D'UN NOMBRE FINI OU INFINI DE FACTEURS

Désignons par f(:;) une fonction entière de la variable z, et par

(i) oc, j3, y, ...

les racines réelles ou imaginaires de l'équation

La fonction f(z) pourra être présentée sous la forme

Soit d'ailleurs j: une seconde variable distincte de z. Si, dans l'éffuation (3), on pose successivement z. = o, z = x, on en tirera

(5) [(^jc),=,k{x-^x){x-^){x-y)...;

puis, en divisant la formule (5) par la formule (4), et admettant qu'aucune des racines a, ^, y, ... ne soit égale à zéro, on trouvera

,^^ f(.*') / oc\ ( x\ ( X

Soient maintenant Y( z) une nouvelle fonction entière de z, et

(7) ^•' F-f '•'> ••• les racines de l'équation

En supposant qu'aucune de ces racines ne s'évanouisse, on trouvera encore

Il y a plus : si, dans la fornnule (6), on remplace successivement la variable X par les rapports -,-,-, • • • , on en tirera

fif

il)

'- vx)\'- ji.)y- f,.

et, par suite,

^ \ I oc

De même, si, dans la formule (9), on remplace successivement la va-

riahle œ par les rapports -' g ' r' ' " ' ' ^n en tirera

*^(o) V y>J\ yN\ V

et, par suite,

' <r) Ki) n^

XI r

V yv-J \

Donc, attendu que les seconds membres des formules (ii) et(r3) sont composés des mêmes facteurs, on aura définitivement

Cette dernière formule, de laquelle il résulte que les deux produits

f(o) IXo) f(o)

Ff^JF^U'-"

peuvent être transformés l'un dans l'autre, se déduit aisément du calcul des résidus, ainsi que nous allons le faire voir.

Supposons d'abord, pour plus de commodité, qu'aucune des équa-

lions (2) et (8) n'offre de riicincs égales. Faisons d'ailleurs

fl-^] f^\ f^*^

f(o) f(o) f(o) et

,jlil<i)!(i)

Si la valeur de x est assez rapprochée de zéro pour que la partie réelle de chacun des rapports

reste positive, et que les coefficients de y — •> dans les logarithmes de ces rapports, fournissent une somme renfermée entre les limites — -1

-f- -, on tirera de la formule (i5)

Ajoutons que, dans tous les cas possihles, on trouvera

le douhle signe ± devant être réduit, dans chaque logarithme, au signe -h ou au signe — suivant que la fonction, placée à la suite de ce douhle signe, offrira pour partie réelle une quantité positive ou négative, et ± «désignant une quantité entière convenablement choisie. Si maintenant on différentic, par rapport à r, les deux membres de la

(') On clahlit sans peine la formule (18) à l'aide des principes exposés dans ï Analyse algébrique, Cliap. IX ('^).

(«1 OEui'ies de Cttiichy, S. Il, T. III.

formule (17) ou (18), on en conclura

^ f'dj r( - ) f'( -

On trouvera de même

D'ailleurs le second membre de la formule (19) peut être représenté par l'une quelconque des deux expressions équivalentes

^ ' <^Z JX\ ((F(3)))' C^Z

^\ ((F(s))) <^z ï{z) /Vp/o^

dont on obtient la dernière en remplaçant dans la première z par -

ci'-''

ot multipliant la fonction sous le signe J^ par ,. = — — , conformément aux règles tracées dans le premier Volume (p. 1G7 et suiv.) (') pour le changement de variable indépendante dans le calcul des résidus. De même, le second membre de la formule (20) peut être représenté par l'une quelconque des deux expressions équivalentes

ri'^À .., . f^^

p I \z) i^z) çi ¥\z)

^"'^ C.Z p/x\ ((!•(:.)))' <^'z Y{z) hJœ

Cela posé, on tirera des formules (19) et (20)

^^"^^ V dx Q dx ~^z Jx\ (X>^^z))) ^z \<{z) nj^\\\ (») OEuvrcs de Cauchy, S. II, T. VI, p. 210 el Suiv.

ou, plus simplement,

^^^^ P dx Q dx ^

attendu que la fraction

ne deviendra pas infinie pour une valeur nulle de z-. EfTectivement, si l'on nomme m le degré de la fonction entière f( - ), la fraction (2,11) pourra être considérée comme le produit des deux rapports

qui, pour des valeurs nulles de z, ou des valeurs infinies de -» se ré-

(luiront, le premier a -— = w, le second a la constante tinie pT^yr*

D'un autre côté, comme des valeurs infinies de z réduiront le rappori à la constante finie -è—^^ et les expressions ( 2G ) ainsi que le produit

de la fonction (-25) et de la variable z à zéro, on aura, en vertu de la

formule (64) de la page 23 du V Volume (*),

et, par suite, l'équation (24) donnera

, o V 1 r/P I dQ

^ ^ P da; Q du:

Or cette dernière, multipliée par jzdx, devient (3.) rf(|)=o;

puis, en l'intégrant à partir de ^r = o, et observant que chacune des fonctions P, Q se réduit à l'unité pour une valeur nulle de x, on trouve

ou, ce qui revient au même,

La formule (i4) ainsi établie, dans le cas où les racines

sont toutes distinctes les unes des autres, subsistera évidemment quelque petites que soient les différences de ces mêmes racines, et par conséquent elle continuera de subsister dans le cas même ou plusieurs de ces racines deviendraient égales entre elles.

Si l'on désignait par ^ une valeur particulière de la variable x, on

(') CEuvres de Caiwhj, S. II, T. VI, p. 36.

tirerait do la formulo ( i4), en posant x = 1,

f,.)f(i^fm Y(^)Fa)Fa

f(o) f(o) f(o) - F(o) F(o) F(o) puis, en divisant la formule (i4) par la formule (33), on trouverait