendra supérieur à la quantité positive t qui vérifie l'équation

(6) t«— p,t«-'+ p2l«-2|-. . .+ p,^jt + p,,,

par exemple, lorsqu'on prendra pour r le plus grand des nombres

(7) . pi + i, P2+1, •••' p^-i+i. P«+i ou le plus grand terme de la suite

(8) np„ («pOS ..., (/«p„-,)"-S {np„Y.

Donc alors le module du polynôme (4), étant égal ou supérieur à l'expression (5), acquerra lui-même une valeur différente de zéro. Donc l'équation (i) ne peut être vérifiée par aucune valeur de x dont le module surpasse la quantité t. Ajoutons que, si le module r, devenant supérieur à ï, croît au delà de toute limite, on pourra en dire autant de l'expression (5), et, à plus forte raison, du module du polynôme (4). Concevons maintenant que l'on désigne par P + Q \j —i la valeur du polynôme (4) correspondante à ^ =/?-+- ^ y'— i, et par R le module de l'expression imaginaire P + Q y — i- D'après ce qu'on vient de dire, le module R croîtra indéfiniment avec r. Donc les plus petites valeurs de ce module correspondront, non à des valeurs infinies, mais à des valeurs finies de r et de x. D'ailleurs, si l'o-n attribue à la variable X une valeur distincte de /? + ^ sj— i, et représentée par

le polynôme (4) se transformera en une fonction entière de :; du degré n, savoir

qui pourra être présentée sous la forme

I P + Qv/^ + (P.+ Qiv/— •)-

I +(P,+ Q2v/~)^' + -.-+(P.-i + Q«-iV/^^)^"-*+-"'

p,, p., ..., P„,; Q,, Qa, ..., Q„-i désignant encore des quantités réelles. Cela posé, admettons d'abord que l'expression imaginaire P) + Qiv/— i ne soit pas nulle. Alors, dans le polynôme (lo), la somme des deux premiers termes s'évanouira, si l'on prend

^^P^Qv/^.

P. + OiV^-' Mais, si l'on prend

(12) * zr=i—Z -=:, ,

£ désignant une quantité positive très peu différente de zéro, la même expression deviendra une fonction entière de £ qui offrira pour premiers termes les deux expressions imaginaires

p + Qv/^TT, £(p + Qy/=T).

Donc, si l'on divise cette fonction de £ par P + Qv^— i, le quotient sera de la forme

c^, c.,, ..., c«, désignant des coefficients réels ou imaginaires, et l'on trouvera, en supposant la variable z déterminée par la formule (12),

( (o + '7V^^^ + -)"4- A (/^ + <7V/^ -+--)""' + R(/> 4- ri\f— i +^)"~' + .

(l3) I + I (y? + ^yy/ir7 4- 3) + K

[ z=(P4-Qy/^^)(l- £ + Ci£-+C2£3 + . ..4-C„i£").

D'autre part, si l'on nomme

z,, ■/,, . . . , y-n-i les modules des expressions imaginaires

on prouvera, en raisonnant comme ci-dessus (p. 1 14)» que le module 0 du polynôme

(14) I — £ H- Ci£2+ C2£^-i-. . .+ C,j i£"

est inférieur à la somme

et vérifie, en conséquence, la formule

(15) 9 < I — c(l — X,£ — XoE^ — ...— Z,,, £"-'),

dès que l'on suppose £<i. Enfin la formule (ij) donnera évidemment, pour de très petites valeurs de £,

ET SUK LA ÏHÉOIIIE J)E L'ÉLIMINATION. 125

Par conséquent, lorsque R ne sera pas nul, on pourra choisir z de manière que le module OH de l'expression (i3) demeure inférieur à K. Donc, si l'expression imaginaire P, + Qiv/— i ne s'évanouit pas, la plus petite valeur de R ou le plus petit module du polynôme (4) ne pourra différer de zéro.

Admettons à présent que P, + Q, y/— i s'évanouisse, et supposons que, parmi les expressions imaginaires

la première de celles qui ne sont pas nulles corresponde à l'indice m. Alors, dans le polynôme (lo) réduit à la forme

la somme des deux premiers termes s'évanouira, si l'on prend

C désignant une valeur de z propre à vérifier l'équation binôme

Mais, si l'on prend

£ étant une quantité positive différente de zéro, le polynôme (18) deviendra une fonction entière de £, qui offrira pour premiers termes les deux expressions imaginaires

P + Qv/^, — £"'(P-+-Ov/^~).

Donc, si l'on divise cette fonction de £ par P 4- Q y^— • » le quotienl sera de la forme

c,, c.,, . . . , c,^„, désignant des coefficients réels ou imaginaires, et l'on

J26 SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES trouvera, en supposant la variable z déterminée par l'équation (21),

(23) + i(^ + ^^zrr + ^)-i-K

D'autre part, si l'on nomme les modules des expressions imaginaires

on s'assurera, en raisonnant comme à la page ii4, que le module 0 du polynôme

(24) I — £'« + Cl £'"+• + C2£'"+2 f- . . . + C„„, £"•

vérifie la formule

(25) 9 < I - £'"(! - Zi£ - X,£2 — . ..- /.,,„,£"-'«),

lorsqu'on suppose £<<i, et devient par suite inférieur à l'unité, lorsque £ diffère très peu de zéro. Donc, si R n'est pas nul, le module OR de l'expression (23) sera, pour de très petites valeurs de £, inférieur à R. Par conséquent, dans l'hypothèse admise, la plus petite valeur de R ou le plus petit module du polynôme (4) se réduira encore à zéro.

Il est donc prouvé que, dans tous les cas, les valeurs finies de r et de X, pour lesquelles le module R devient le plus petit possible, font évanouir ce module et, par suite, le polynôme (4)- Donc il existe une ou plusieurs valeurs finies de x propres à vérifier l'équation (i). En d'autres termes, cette équation admet nécessairement une ou plusieurs racines soit réelles, soit imaginaires.

La méthode par laquelle on vient d'établir l'existence des racines réelles ou imaginaires des équations de degré quelconque peut encore servir au calcul numérique de ces racines. En eff'et, nommons

J7,, X., les deux valeurs de x ci-dessus désignées par p -\- q \l — i <'t p + qsh^i H- -. Pour que le module du polynôme (4) diminue tandis que la variable x passera de la valeur a? = ^r, à la valeur x = x^, il suffira de choisir le nombre i de manière que le second membre de la formule (i5) ou (25) devienne inférieur à l'unité, et par conséquent de manière que l'on ait

Zi£ H-Z2£^ + . . .+ X„i£"~'< I

Or la condition (26) sera remplie, si l'on prend pour £ un nombre inférieur à la racine positive unique de l'équation

D'ailleurs cette équation, pouvant s'écrire comme il suit

Zll - ) +5<2( - ) +... + /«i,

fournira une valeur positive de - inférieure au plus grand des nombres

XiH-i, X24-1, ..., x„,4-i,

ainsi qu'à la plus grande des quantités

(voirie §1V), et par conséquent une valeur positive de i inférieure au plus petit des rapports

ainsi qu'à la plus petite des quantités

Donc le plus petit terme de la suite (3o) ou (3i), étant pris pour £, vérifiera la condition (2G). De même, on vérifiera la condition (27) en prenant pour £ un nombre inférieur à la racine positive unique de l'équation binôme

ou le plus petit terme de l'une quelconque des deux suites

■/l+I Xo+I

( n — JH ) z.

Ainsi, dans tous les cas, après avoir choisi arbitrairement la valeur de X ci-dessus représentée par x^ ou p + q \J~ i , on pourra, de cette première valeur, en déduire une seconde x., qui fournisse un moindre module du polynôme (4). Cela posé, si l'on répète plusieurs fois de suite l'opération par laquelle on déduit x., de ^,, on obtiendra évidemment une série de valeurs finies de x, auxquelles correspondront des modules de plus en plus petits du même polynôme, et, si l'on désigne ces valeurs par

la limite vers laquelle elles convergeront, tandis que le polynôme (4) s'approchera indéfiniment de zéro, sera certainement une racine de l'équation (i).

Soit maintenante une racine réelle ou imaginaire de l'équation (i). On aura identiquement

';36) a" + Aa"-^ + Ra«-2 + . . . + la + K = o

Kr=— «" — A««-> — Ra"--— . . .— Irt et, par suite,

) ^''H- A^«-' + R^«-2 + . . .H-I^ + K ^ ( — ^'' — «" + A(^'»-i — rt«-i)+R(^«-2 a«-2)4-...-i-I(^ — a).

ET SUR LA TIIÉOIUE DE L'ÉLIMINAÏION. 129

Comme on a d'ailhnirs, en désignant par m un nombre entier quelconque,

la formule (37) donnera évidemment

{a: — a) [a;'"-i4-(a + A)^«-- + (a2+ Aa4-B)j;«-^ + . . .

Donc le polynôme (4)» qui est du degré n par rapport à x, peut toujours être décomposé en deux facteurs, dont l'un soit linéaire et de la forme

l'autre étant un nouveau polynôme du degré /i — t et de la forme

\ .r«-'+(rt4- A).r"-2 4- («^^4- Art + B)x"-=* + . . . i + (a''-i-+-Aa«-2-f-B«"-2+ .. . +1).

De plu^, en désignant par h une racine réelle ou imaginaire de l'é ([uation

( ^«-»-f-(rt + A).r"-2+(a2+Aa-^B)^'»-3 + . ..

\ +(a«->-^Aa''-2+Ba''-» + . . .+ l) = o,

on prouvera encore que le polynôme (4 1) peut être décomposé en deux facteurs dont l'un soit x — h, l'autre étant un polynôme du degré n — 1 et de la forme

(43) .T''-'-+{b-^a + \).v''-^+[b-+ab + a"- -\- ,\ (/; + a) 4- B]^"-*h-

Donc le polynôme (4) sera le produit des facteurs linéaires x — a, x — h par un polynôme du degré // — 2. En continuant de la même manière, on prouvera définitivement que le polynôme (4) est le produit de n facteurs linéaires et de la forme

par un polynôme du degré zéro, c'est-à-dir(» par une constante; et,

OEnt-rcs de C. — S. Il, t. IX. I 7

comme cette constante devra se réduire au coefficient de a;" dans le polynôme (4), par conséquent à l'unité, on trouvera

(45) ^«-+-A^«-'-+-B^«-- + ... + Ia' + K=(^ — a)(a: — 6). ..{j; — i){jc — k). Donc l'équation (i) pourra toujours être présentée sous la forme

a, b, . .., i, k désignant n constantes réelles ou imaginaires. Mais on a démontré {voir le théorème IV) que le produit de plusieurs facteurs imaginaires ne peut s'évanouir qu'autant que l'un de ces facteurs se réduit à zéro. Donc toute valeur réelle ou imaginaire de x, propre à vérifier l'équation (4^)» coïncidera nécessairement avec l'une des valeurs de X déterminées par les formules

(47) x — a^=o, x — br=o, ..., x — i^=.o, x — k^no,

c'est-à-dire avec l'une des constantes a, b, ..., i, k-, et, comme chacune de ces constantes est évidemment racine de l'équation (4^), on pourra énoncer la proposition suivante :

Théorème X. — Quelles que soient les ixileurs réelles ou les ixdeurs imaginaires des coefficients iV, B, ..., 1, K, l'équation (i) a toujours n racines réelles ou imaginaires, et n'en saurait avoir un plus grand nombre.

De plus, on déduira immédiatement de la formule (4j) cet autre théorème :

Théorème XI. — Si Ton désigne par a, b, c, . . . , i, k les n racines de l'équation (i), le premier membre de cette équation ou le polynôme (4) sera le produit des facteurs linéaires

Observons encore que, si l'on développe le second membre de l'équation (4^)» elle deviendra

{ x'^-h Xx^-^-i-Bx^-'-h. '. .-hlx -hK ( 49 )

— a;« — ( a H- ^> + . . . + i + A-).r"-' 4- . . . ih «6 . . . «A-,

ET SUU LA THÉORIE J)E L'ÉLIMINATION. 13t

et que l'on tirera de la formule (\\)), en ayant égard au théorème VII,

ah + ac -^ . . . -t- ai -+- a/> -{- bc -[-... -\- bî -k- bh + ... -\- ik =z: B,

abc . . .i -\- abc .. .k -{-...-{- bc .. .iA =zzii\, abc. . .ikz=:± K.

Or CCS dernières équations comprennent évidemment un théorème que l'on peut énoncer comme il suit :

Théorème XII. — Lorsque, dans une équation du degré n, le coefficieni du premier terme est réduit à l'unité, les coefficients du deuxième, du troisième, du quatrième, . . . , du dernier terme, étant pris alternativement açec le signe — et avec le signe H- , sont respectivement égaux à la somme des racines, ou aux sommes des produits qu'on obtient en multipliant ces racines deux à deux, trois à trois, etc. , ou enfin au produit de toutes les racines.

Lorsque deux ou plusieurs des constantes a, b, c, ... sont égales entre elles, les facteurs linéaires correspondants deviennent égaux, et l'on dit que l'équation (i) a des racines égales.

Lorsque, dans le polynôme (4), les coefficients A, B, . . . , I, K sont réels, alors, en substituant successivement dans ce polynôme deux valeurs de x imaginaires, mais conjuguées l'une à l'autre, par exemple,

(5i) x—p + (j^/—i, x=zp — q\l—i,

on obtient évidemment pour résultats deux nouvelles expressions imaginaires, qui sont encore conjuguées l'une à l'autre ou de la forme

P, Q étant des quantités réelles. D'ailleurs, pour que chacune des expressions (52) s'évanouisse, il sera nécessaire et il suffira que l'on ail

Donc ces deux expressions ne pourront s'évanouir l'une sans l'autre, et si l'équation (i) offre, dans l'hypothèse admise, une racine imaginaire de la forme/? -f- q sj — i, elle en offrira une seconde conjuguée ii la première ou de la forme p — q \l — i. Dans le même cas, ceux des facteurs linéaires a; — a, x — h, .. ., qui correspondront à deux racines imaginaires conjuguées, seront eux-mêmes conjugués entre eux ou de la forme

(54) x—p — qsJ—K, x—p-\-q\/—i,

et donneront pour produit un facteur réel du second degré, savoir

(55) {x—pY-^q^-.

Ces remarques fournissent les propositions suivantes :

Théorème XIII. — .SV, dans l'équation (i), les coefficients A, B, ..., I, Y^sont tous réels, cette équation n'admettra qu'un nombre pair de racines imaginaires qui, prises deux: à deux, seront conjuguées l'une à l'autre.

Théorème XIV. — Si, dans le polynôme (4), les coefficients xV, B, . . . , I , K sont tous réels, ce polynôme sera décomposable en facteurs réels du premier ou du second degré.

Les deux théorèmes qui précèdent s'étendent évidemment à l'équation (76) du § I et au polynôme qui forme le premier membre de cette équation, c'est-à-dire ii tous les polynômes dont les coefficients sont réels, et aux équations qu'on obtient en égalant ces polynômes à zéro.

§ VI. — Sur la détermination des fonctions symétriques des racines d'une équation donnée

(i) . J?«4- Ax'^-^4-B^'^-2-i-. . .+ I^ + K= o,

dans laquelle A, B, . . . , I, K désignent des constantes réelles ou imaginaires. Si l'on nomme a,b, c, . . . , h, i, k les racines de cette équa-

tion, l'on aura, comme on l'a prouvé dans le § V,

ah -^ ac -\- . . .-\- ai + ak + bc -^ . . .-^ hi -+- bk -\- . . .-{- ik = R,

I abc. . . f -H abc. . .k + . . .-\- bc. . . ik =q= I,

' abc...ik—±\i.

Soit maintenant U une fonction entière de chacune des racines a, h, c, ...,i, k, qui, comme les premiers membres des équations (2), ne change pas de valeur, quand on échange entre elles ces mêmes racines. U sera ce qu'on appelle une/onction symétrique des racines de ré(|uation (i), et l'on pourra, sans résoudre cette équation, déduire la valeur de U des valeurs supposées connues des coefficients A, B, C, . . . , I, K. On y parviendra en effet très aisément à l'aide de la proposition suivante :

Théorème XV. — Soient a, b, c, ... les racines supposées inégales fie l'équation (i). Concevons de plus que U représente une fonction symétrique de ces racines, et que, par un moyen quelconque, on ait transformé U en une fonction entière de a, du degré m, savoir

(3) .'^a'«-h 01La'"-' + . . . + rSa -i- G := U,

j^, ,')1I, ..., >), G étant de nouveaux coefficients dont les valeurs se déduisent de celles des coefficients A, B, . . . , I, K. Si l'équation (3) suh.sislr tandis qu'on y remplace la racine a par l'une quelconque des racines h, c, d, . . . , le polynôme

(4) 41a'"+ Orca"'-'-+-. . . + ^« -hS,

divisé par la fonction

(5) a"-f- Art«-' + Ba'»-2-+-. . .+ I^ + K,

fournira un reste indépendant de a, et ce reste sera précisément la valeur de\].

. Démonstration. — En etfel, dans l'hypothèse admise, chacune des

racines a, h, c, d, ... de l'équation (i) vérifiera encore la formule

(6) 4;^'"+Dll,r"'-» + . . . + ^^ + G = U.

D'ailleurs, si l'on désigne par

le reste de la division du premier membre de la formule (G) par le premier membre de l'équation (r), la formule (6) se réduira simplement il la suivante

Or cette dernière ne pourra être qu'une équation identique, en sorte ({u'on aura nécessairement

(9) • l. — o, f^ = o, ..., ç = o et

Car, s'il en était autrement, la formule (8) serait une équation d'un degré inférieur à n, et pourtant elle admettrait Ji racines a, b, c, cl, ..., ce qui serait contraire au théorème X. Donc, en divisant le premier membre de l'équation (G) par le premier membre de l'équation (i) et, par conséquent, le polynôme (4) par le polynôme (5), on obtiendra un reste t indépendant de x ou de a, et ce reste, en vertu de la formule (10), sera précisément la valeur de U.

Pour montrer le parti qu'on peut tirer du théorème XV', concevons d'abord que l'équation (i) soit du second degré, et se réduise à

(lO ^- + Ax + R = o.

Les deux racines « et /> de cette équation vérifieront la formule

(12) a + bz=z — k;

et, si l'on désigne par U une fonction symétrique de ces racines, il

ET SUR LA THEORIE DE L'ELIMINATION. 13o

suffira de subslituor à la racine h sa valeur tirée de la formule (12), savoir

pour changer U en une fonction entière de la seule racine a. Soit

(3) .'^a'« +OrL «'"-'-+-. ..-f-.S« + G = U

la fonction entière dont il s'agit. L'équation (3) continuera évidemment de subsister, ainsi que la formule (12), tandis que l'on échangera entre elles les racines a et b. Donc, si ces racines sont inégales, le polynôme (4), divisé par le trinôme

(14) cC- + pa-^q,

fournira (en vertu du théorème XV) un reste indépendant de «, et ce reste sera précisément la valeur de U.

Il est bon d'observer que, en substituant dans U la valeur de h tirée de la formule (12), on obtient pour résultat le reste auquel on parviendrait en divisant U considéré comme fonction de h par le trinôme

Donc, pour calculer la valeur d'une fonction symétrique U des racines «, h de l'équation (i i), supposées inégales, il suffit de diviser : 1° U (;onsidéré comme fonction de h par le trinôme (i^); 2" le reste de la division considéré comme fonction de a par le trinôme (i4). Le nouveau reste, ainsi déterminé, sera précisément la valeur cherchée de U.

Concevons maintenant que l'équation (r), étant du troisième degré, se réduise à

(16) ^•»4-Aa:-^4-IÎ^ + C = o;

et soient a, h, c les trois racines de cette équation supposées inégales entre elles. On aura identiquement

('7) rt»+ Art^+Ba + C — o

OU, ce qui revient au même,

C=3— a'-A«^— Ba

i:^6 SUR LA RÉSOLUÏION DES ÉQUATIONS NUMÉIUQUES

et, par suite,

nonc, l'équation (iG) pourra être présentée sous la forme

(i8) {x — a) {x-~\- {a + i\.)x + («-+ Aa H- B)] = o,

et celle qu'on obtiendra en la divisant par x — a, savoir

aura pour racines b et c. Cela posé, soit U une fonction symétrique des racines a, b, c de l'équation (16). Puisque l'équation (19) est du second degré seulement, on déterminera sans peine la valeur de U considéré comme fonction symétrique des racines b et c, par la méthode que nous avons appliquée à la détermination des fonctions symétriques des racines de l'équation (11). On y parviendra, en effet, en divisant U considéré comme fonction de c par le polynôme

puis le reste considéré comme fonction de b par le polynôme

(2O Z*2^(a + A)Z^ + a'+Aa + B.

J.e reste de la nouvelle division sera une fonction entière de a, qui, divisée elle-même par le polynôme

(22) «^H- A(2--}- Ba + C,

fournira un troisième reste indépendant de a; et ce troisième reste sera la valeur cherchée de U.

11 est important d'observer que, pour obtenir les polynômes (22), (21), (20J, il suffit : i*^ de poser x =^ a dans le premier membre de l'équation proposée, c'est-à-dire dans la fonction

(23) x^ + kx'-^Hx + C;

2" de retrancher le résultat ou le polyncyne (^2) de la fonction (23),

de diviser le reste par x — a, et de remplacer, dans le quotient ainsi formé, savoir

(24) J72+ (rt -f- A).r + a^-h Aa -f-B,

la variable x par la lettre h\ 3" de retrancher le nouveau résultat ou le polynôme (21) de la fonction (2^), de diviser le reste par .x- — />, et de remplacer, dans le quotient ainsi formé, savoir

la variable x par la lettre c.

Concevons encore que l'équation (i), étant du quatrième degré, se réduise à

(26) ^^4- A^^+Baj2+Cx + D = o,

et soient a, h, c, d les quatre racines de cette équation, supposées inéiçales entre elles. On aura identiquement

(27) . a*+ A«^H- Ba--+- Ca + I) 1= o ou, ce qui revient au même,

I) :^ — d* — ko? — Ba- — Ca, et, par suite,

= {x — a) [j73, (a + k)x^--\- (a--t- A« + B) j" + (a^+ Aa^^- \\a ^ C)].

Donc l'équation (26) pourra être présentée sous la forme

(28) (J' — a)[^3+(a + A)j:2+(«2 + A«4-B).r4-(rt'-'-+-Art2 + Brt +C)]=:o,' et celle qu'on obtiendra, en la divisant par j^ — «, savoir

(29) .r»+ {a 4- k)x''-\- (a-+ ka + \\)x 4- {a} ^ ka- ^ Ba + C) — o,

aura pour racines h, c et d. (^ela posé, soit U une fonction symétricjuc des racines a, h, c, d de l'équation (2G). Puisque l'équation (29) est (lu troisième degré seuleuiejit, on déterminera sans peine les valeurs

OF.iivres de C— S.W, \.\X. l8

. (le U considéré comme fonction symétrique des racines h, c, d par la méthode que nous avons appliquée à la détermination des fonctions symétriques des racines de l'équation (iG). On y parviendra, en effet, en divisant U considéré comme fonction de <ipar le polynôme

puis le reste considéré comme fonction de c par le polynôme

puis le nouveau reste considéré comme fonction de b par le polynôme

(32) Z,^4-(a + A)/>24-(«-+Aa + R)è + (a^+Aa^+Rr7 + C).

Le troisième reste, que l'on trouvera en opérant comme on vient de le dire, sera une fonction entière de a, qui, divisée elle-même par le polynôme

(33) «i+Aa^^-Ra^+O + D,

fournira un (juatrième reste indépendant de a; et ce quatrième reste sera la valeur cherchée de U.

Il est important d'ohserver que, pour obtenir les polynômes (33), (32), (3i), (3o), il suffit : 1° de poser x =^a dans le premier membre de l'équation proposée, c'est-à-dire dans la fonction

(34) ^*^Aa^»4-Ra72+C^ + I);

li"* de retrancher le résultat ou le polynôme (33) de la fonction (34), de diviser le reste par x — a, et de remplacer, dans le quotient ainsi îormé, savoir

(35) .37'4- (a 4- A)a72H- (a^-h Aa 4- R);^' -f- (rt^4- Aa-H- Ra 4- C),

ia variable x par la lettre h-, 3" de retrancher le nouveau résultat ou le polynôme (82) de la fonction (35), de diviser le reste par x — h, et de remplacer dans le quoti(;nt ainsi formé, savoir

(36) x''-+{b-\-a + k)x- + b''-^ab-^à^-^k{a-^b) + \^,

la variable x par la lettre c; 4" tlo retrancher le dernier résultat ou le polynôme (3i) de la fonction (36), de diviser le reste par x — c, et de remplacer, dans le quotient ainsi formé, savoir

la variable x par la lettre d.

En continuant de la même manière, on parviendra généralement à déterminer les fonctions symétriques des racines d'une équation de degré quelconque, et l'on établira sans peine, à ce sujet, le théorème que nous allons énoncer :

Théoiième XVI. — Soient a, h, c, d, . • • , h, i, k les racines de l'équation (i),

(38) P=:^« + A^«-' + Bj:'»-2-i-. . .+ I^-4-K

le premier membre de celte équation, et U une fonction symétrique des racines a, h, c, . . . , h, i, k. Soient de plus

(39) • Ao, m,, 3, ..., /), .\ ÎK

les polynômes dans lesquels se transforment : i" la fonction P quand on 'posex = a; 'i'' la fonction

u — a quand on pose x = b; 3" la fonction

quand on pose x = c; 4" la fonction

quand on pose x = d, etc. Pour déterminer la valeur de ta fonction symétrique U, il suffira de diviser : i° U considéré comme fonction de k par le polynôme

( 43 ) cK — - A- + f + // + . , . 4- c -f- Z> 4- a + A ;

'2^ le reste considéré comme fonction de i par le polynôme

-i- hb -^ ha -^- . . . -\- ba -^ A{i -+- h -+- . . . + b -\- a) -^ B ;

3^ le nouveau reste considéré comme fonction de h par le polynôme

etc. Les différents restes ainsi obtenus seront indépendants, le premier de la racine k, le second de la racine i, le troisième de la racine /z, etc., et le dernier de tous sera précisément la valeur cherchée de U.

D'après ce qui a été dit ci-dessus, il semble, au premier abord,

qu'on devrait restreindre le théorème XVI au cas où les racines de

l'équation (i) sont inégales entre elles. Mais on doit observer que, en

dernière analyse, la valeur de U, déduite de ce théorème, sera une

fonction des coefficients A, B, . . . , I, K; et même une fonction entière,

puisque, dans chacun des polynômes DC, ^^ /j, . . . , le premier terme a

pour coefficient l'unité. Désignons par t) cette fonction entière. La

formule

subsistera lorsque les racines a, b, c, ..., h, i, k seront inégales, quelque petites que soient d'ailleurs les différences de ces racines. D'autre part, on pourra faire varier les coefficients A, B, . . . , I, K par degrés insensibles, et de telle manière que deux ou plusieurs de ces différences s'approchent indéfiniment de la limite zéro; et, comme la formule U = o continuera de subsister dans cette hypothèse, il est clair qu'elle sera encore vraie au moment où les différences dont il s'agit s'évanouiront, c'est-à-dire au moment où des racines de l'équation (i) deviendront égales entre elles. Donc le théorème XVI s'étend au cas même où cette équation offre des racines égales.

Il est bon d'observer encore que les polynômes d^, 5, /j, ..., a, ii'o, X sont précisément ce que deviennent les premiers membres dés

ET SUR LA THÉORIE DE L'ELIMINATION. Ui

équations (2) présentées sous les formes

\ H — ah — ac — . . .^ ai— ak — bc — ... — bi — bk — . . . — ik =z o.

I ±1 ( abc . . . / + abc . . . k + . . .-\- bc . . .ik) ■=^ o, K qi abc . . .ik = o,

quand on substitue dans la seconde la valeur de k tirée de la première, dans la troisième les valeurs de k et de i tirées des deux premières, dans la quatrième les valeurs de k, i, h tirées des trois premières, etc. Ainsi, en particulier, si l'on suppose x = ^, les équations (4^) deviendront

1A-Jra-{-b + c-hd=zo, il — (ab -+ ac + ad -^ bc -+- bd -\- cd) = o,

G -h abc H- abd -h acd H- bcd zzz o,

C — abcd z:^ o; et l'on tirera de ces équations, en opérant comme on vient de le dire.

\ B -{- A{a ^ b -{- c) + a- -\- b- -h c- -\- ab -\- ac -h bc = o,

lC+'[i{a-hb) + A{a^-}-ab-^b^)-ha'-ha'-b-hab--hb'—-o,

\ D -(- Ca -v- Ra- -H Art'H- a^==o.

Or les premiers membres des formules (47) se réduisent évidemment aux polynômes (3o), (3i), (32) et (33). Ajoutons que, au lieu de diviser successivement la fonction symétrique U par les polynômes

on peut éliminer l'une après l'autre les lettres X-, i\ h, ..., c, ù, a de cette même fonction à l'aide des formules

( 48 ) cK = o, c") rr o, ,'j = O, . . . , S =: O, Hl) ~ O, ,^1, — : <>.

OU, ce qui revient au même, à l'aide des formules (4^)-

1i2 SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

Pour montrer une application des principes que nous venons d'élablir, prenons

(49) \} = b''c+bc''+c^-a + ca^-ha^-b-\-ab^,

a, h, c étant les trois racines de l'équation (i6) que nous réduirons à

(50) ^^+ Ba:4- C=:o,

en supposant, pour abréger, A = o. Alors, pour déterminer la valeur de la fonction symétrique U, il faudra diviser successivement le second membre de l'équation (49) par les polynômes (20), (21), (22), ou plutôt par les suivants

(5i) c ^ b -\- a, Z>^+ aÔH- a-+B, a^+Ba + C,

considérés, le premier comme fonction de c, le second comme fonction de h, le troisième comme fonction de a. En d'autres termes, il fiuidra poser, dans l'équation (49) •* t°

(54) ai+^a=—C.

Or, en opérant de cette manière, on trouvera

(55) \] = ^ab{a-^ b)=—?>a{a'-+\i) = 2>C. On aura donc

(56) b^c -\- bc-'A- c^a+ ca^-A- a^'b '\- ab^=?>C, ■ '

ce qui est exact.

Prenons encore

(57) U = (a + /^)(a + c) (a +rf)(6 + c)(^ + ^)(c + <i),

a, h, c, r/ étant les quatre racines de l'équation (2G) que nous rédui-

rons a

^'*+B^2+Cj:-f-I)

en supposant, pour abréger, A = o. Alors, pour (iéterminer la valeur de la fonction symétrique U, il faudra diviser successivement le second membre de l'équation (jy) par les polynômes (3o), (3i), (32), (33), ou plutôt par les suivants

cl-\- c + h -^^ a, c- H- ( ^ + «) c -\- h- -+- ab -\- a- -~- \i ,

I b"^ + ab- -\- a- b + a^ -^ W {a

C, a'*-]^\ia''+(:a +h.

considérés, le premier comme fonction de d, le second comme fonction de c, le troisième comme fonction de b, le quatrième comme fonction de a. En d'autres termes, il faudra éliminer successivement de l'équa- (ion (jy) les quatre lettres d, c, h, a, à l'aide des formules

c- 4- ^- + rt- H- Z>c + ca + (7& + B == o,

Or, en opérant ainsi, on trouvera

On aura donc

(62) {^a + b){a + c){a-^d){b + c){b-^ d) (c-hd)—— O;

ce qui est exact. Nous remarquerons que, dans cet exemple, l'opération se termine après la troisième division, en sorte qu'on est dispensé de recourir à la dernière des formules (Oo). Des simpliticalions du même genre se présentent dans un grand nombre de cas, et il [)ent même arriver (jue l'opération se termine après la premii're on la seconde division. Ainsi, en particulier, si l'on suppose

iU SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

a, h, c, . . ., h, i, k étant les racines de l'équation (i), il suffira do diviser successivement U par les polynômes (43) et (44)» ou, ce qui revient au même, d'éliminer les deux lettres k et i de la fonction U à l'aide des deux formules

pour obtenir la valeur de cette fonction. On trouvera, en etfel,

U = «2 ^ //- + c- + . . . + A- + i^ + ( A + « 4- ^> + c + . . . H- /i 4- 0^ — A^+'iC--) — R):=A^-2R,

et, par conséquent,

(65) a-''+b--^c'- + ...+ li^-\- r-+ /f-r= A^— 2R;

ce qui est exact.

Le produit des carrés des différences entre les racines de l'équation (i), combinées deux à deux de toutes les manières possibles, est évidemment une fonction symétrique de ces racines. Or il est facile de déterminer la valeur de cette fonction par les méthodes ci-dessus développées. En effet, supposons d'abord ji — i, et

a, h étant les deux racines de l'équation (ii). Alors, pour détermin<>r U, il suffira d'éliminer successivement de la formule (GG) les deux lettres « et ^ à l'aide des deux équations

(67) j)^a + K — o, rt2+A«-(-B = o. Or on trouvera ainsi

(68) U = (2« + A)^=:A2+4(a2 + Aa) = A^— 4R. On aura donc

(69) {a-by-z^k'--^\l;

ce qui est exact.

ET SUR L\ THEOHIE DE L ELIMINATION. li.ï

Supposons, en second lieu, n = 3 et

(70) [] = {a— Of{a—cY{f} — c)K

Comme b et c seront les deux racines de l'équation (19), on aura identiquement

(71) (.c — h) {^ — c)=z .r-4- {a -+- A).r + a^-+- \a -+- H e(, par suite,

j)uis on (conclura de la formule (()9), en y remplaçant : j" a et h [)ar h et c; 2" A et B par a + A et a'- -h Xa -+- B,

(78) {h — c)2= (a + A)^— 4(a'+ A« + B) = A^- 4 \\ — iS.a- 3«^

Cela posé, la formule (70) donnera

(74) U = (3a-^+2A« + B)2(A2— 4H -iîArt — 3«^).

Si, maintenant, on divise le second membre de l'équation (74) pjn' !<'

polvnùme

«^+ A«2 4 nrt4(;,

le reste sera indépendant de a et offrira la valeur cherchée de l". On peut aussi obtenir cette valeur, en éliminant la lettre a de la formule (74)» îi l'aide de l'équation

(17) «•'+ Aa^+ Hrt + C — o.

Or, en ayant égard à l'équation (17), on trouvera

(3«-^4- 2Aa + B)-'=: (A^— 3B)a2+ (AB - (jC)^ + B^'— 3A(:

cl, j)ar suite,

(70) i: = [ir— 3AC 4- (AB - 9C)a -h (A^— 3B)a^] ( A^— 4B — i.Ka - 3^/-);

puis, en développant le second membre de la formule (7")), et remplaçant r/ ' par — Art" — \\a — (], «* par

— Aa^»— Hrt^— Ca = (A-^— B)a*+(AB — C)rt-+-AC

OEiwres de T. — S. II. l. IX. I9

ou, ce qui revient stru même, a" par AC, «' par — C, a^ et a par zéro, on aura

; u--r:(R2-3AC)(A2-4B) + (AB-9C)3C-AC(A2-3R) ^ I =:A^R- — 4A^C-4B3-27C2+i8ARC.

On trouvera donc définitivement

(^^) (a by {a - cy-{b — cy- = \.-w — ^k.^c — 4B'— 27C2 + iSABC.

Dans le cas particulier où l'on a A = o, l'équation (73) se réduit à U = (3Ra2+9Ca — B2)(3a2H-4B);

puis on en tire, en développant le second membre, et remplaçante^ par — C, a, a} et a" par zéro,

OU, ce qui revient au même,

(79) {a—by{a — cy{b — cy — — (^^^'—1-)0.

Cette dernière équation détermine le produit du carré des différences entre les racines de l'équation (5o). On peut d'ailleurs très aisémeni revenir de la formule (79) à la formule (77V En effet, si, dans l'équation (16), on pose

elle deviendra

, /t. A^X ^ RA 2A5

Or, les racines de cette dernière étant évidemment «+3-' ^^+3^'

<?-+- -7» le produit des carrés des différences entre ces racines sera

toujours

{a — by{a — cy{b — cy;

et, comme l'équation (81) est semblable à l'équation (5o), on tirera

do la formule (79), en remplaçant dans le second membre B par

Tj A^ , ,. ' BA 9.A^

B — -iT- ) et L par L ^ h- - — >

/ A'^\^ / R4 oA^X^

(82) {a-bria-cy(0-c)^ = -filB~^^~j ayj^C - -3- + -^ j .

Il est d'ailleurs facile de s'assurer que les formules (77) et (82) sont identiques.

Des calculs semblables à ceux qu'on vient de faire fourniraient généralement la valeur de la fonction symétrique

(83) \] = {a-hy{a — c)\..(a~iy-{a~-ky{b — cy...(b — i)^b — ky...(i-k)\

c'est-à-dire le produit des carrés des différences entre les racines a, b, c, .,., h, i, k de l'équation (i). On doit même remarquer que ce produit pourra être immédiatement exprimé en fonction de a, si l'on sait déjà former le produit des carrés des différences entre les racines d'une équation du degré n — \. En effet, comme, en divisant par x—a l'équation (i) présentée sous la forme

(84) .r«— a«4- A(^"-' — a"-') + B(a;''-2+ a''-^) +. . .+ 1(0- — «) = o, on obtient la suivante

( ^''-»-+-(a + A)j7«-2+ (a2-+ Aa-t- B)^''-' + . .. (85)

( -4-a"-i-+- A«''-2+Ba''-5 + . . .4-1=10,

dont les racines sont h, c, ..., /, k, on aura identiquement

( =::^"->4-(a + A)^«-2+ (rt^+A«-hB)^«-3-l-...+ a«-' + Aa"-*-+-Ba'»-^+...+ I

et, par suite,

^ \ =««'»-» + (n — i)Ar/''-2-+- (« — 2)Ba''-' + .. .4-1.

D'autre pari, si, étant donnée une équation du degré /t — i , on sait calculer la fonction entière des coefficients qui représente le produit

(lu carré dos différences entre les racines, on aura encore

(88) ^o — cy-...{h-~iy-{h-/c)\..{i-ky-=Y,

V désignant une fonction entière des coefficients que renferme l'équa- (ion (85), et par conséquent une fonction entière de a. Gela posé, l'équation (83) donnera

(89) U = V[na'»-i+(« — i)A«"-2+(/i — 2)Ba"-34-...+ 2Ha + l]^

Si maintenant on divise le second membre de la formule (89) par le polynôme

(5) rt"4- Aa«-» + Ba"-2 + . . . + Ha^ + !« + K,

le reste sera indépendant de a et offrira la valeur cherchée de U. On peut aussi obtenir cette valeur en éliminant la lettre a de la formule (89) à l'aide de l'équation

(90) «" + Aa"-^4-Ba"-- + . . . + lIa-^-Ia + K = o.

11 est bon d'observer que le produit des carrés des différences entre les racines de l'équation (i) ne peut s'évanouir à moins que cette équa- (ion n'admette des racines égales. Dans le cas contraire, ce produit se réduira toujours à une fonction entière des coefficients A, B, C, . . . , 1, K; par conséquent, si ces coefficients offrent des valeurs numériques entières, celle du produit en question sera elle-même un nombre entier, et, si on la désigne par 0b-, x étant une quantité positive, on aura

(91) dX^lj.

On peut encore, ii l'aide des principes que nous venons d'exposer, calculer aisément le premier membre d'une équation qui aurait pour racines les diverses valeurs d'une fonction entière des racines a, b, c, , . . , i, k de l'équation (i), puisque ce premier membre sera toujours une fonction symétrique de a, b, c, . , . , i, k. Cela posé, si l'équation (r) est du troisième ou du quatrième degré, on ramènera facilement sa résolution, dans le premier cas, à celle d'une équation

Kï SUR LA THÉOUJE DE L'ÉLIMINATION. 119

(lu troisième degré, dans le second cas, à la résolution d'une équation binôme du même degré. Supposons, par exemple, que l'équation (i), élant du quatrième degré, se réduise à la formule (58). Pour la résoudre, il suffira, comme l'on sait, de déterminer les trois valeurs que peut acquérir la fonction (a-hb — c — df lorsqu'on échange entre elles les quatre lettres a, h, c, d. Or ces trois valeurs, savoir

(92) {a-+-b — c — dy\ {a — h -\-c — d)-, {a — b — c -h dy,

seront les trois racines de l'équation auxiliaire

(93) [z — {a -\- b — c — df][z —{a ~ b + c — dy-llz — ia — b — c-}-dy'\^o,

({ui offrira pour premier membre une fonction symétrique de a, h, c, d. Désignons par

le polynôme que l'on obtient en développant ce premier membre. Le polynôme (94) et, par suite, ses trois coefficients U, V, W seront des fonctions symétriques de «, h, c, d. On trouvera d'ailleurs, en ayant égard aux formules (Go),

(9.5) ) ^[z — {a + b-c-dy-][z-{a-b^c-dY][z-{a-b-r + dy\ I =[z- ^{a + by][z - .\{a -^ cy][z - ^{b + cyi

puis on en conclura

^ V=-fi[{a-\-by-\-{a + cy'i-{b+cy]

\ =—S{c^'T-b''+a''+bc-{-ca + ab)--=Sli,

= i6[B='+4(«' + BrtM-(:a)] = i6(B--41>),

Donc l'équation auxiliaire deviendra

(99) ^» + 8Bc*+ iG(B'- /,D)^ - 64C»:=o.

loO SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUAÏIOiNS NUMÉRIQUES

Supposons cette dernière équation résolue, et désignons par z■^, Z2, z^ ses trois racines. Soient de plus u, v, w trois expressions propres ii vérifier, non seulement les formules

(102) \V^=Zi,

desquelles on tire m-ç^-(v^ — ^i^a^a = 64G% iww = ±: 8G, mais encore la condition

(io3)

UIHV=SC.

Alors, si l'on prend

(io4)

(io5)

on devra prendre aussi

(106) a — b — c-{-dr:^w,

attendu que Ton aura

et, par conséquent,

(108) {a + b — c — d) {a — b -+- c — d) {a — b — c -{- d) =: uviv.

Si maintenant on combine les formules (io4), (io5), (loG) avec la première des formules (Go), on en déduira

Observons, au reste : i^ que des valeurs de u, v, w, tirées des équations (100), (loi) et (io3), satisferont toujours à l'équation (102); 2° que ces quatre équations continueraient d'être vérifiées, si deux des valeurs dont il s'agit venaient à changer de signe. Mais alors les valeurs

(les racines a, b, c, d, déterminées par les formules (109), seraient simplement échangét^s entre elles.

§ Vil. — Sur La détermination des racines réelles d' une équation de degré quelconque.

On a vu, dans le cinquième paragraphe, comment on pouvait constater l'existence, et même déterminer les valeurs des racines réelles ou imaginaires d'une équation de degré quelconque. Toutefois, lorsqu'on calculera l'une après l'autre ces diverses racines, à l'aide de la méthode indiquée dans le paragraphe dont il s'agit, il arrivera souvent que les racines imaginaires se présenteront les premières; et comme, dans beaucoup de questions, il importe surtout de connaître les racines réelles d'équations à coefficients réels, il ne sera pas inutile d'exposer ici une méthode simple à l'aide de laquelle on puisse évaluer directement ces mêmes racines. Tel est l'objet dont nous allons maintenant nous occuper.

Soit toujours

(i) .r^H- Ajc"-' + Bo:''-*-!-. . . + I^ + K = o

l'équation proposée du degré /z. A, B, ..., l, K désignant des coefficients réels.

Soient encore a, b, c, . . . , A, i, k les racines de cette équation, et

les valeurs numériques des coefficients

D'après ce qui a été dit dans le § V, le module de chacune des racines r/, b, c, . . . , h, i, k ne pourra surpasser la racine positive x de l'équation

ni le plus grand des nombres

(3) p,-f-i, pî+i, ..., prt, + i, p«+i,

lo2 SLR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

ni le plus grand lorino de la suite

(4) nrji, {/ip,y, ..., (/ip,,i)"-', (/ip„)".

Il sera donc très facile de trouver un nombre supérieur aux modules de toutes les racines réelles de l'équation (i). Désignons par r ce même nombre. Le module de chacune des différences

sera, en vertu du théorème II, inférieur à ir; et comme leur nombre est précisément égal au nombre de combinaisons que l'on peut former avec n lettres prises deux à deux, c'est-à-dire à

si l'on met de côté l'une de ces différences, par exemple a — h, le produit de toutes les autres offrira, en vertu du théorème III (corol- Uiire I), un module inférieur à l'expression

(G) {ir) ^

D'ailleurs, on pourra aisément déterminer, par les méthodes exposées dans le § VI, le produit des carrés de toutes les différences donl il s'agit. Soit X- la valeur numérique de ce produit, 5b désignanl une quantité positive. Cette quantité sera évidemment égale au produit des modules de toutes les différences; et par suite le module ou la valeur numérique d'une seule différence a — b surpassera le quotient ((u'on obtient en divisant le nombre DL par l'expression (G). Donc, si l'on pose

A sera un nombre inférieur à la plus petite différence entre les racines réelles de l'équation (i).

Il est bon d'observer que le nombre \, déterminé parla formule (7),

no pourrait s'évanouir que dans le cas où l'équation proposée admettrait des racines égales. Nous exclurons dorénavant ce dernier cas; ce (jui sera sans inconvénient, attendu qu'on peut toujours débarrasser une équation des racines égales qui la vérifient.

Lorsque les coefficients A, B, . . . , I, K de l'équation (i) se réduisent à des nombres entiers, on a, comme nous l'avons déjà remarqué,

et par conséquent la plus petite différence entre deux racines réelles est supérieure au nombre A déterminé par la formule

Lorsque, à l'aide de la formule (7) ou (9), on a calculé un nombre A inférieur à la plus petite différence entre deux quelconques des racines de l'équation (i), il devient facile de constater l'existence de toutes les racines de cette espèce, et d'évaluer chacune d'elles avec une aj)proximation aussi grande qu'on le juge convenable. En effet, soit m le nombre entier immédiatement supérieur au rapport^- Il est clair que toutes les racines réelles de l'équation (i) seront renfermées entre les limites — inA, -\- ml, etque deux termes consécutifs de la progression arithmétique

\^—/nl, — (/n — ()A, ..., —3 A, —2 A, —A, ' o, A, 2A, 3A, ..., (m i)A, ml

m\ comprendront jamais entre eux plus d'une racine réelle. D'ailleurs, lorsque, dans le polynôme

(11) ^" + Aa;"-^ + R j:«-2 + , . . + l^ -f k,

on substitue successivement, à la place de x, deux quantités entre les- ({uelles une seule racine réelle au plus se trouve renfermée, les résultats obtenus sont de même signe ou de signes contraires; pour parler autrement, la comparaison de ces deux résultats offre une permanence de signe ou une variation de signe, suivant qu'il n'existe pas de racine

OEurres de C. — s. U,t.\\. 20

iU SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

réelle ou qu'il en existe une entre les deux quantités dont il s'agit. Par conséquent, si l'on prend les termes de la progression (lo) pour des valeurs successives de la variable x, et que l'on forme la suite des valeurs correspondantes du polynôme (ii), cette nouvelle suite offrira précisément autant de variations de signe que l'équation (i) a de racines réelles, et chacune de ces racines sera comprise entre deux valeurs consécutives de x qui, substituées dans le polynôme (i i), donneront des résultats de signes contraires. Soient ^, et a^o = ^, H- A doux semblables valeurs, et supposons

La racine réelle comprise entre a;, et x., sera évidemment renfermée entre x^ et ^, si la substitution de l au lieu de x, dans le polynôme (i i), fournit un résultat de même signe que la substitution de x., ; mais elle sera renfermée entre ^ et x., dans le cas contraire. On pourra donc remplacer les limites x^, x.,, qui diffèrent entre elles de la quantité A, par les limites ^^ et ^ ou l et x.,, qui différeront entre elles de la quantité ^A. En continuant de la même manière, on finira par resserrer une quelconque des racines réelles entre deux limites dont la différence, représentée par un terme de la progression géométrique

sera aussi petite qu'on le voudra; et par conséquent on pourra calculer cette racine avec une approximation aussi grande qu'on le jugera convenable.

Il est bon d'observer que, dans la progression (lo), on pourrait sans inconvénient remplacer la valeur de A, tirée de la formule (7) ou (9), par une valeur plus petite.

Pour montrer une application de la méthode que nous venons d'exposer, considérons l'équation

(l4) ^"^ — 2.r — 5=ro,

traitée par Lagrange et plus anciennement par Newton. On aura, dans ce cas,

et l'équation (2), réduite à

offrira une racine positive t inférieure à y/j, puisque, en supposant ï <C V^^' on trouverait

Donc chacune des racines de l'équation (i4) aura pour module ou pour valeur numérique un nombre inférieur à

D'autre part, si l'on désigne par U le produit des carrés des différences entre les racines de l'équation (i4)» ^t par 3Z^ la valeur numérique de ce produit, on aura, en vertu de la formule (78) du sixième paragraphe,

Par suite, on tirera de l'équation (7), en prenant w = 3 et r= \'d,

Donc, si l'équation (i4) a plusieurs racines réelles, la différence entre deux de ces racines ne pourra être inférieure à l'unité. D'ailleurs, si l'on remplace A par l'unité, les différents termes de la progression (10) deviendront respectivement

et, comme les valeurs correspondantes du premier membre de l'équation (i4) seront

loG SUR LA RÉSOLUTION DES EQUATIONS NUMÉRIQUES

il est clair que l'équation (i4) offrira une seule racine réelle comprise entre les limites 2 et 3. Ajoutons que, d'après ce qui a été dit plus haut, on peut, à la limite 3, substituer le nombre 2,23G Si maintenant on resserre de plus en plus les limites entre lesquelles la racine réelle de l'équation (i\) est comprise, on trouvera

{9.2) cT = 2,0945514. .. .

H ne sera pas inutile de remarquer que, dans beaucoup de cas, on peut, à l'aide de diverses considérations, faciliter la recherche des racines réelles d'une équation donnée. Ainsi, en particulier, on conclut immédiatement des principes établis dans le paragraphe lYque l'équalion (i4) admet une racine positive, mais une seule, inférieure à s/j. D'ailleurs, en remplaçant x par —x, on tire de l'équation (i4)

(28) X^ — 2jC -\- 5 =z O,

et, comme les deux binômes

sont toujours positifs pour des valeurs positives de x, savoir, le premier tant que l'on a ^^v'2^i'4i4> ^^ le second tant que l'on a .r<^2,5, il est clair que le premier membre de l'équation (23) ne pourra jamais devenir nul pour des valeurs positives de x. Donc, par suite, l'équation (i4) n'admettra point de racines négatives et n'offrira <[u'une seule racine réelle.

§ VIII. — Sur la théorie de l'élimination. Soient

(i) a;"-i- A^"-' + B.r«-2-h. . .+ Ij:- + K = o

(2) ^'«+Pj;'"-1h- Qx"'-2 + . . .-i- S.r + T =0

deux équations algébriques, la première du degré n, la seconde du

degré m. Si l'on élimine entre elles la variable x^ l'équation résultante de l'élimination exprimera la condition à laquelle les coelFicients

(3) A, B, ..., 1, K, et P, Q, ..., S, T

doivent satisfaire, pour qu'une seule et même valeur de x vérifie tout à la fois les équations (i) et (2). Soient d'ailleurs

{-\) Cl, b, ..., /, A-

les valeurs distinctes de x qui sont propres à vérifier l'équation (1). Soient, de même,

les valeurs distinctes de x qui sont propres à vérifier l'équation (2), et faisons

j {]=:{a — p){a — q)...{a — s){a — t)x{b—p){b — rj). . .{b^s) {b — l) x . . . ^ ^ 1 x(/.-/.)(A-V)...(A-5)(/.-0.

Pour que les équations (1) et (2) subsistent simultanément, il sera nécessaire et il suffira que l'un des facteurs du produit U s'évanouisse, ou, en d'autres termes, que ce produit lui-même se réduise à zéro. Donc l'équation de condition

pourra être substituée à celle que produirait l'élimination de x entre les équations (i) et (2). J'ajoute que, si chacune de ces dernières offre seulement des racines inégales, il sera facile de transformer le produit

U en une fonction entière des coefficients A, B, . . . , l, K; P, Q S,

T. C'est ce que l'on démontrera sans peine à l'aide des considérations suivantes.

Les racines de l'équation (2) étant inégales entre elles et représentées par/?, q, . . . , .9, /, on aura identiquement

(8) {x—p) (x — 7) . . . (.r — s) (a- — 0 — ^"' + P jr"'-'4- Qo-'''-^ -+-... 4- S .r -t- T.

ol, par suite,

1{a — p){a — q)...{a— s) {a — t) = a'" + P «'«-»+ Q «'«-^ + . . . + S a + T, (/^ ^) (/^ ^) . . .(^ s) {b — t) = b'" + P^'"-i+ Q ^>"'"2+ . . . + SZ; +T, > (A- — y^) {k —q)... {k — s) {k — t) = A'» + p /v'«-'4- Q A'"-2 + . . . + S A- + T.

Cela posé, la formule (6) donnera

f U = (a'"+Pa'«-'+Qa'"-2 + . ..+ Sa + T)

D'ailleurs, les racines de l'équation (i) étant supposées inégales, le second membre de la formule (lo) sera évidemment une fonction symétrique de ces racines, qui pourra être transformée par la méthode exposée dans le paragraphe précédent en une fonction entière des coefficients A, B, . . . , I, K et P, Q, . . . , S, T.

On arriverait encore aux mêmes conclusions en observant que la valeur de U, donnée par l'équation (6), peut s'écrire comme il suit :

f U == (-1)"- {p ~a){p-b)...{p-~ i) ip ~ A)

Or, si chacune des équations (i) et (2) n'offre que des racines inégales, on aura identiquement

(12) {:c — a){x—b). ..(a: — f)(^' — A') = ^« + A^"-'+Bj7''-2 + . + i^^|k,

puis on en conclura

l{p — a){p — b)...{p — i) {p — A) =/)" + A/y'-'+ 0/?"-=' -f- . . . + 1/? + K, , o, (^-a)(9-6)...(<7-0(^-A-) = ^"+Ar'-'+B7«-2 + ...4-I^ + K,

ot la valeur de U, réduite à

U = (— I )'"" (/?" + Xp"-^ -+- Bp"-- + . . . + I/j -h K ) (i4'

X (z" + Ar-' +Bi"-2 +...+ I< + K),

pourra être facilement transformée par la méthode ci-dessus mentionnée en une fonction entière des coefficients A, B, . . . , I, K; P, Q, . . . , S, T.

Si les équations (i) et (2) offraient des racines égales, il serait facile de les en débarrasser et de les remplacer par deux équations nouvelles, dont chacune aurait pour racines les valeurs distinctes de x propres à vérifier l'équation (i) ou l'équation (2). Alors le premier membre de l'équation (7) pourrait être transformé en une fonction entière des coefficients renfermés dans les deux nouvelles équations. Ajoutons que, si, dans la même hypothèse, on désigne par a, b, . .., i, k et par p, q, . .., s, t, non plus les valeurs distinctes propres à vérifier l'équation (1) ou l'équation (2), mais les racines égales ou inégales des équations (i) et (2), on pourra encore substituer l'équation (7)3 celle que produirait l'élimination de x entre les deux premières, et transformer le produit U en une fonction entière des coefficients A, B, . . . , I,K;P,Q,...,S,T.

Considérons maintenant deux équations algébriques dont les premiers membres soient des fonctions entières des deux variables œ et j, et supposons que la somme des exposants de ces variables soit égale ou inférieure au nombre n dans chaque terme de la première fonction, au nombre m dans chaque terme de la seconde. /^ et m seront les degrés des deux fonctions, et si chacune d'elles renferme tous les termes qu'elle peut contenir, les équations proposées seront ce qu'on nomme des équations complètes du degré n et du degré m. Cela posé, si l'on divise la première équation par le coefficient constant de x", et la seconde par le coefficient constant de x^, elles se présenteront sous

l(*s formes

(i) ^" + A^'»-' + Rj?"-2-i-. . ,+ I^ + K = o,

A, B, . .., I, K désignant des fonctions entières de r dont les degrés seront respectivement égaux aux nombres 1, 2, . . ., n — i, n, et V, Q, . . . , S, T d'autres fonctions entières de j dont les degrés seront respectivement égaux aux nombres i, 2, . . ., m — 1, m. Concevons ii présent que l'on cherche les divers systèmes de valeurs de x et de y propres à vérifier simultanément les équations (i) et (2). Il est clair (jue, dans chacun de ces systèmes, la valeur de y sera nécessairement une racine de l'équation (7), U désignant une fonction entière des coefficients A, B, . . . , I, K; P, Q, . . . , S, T, et par conséquent une fonction entière de r, savoir celle dans laquelle peut se transformer le second membre de la formule (10), quand on représente par a, h, ... , i, k les racines égales ou inégales de l'équation (i). D'ailleurs, pour opérer la transformation dont il s'agit, il suffira, conformément au théorème XVI, de diviser successivement le second membre de la formule (to), considéré comme fonction de k, par le polynôme

puis le reste, considéré comme fonction de i, par le polynôme

La fonction U étant ainsi déterminée, toutes les valeurs de / qui permettront de vérifier simultanément les équations (i) et (2) devront satisfaire à l'équation (7).

11 est facile de s'assurer que la fonction entière de y, désignée par U, est d'un degré inférieur ou tout au plus égal à mn. En effet, comme les degrés des fonctions

sont représentés par les nombres

I, 2, ..., n — i, n; i, 2, ..., jh—i, m,

les valeurs des rapports

resteront finies pour des valeurs infinies de j, et l'on pourra en dire autant des valeurs de z propres à vérifier les deux équations

c'est-à-dire des rapports

Donc le produit

( f- - ^ïï-

qui, en vertu de la formule (6), sera équivalent au rapport

conservera lui-même une valeur finie pour des valeurs infinies de y; ce qui exige que le degré de la fonction de 7, désignée par U, ne surpasse pas mn. On se trouve ainsi ramené à un théorème connu, et que l'on peut énoncer comme il suit :

TnÉORKME XVII. — Étant données deux équations algébriques en x et y, l'une du degré n, i autre du degré m, on peut en déduire, par l'élimination de X, une équation en y dont le degré soit tout au plus égal au produit mn.

OEuvresde C. — S. \\,X. IX.