OX
Ôx ùy
à' Ko ^ dx ôy
Aî -r AI y
ôy- ôx ôy
Ôx*
^'i^ôj^^'"^^-'^S^-
ôx ôy^
[Zo+^(5
et les équations (5o), (5i) se réduiront aux suivantes :
r(?F, ôB
cos a + -^i h- -T—
p(Y. + f?)]cosP=o.
Les diverses formules que nous venons d'établir se simplifient, lorsqu'on suppose la plaque élastique extraite d'un corps solide qui offrait trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes des oo,y, z. Alors les coefficients u, v, w, u', v', \v', u", v", w" s'évanouissent,*etles formules (2G), (27), (28), (29), (3o), (3i), (82) se réduisent à
(07) arr: a ;
r = f, ÎJ = o,
vo =z o.
Alors aussi ou tire des formules ('^9)
e d'co cl doo P c dj:.- c df c
Par suite, les valeurs de A„, By, Fo, A,, B,, F,, déterminées à l'aide des équations (3'i), (4 r), deviennent
|A.= l[(ae-c.)| + (fc-de)|=-Pe], B.= i[(rc-dc)§+(l,c-a')|?-lM],
(Go)
or
Bi = --|(fc-de)-^"-h(bc- d^)^"] c I 0-^ Oj- J
et les formules (4^), (43) donnent, pour un point quelconque de la plaque élastique.
c ôx'' oy^
d-r\o bc— »d^c)-Y)„ afc — de d'^l^ Ôjc'^ c dj^ c ôx dy
pYo =
Quant aux conditions qui devront être vérifiées, dans riiypothèsc admise, pour les points situés sur le contour de la surface moyenne, on les obtiendra immédiatement, si Ic^k bords de la plaque sont libres, en substituant les valeurs de Ao, B^,, Fq, A,, B,, F, dans les formules (44 ). (4^), (5(>), et elles coïncideront, si les bords de la plaque deviennent fixes, avec les formules (47) et (55).
On peut encore remarquer Ja forme que prennent les équations (42) et (54) dans le cas où l'on suppose la force accélératrice 9 et les pressions P, (£ réduites ii zéro. Alors ces équations deviennent respectivement
âx' dx dy dy' âx'' ^ ^ ' ôx dy dy' ^ df
dx^ ^ àxdy^ ây' ^ dx^ ^ ^^ dxdy^ dy^ "^ df'
On voit par ce qui précède comment les variations de l'élasticité influent sur la forme des équations qui déterminent les mouvements d'une plaque élastique. Les formules qu'on avait obtenues en supposant que l'élasticité restait la même dans tous les sens ne renfermaient qu'un seul coefficient dépendant de la nature de la plaque. Mais cette supposition ne s'accorde pas avec les phénomènes observés par les physiciens; et, pour obtenir des résultats comparables à l'expérience, il faudra généralement recourir aux formules (42), (54), (64), etc., après avoir déterminé les six coefficients qu'elles renferment, et qui tiennent la place des quinze coefficients compris dans les équations générales du mouvement d'un corps élastique.
