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Concevons à présent que les fonctions f(^), f(^-) cessent d'être entières. Mais admettons qu'elles restent finies et continues, ainsi que leurs dérivées des divers ordres pour toutes les valeurs finies de z. Supposons d'ailleurs : i" que, pour chacune des deux équations
(35) Hz)=o,
les racines différentes de zéro soient inégales entre elles; 2'' que, parmi les mêmes Tacines, celles qui off^rent des modules inférieurs à une limite finie R soient en nombre fini, et représentées, pour l'équation (3,")), par
pour l'équation (3G), par
Si l'on prend
la fonction o{x) restera évidemment finie et continue pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de .r qui offriront des modules infé-
CEuvres de C. — S. M, l. IX. 0,8
X ^ ap.,
X =z av,
X = yl,
X = yix,
X — yv, »
rieurs à R. En effet, parmi ces valeurs de x, celles que renferme la suite
seront les seules qui puissent rendre infinies quelques-unes des fractions comprises dans le second membre de la formule (ig), en faisant évanouir leurs dénominateurs. D'ailleurs, pour chacune de ces valeurs, deux fractions deviendront infinies simultanément, mais leur différence restera finie. Ainsi, par exemple, pour x = oCk, les deux fractions
deviendront infinies en même temps. Mais leur différence ou le rapport
Kf)<^)-^'(-:)^(j
iî
conservera une valeur finie, qui, en vertu d'un théorème connu de Calcul infinitésimal, sera la même que celle du rapport
^•(f)K-:)-^K-:)Kf
.f'if F'î
et, par conséquent, égale à
un 1 fi r-(a) T F^(^)]
^^^' 2 LX l'(a) a F'(À)J'
Cela posé, faisons
^ désignant une valeur particulière de la variable x. La fonction '|(a^), ainsi que o(a^), restera finie et continue pour toutes les valeurs de x dont le module sera inférieur à l'unité ; et l'on aura, pour x = '^,
De plus, la formule (45) donnera généralement
ou, ce qui revient au même.
■■fo{x)
Ainsi, la fonction de x, représentée par j ou ']^(x), devra remplir la double condition de se réduire à l'unité pour ^ = ^, et de vérifier, quel que soit iT, l'équation diff'érentielle linéaire (4?) ou (4^)- Or, cette équation n'admettant pas d'intégrale singulière, la double condition dont il s'agit sera remplie tant que les modules de ^ et de x resteront inférieurs à II. Donc, puisqu'on vérifie encore cette double condition en prenant
les valeurs de j, fournies par les équations (4 >) et (49)» seront nécessairement identiques, en sorte qu'on aura, pour toutes les valeurs de X et de ^ dont le module ne surpassera pas R,
iï) il) '{^) K^) '{P '"'
ou, ce qui roviont au même,
(X) djc
Si, clans la dernière formule, on pose H = o, elle donnera
'^ ^ f(o) r(o) IXo) F(o) F(o) F(o)
Désignons maintenant par/(^) une fonction semblable à celle qui est renfermée sous le signe ^ dans la formule (29), en sorte que l'on ait
.-f(fJF(.^)
Supposons, de plus, que la fonction (53) ouy'(^) puisse être décomposée en deux parties, dont la première soit la somme de plusieurs termes réciproquement proportionnels à des puissances entières de r-, et dont la seconde, multipliée par z-, fournisse un produit qui s'évanouisse pour certaines valeurs infiniment petites de .:■. Si, en attribuant au module r de la variable z des valeurs infiniment grandes, on peut les choisir de manière que l'une des fonctions
(54) zf{z)^
devienne sensiblement égale à une expression déterminée ^, quel que soit d'ailleurs le rapport -» ou du moins de manière que l'une des dif-
férences
reste toujours finie ou infiniment petite, et ne cesse d'être intiniinent petite, en demeurant finie, que dans le voisinage de certaines valeurs
particulières du rapport -; alors, en vertu du théorème énoncé à la page 274 du 11*^ Volume ('), et des principes établis dans l'article précédent, on aura
ou, ce qui revient au même.
pourvu que l'on réduise le résidu intégral compris dans l'équation (58) ou (39) à sa valeur principale. Si d'ailleurs on attribue au nombre ci-dessus désigné par R une valeur infinie, les séries (37) et (38) renfermeront toutes les racines des équations (35), (3G), ou du moins toutes celles qui ne se réduiront pas à zéro. Alors, en supposant ces mêmes racines rangées d'après l'ordre de grandeur de leurs modules, et désignant par
le résidu partiel de /(z) relatif à z - o, en sorte (jue — représente le
( ' ) CEuvres de Cauc/ij, S. 11. T. VIL p. iio.
terme réciproquement proportionnel à z dans la fonction f{z), on trouvera
puis, en combinant l'équation (62) avec les formules (59) et (30), on en conclura
Donc, si, dans le produit
>■/ V^/ Ali V«/ V{5/ \y
(iZ){(-)r(-) Yf^AFd) F(^
on fait entrer toutes les fractions de la forme
'■(?) Kl)
;^.- ou — ^ —
et correspondantes à celles des racines a, [5l, y, . . . , A, a, v, ... qui
offrent des modules inférieurs au nombre R, il suffira d'attribuer à R des valeurs de plus en plus grandes, pour que le produit (Gj) converge vers une limite finie équivalente à l'expression
\)dx
et l'on obtiendra la formule (64), en considérant le premier membre de cette formule comme composé d'une infinité de facteurs. On aura par suite
^,.^ iS'iîï^Ê Kl) !© !(!) X''-'-
Jusqu'ici nous avons supposé que, pour chacune des équations (35), (36), les racines différentes de zéro étaient inégales entre elles. Mais la démonstration que nous avons donnée de la formule (64) ou (67) peut être facilement étendue au cas même où les équations dont il s'agit offriraient des racines égales qui ne seraient pas nulles. Supposons, par exemple, que n racines de l'équation (36) deviennent égales à T., en sorte qu'on ait, non seulement
mais encore
La somme des fractions correspondantes à ces racines dans le second membre de la formule (39) sera
et la somme des termes qui, dans ce second membre, deviendront
infinis pour x = yX se réduira simplement à
D'ailleurs, si l'on pose
£ désignant une variable infiniment petite, et si l'on développe les deux expressions
suivant les puissances ascendantes de £, en ayant égard aux équations (68), (G9), il suffira de négliger dans les développements obtenus les termes infiniment petits pour réduire ces développements aux deux binômes
Donc, pour £ = o, ou, ce qui revient au même, pour x =^ aX, l'expression (71) sera équivalente à la différence des binômes (74)» c'està-dire à
^^ ' Li-2 >.f\a) «(/« + !) aF("'(>oJ*
Il est aisé d'en conclure que la fonction ^(j?), déterminée par la formule (39), restera encore finie et continue pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x qui offriront des modules inférieurs à R. D'un autre côté, il suit des principes établis à la page 3^^ du 1*" Volume (' )
(1) CEia'res de C catch y, S. II. T. VL p. 402.
que, dans le cas où n racines de l'équation (3G) deviennent égales à A, le résidu partiel de la fonction
correspondant à la valeur X de z, est précisément l'expression (70). Donc l'équation (Gi), ou plutôt celle qui la remplacera, se réduira encore à l'équation ((32), et, en la combinant avec les formules (5o), (59), (G2), on retrouvera les équations (03), (64), (G7). Seulement, dans le premier membre de l'équation (64) ou (67), n fractions égales correspondront aux racines dont X désignera la valeur commune, et le produit de ces n fractions sera
En résumé, l'on peut énoncer la proposition suivante :
Théorème I. — Soient f(^), F(^) deux fonctions de z qui restent finies et continues, ainsi que leurs dérivées des divers ordres, pour toutes les valeurs finies de z. Supposons d'ailleurs que ion ail
et que celles de ces racines qui différent de zéro, étant rangées d'après i ordre de grandeur de leurs modules, soient représentées pai
pour l'équation Çi^), par
(38) À, ij., V, ...
pour l'équation (36). Admettons encore que, parmi les mêmes racines, celles dont le module reste inférieur à une limite finie R soient en nombre
OEuvres de C. — S. U, t. IX. 29
fini. Enfin, désignons par x une nouvelle variable distincte de z. Si, en attribuant au module r de la variable z des valeurs infiniment grandes, on peut les choisir de manière que l'une des expressions
devienne sensiblement égale à ujie expression déterminée §, quel que soil le rapport -, ou du moins de manière que V une des différences
reste toujours finie ou infiniment petite, et ne cesse d'être infimiment petite en demeurant finie que dans le voisinage de certaines valeurs particulières
du rapport -; si, déplus, la fonction
f(^)FV^)
zï
peut se décomposer en deux parties dont l'une soit la somme de plusieurs termes réciproquement proportionnels à des puissances entières de z, et dont l'autre s'évanouisse pour certaines valeurs infiniment petites de z; alors, en désignant par X le résidu de f(z) relatif à z = o, en sorte
(fil (m ail
et par ^ une valeur particulière de x, on trouvera
pourvu que l'on considère chacun des produits que renferme l'équation (G;) comme composé d'une infinité de facteurs.
Corollaire I. — Si, dans la formule (G7), on prend H = o, elle donnera simplement
f'fX^Xf
Cjorollaire IL — Si .f et X s'évanouissent, les formules (G7) et (78) deviendront respectivement
et
'■'f KsKf
^'^)ni)n7
f'fX^Xf
F( '^ fCII I-(-
fi|)f(|)f(£
Si, de plus, f(o) et F(o) se réduisent à l'unité, on aura simplement
observons, d'ailleurs, que X devra être censé réduit à zéro, toutes les
fois que l'expression (54) s'évanouira pour certaines valeurs infiniment petites de la variable z.
L'un des produits compris dans les deux membres de la formule (67) cesse de renfermer une infinité de facteurs, dès que l'une des fonctions f(::), F(^) devient entière. Supposons, pour fixer les idées, que la fonction f(::) soit, non seulement entière, mais du premier degré et de la forme
Alors les racines a, [3, y, ... se réduiront à une seule, savoir v, = i. De plus, les fonctions (54). (55) deviendront respectivement
et si elles conservent des valeurs finies, z étant infinie, ces valeurs seront les mêmes que celles des fonctions suivantes :
UO
Donc l'expression, représentée par éF dans le théorème 1, sera de la forme
(87) cf = -.fo
ou
.t'o désignant la limite vers laquelle convergera la fonction
ou
tandis que z deviendra infinie, et 5^, désignant la limite de la IbncUon
Knlin, dans la formule (6o), la fonction sous le signe ^sera
et ne deviendra infinie, pour des valeurs infiniment petites de z, que dans le cas où la fonction F(;:) s'évanouira pour ^ = o. Mais, dans ee dernier cas, si l'on désigne par n le nombre des racines de l'équalion (36) qui se réduiront à zéro, on aura, pour des valeurs infiniment petites de z [voiries, Leçons sur le Calcul iri/initésimal, p. 5 5 (')|,
Donc la formule (6o) donnera
et l'on aura
ou
puis on en conclura
\ — .f = - 4- .f 0 + v fu ;
(') OEuvres de Cauc/ij, S. II, T. IV.
ou
r {\~-ri)dx
(]ola posé, on obtiendra évidemment, à la place du théorème I, l'une (les propositions que je vais énoncer.
Théorème II. — Soit ¥(:■) une fonction de z qui reste finie et continue, ainsi que ses dérivées des divers ordres, pour toutes les valeurs finies de z. Supposons d'ailleurs que l'on ait résolu l'équation
et que ses racines, rangées d'après l'ordre de grandeur de leurs modules, soient représentées par
