COS

sera encore infiniment petit pour des valeurs infiniment petites de -,

choisies de manière que les modules correspondants de - difTerent

sensiblement de ceux des expressions (i5). Mais ce même produit cessera de s'évanouir et deviendra généralement égal à ± /> pour des valeurs infiniment grandes de z, savoir à + b, si la partie réelle de l'exposant az est positive, et à — ^, si la partie réelle de l'exposant az est négative. Ajoutons que le produit

se réduira évidemment à zéro. Cela posé, le théorème III de la page 27/i du IF Volume ( ' ) donnera

Pour constater l'exactitude de celte dernière formule, il sulHt d'observer que les résidus partiels compris dans le résidu intégral

sont, deux \\ deux, égaux, mais affectés de signes contraires.

(•) OEuvra de Caucliy, S. II, T. VII, p. Sao.

OEuvres de C. — S. II, t. IX. 26

Supposons ontin

cos

sin -

L'équation (2) aura pour racines les valeurs de z comprises dans la série (i4) et dans la suivante :

De plus, le produit

-az

cos -

. b sin -

gaz | g-

-az

deviendra intîniment petit : i*' pour les valeurs infiniment grand<'s de z dont les modules différeront sensiblement de ceux des expressions (i4); 2" pour des valeurs infiniment petites de z, choisies de manière que les modules de ^ diffèrent sensiblement de ceux des expressions (2G). Cela posé, le théorème II de la page 218 du II*' Volume (') subsistera pour la fonction (25), en sorte qu'on aura

et, par suite,

(1) OEuvres de Cciuchf, S. II, T. VII, p. 3o5.

Si, pour abréger, on fait 'lah = r.x, la formule (29) deviendra sini|)Iement

En remplaçant dans cette dernière x par xsj — i , on en tirera

-tang — r- ylang^ + ^ tang-^ +. . .

id.) <

cot>r + ô cot 77 H- col - +

11 est bon d'observer que, pour établir directement la formule (3i ), il suffirait de prendre

ces

COS.:; \ . T.X 7TJ7

sin —

OU bien encore

1 ces — -f

(33) /(.)^i^ii!£l! 4i)!A(.)^:,

, .î i . \t.x nx i

coi{z.)- /siri = — j- (

(s)- désignant l'une quelconque des deux valeurs de / |)ropres à vérifier l'équation

En etï'et, dans l'un et l'autre cas, le théorème M de la page 2j«S du 11^ V'olume (') entraînera la formule

(35) ^((/(c))):-z:0, (') OEuvrcx de Cauchy, S. II, T. VII, p. Jo:').

(fui se réduira simplement à l'équation (3i). Remarquons d'ailleurs que, dans le cas où la fonction f(^z) est déterminée par la formule (33), cette fonction devient généralement infinie pour une valeur nulle de z. Mais comme, dans le même cas, le produit ^f(z) s'évanouit avec z, la constante précédemment désignée par A,„, et, par suite, le résidu de f{z-), relatif à z = o, doivent être censés nuls.

On pourrait faire beaucoup d'autres applications des principes cidessus exposés. Si, pour fixer les idées, on prenait successivement

„, . . sin -

I iz) cosa^ h

cos -

f, , cos -

Hz) cosaz

^^^^ -^^^-'^ V{z) ^maz ~~V

sin -

f(^), F(3) désignant deux fonctions entières de z, et la fraction ~-^

étant irréductible, on trouverait : i*^ en supposant le degré de f(:?) inférieur au degré de F(^), et la fonction F(::) non divisible, ou divisible une fois seulement par z,

2" en supposant le degré du produit z- i{z) inférieur au degré de K(^), et la fonction f(::) divisible par s,

(30) r((iM£!i^!!lI

^ <^ 1 l F(^) sina- . b

On trouverait de même : i*' en supposant le degré du produit -f(-)

inférieur au degré de F(:;), et la fonction F(::) non divisible par z,

\\ cosaz cos- / /

2.° en supposant le degré du produit z- f(z) inférieur à celui de V(z.), et la fonction f(^) divisible par z,

\ \ sina:; sin -

On obtient des résultats dignes de remarque en développant les formules (38), (39), (4o)» (4i)- Si, pour plus de simplicité, on prend

s'agit deviendront

\\z-) désignant une fonction rationnelle de z, les formules dont il

cos - ... P / / cOSrts :; ({z'-) \ \

(45) (46) et, en les développant, on trouvera

'.ab ^\4aV '\97rV 2«/> ^\4^W 'UsttV