EXTRAITE D'UN CORPS SOLIDE

DONT l'élasticité n'eST PAS LA MÊME EN TOUS SENS.

Quand une plaque élastique naturellement plane, et semblable h celle que nous avons considérée dans l'article précédent, se trouve latéralement terminée par deux surfaces cylindriques très rapprochées l'une de l'autre, elle devient ce que nous nommons une verge rectangulaire. L'axe de cette verge, qui en général est une courbe plane, se réduira simplement à une droite, si les deux surfaces cylindriques se transforment en deux plans parallèles. Supposons d'ailleurs que l'on choisisse pour plan des x^ y celui qui divise l'épaisseur de la plaque, prise dans l'état naturel, en deux parties égales, et pour axe des x l'axe de la verge. Enfin soient ii l'épaisseur primitive de la plaque, et ih la distance comprise entre les plans parallèles qui la terminent latéralement, c'est-à-dire l'épaisseur de la verge mesurée dans le plan des x,y. Les épaisseurs ih, ii seront précisément les deux côtés du rectangle qu'on obtiendra en coupant la verge par un plan perpendiculaire à son axe. D'autre part, si l'on adopte les notations et les principes exposés dans l'article précédent, les déplacements Ço» ^o relatifs à un point situé sur la surface moyenne de la plaque élastique, et mesurés parallèlement aux axes des x et y, devront, pendant le mouvement de la

2i SUR L'EQUILIBRE ET LE MOUVEMENT

plaque, acquérir des valeurs telles que les formules (20) de la page 14, savoir

et les formules (44) àc la page 18, savoir

(2) (Ao-1-It'')cosa + Focosi3 = o, Fo cosa + (Bo+ (?) cos(3 = 0,

soient vérifiées, les deux premières pour tous les points de la surface moyenne, et les deux dernières pour tous les points situés sur le contour de cette surface, A^, Fo, Bo étant des fonctions de a^, y déterminées par les équations (33) de la page iG, c'est-à-dire par les suivantes :

ôj: âf \df dx

fF„ = cf^4-^^+/^4-^)-Pu,.

Ox ôj \dy dx J

11 est essentiel de rappeler que, dans les équations (t), (2), (3), p désigne la densité de la plaque, regardée comme constante; P, ^^ les pressions supportées : i" par les plans qui terminent la plaque du côté des z positives et du côté des z négatives, 2« par les plans ou surfaces cylindriques qui la terminent latéralement; X^, ¥„ les projections algébriques sur les axes des a? et j de la force accélératrice appliquée à un point quelconque de la surface moyenne; et a, (3 les angles formés avec les demi-axes des x ai y positives par la normale élevée dans le plan des x, y sur le contour de cette surface.

Concevons maintenant que, la plaque élastique étant réduite à une verge rectangulaire, on désigne, comme dans l'article précédent, par ^, Y], 'C les déplacements parallèles aux axes d'une molécule quelconque m qui correspond, dans l'état de mouvement, aux coordonnées X, y, z; par X, Y, Z les projections algébriques de la force accélératrice appliquée à cette molécule; et par A, F, E; F, B, D; E, D, C

D'UNE VERGE RECïANG ULAIUE. 25

les projections algébriques des pressions ou tensions exercées au point (x,y,z) contre trois plans parallèles aux plans coordonnés. Soient de plus r, r' les distances comprises dans l'état de mouvement : i" entre l'axe de la verge et la droite menée par la molécule m parallèlement à l'axe des z; 2** entre la molécule m et le point de la même droite qui se trouvait primitivement renfermé dans le plan des ^, r- Enfin, supposons que l'on développe les quantités H, v^, t, X, Y, Z, A, B, C, 1), E, F, considérées comme fonctions de x, r et r', suivant les puissances ascendantes de r, r'; et joignons en conséquence à la formule

(4) ^ = to,o+^.,o/-4-;o,i/-'+i(ç2,o/'-+2£,,,/v'+>o,o/-'^)+...

toutes celles qu'on en déduit quand on y remplace la lettre ^ par l'une des lettres y], '(, X, Y, Z, A, B, C, D, E, F. Les fonctions de x et de y, désignées dans les formules (i), (2), (3) par Eo, y],,» X^, Yq, Ao, F„, B„ se confondront avec les valeurs de ^, y], X, Y, A, F, B correspondantes à r' = (). Donc elles seront données par des équations de la forme

Remarquons d'ailleurs que les deux quantités désignées par ^„ „' "^jo... dans les équations (4) et (5) sont précisément les valeurs de ^ et de y] correspondantes à un point situé sur l'axe de la verge.

En résumé, l'on voit que, pendant le mouvement d'une verge droite et rectangulaire, les déplacements ^„, y]„ d'une molécule primitivement renfermée dans le plan des x, y, et les déplacements ^«.o' ^0,0 d'un point primitivement situé sur l'axe, se déduiront des formules (i), (2), (3), (5), dont la première et les deux dernières devront être vérifiées pour tous les points de la section faite dans la verge par le plan des X, y, tandis que la seconde devra être vérifiée pour tous les points situés sur le contour de cette même section. Or les formules (i), (2),

(5) sont entièrement semblables aux formules (2), (4), (22) des

OF.uvres de C. — S. Il, t. IX. 4

pages 24G, 247, 25o du HI'^ Volume {'); et, pour tirer les unes des autres, il suffit de remplacer A, F, B, X, Y, ^, ■/] par A», Fo, Bo, X^, Y„,

^o,-^o, Ppar$,.x- = ||par^,^=:gpar^,enfin^„,^,,i„...,

■'lo' ^n 1^2' ••• par Ço,o» ^1,0' ^2,0» •••» ■'^o.o' ^1,0' ^2,0' Celaposé,

on pourra immédiatement transformer les équations qui expriment le mouvement d'une lame élastique droite et d'épaisseur constante, c'està-dire les équations (46) de la page 255 du IIP Volume (-), de manière à obtenir les équations du mouvement de la verge droite et rectangulaire qui, étant coupée par le plan des x, j, offrirait la même section que la lame élastique. En effet, pour opérer la transformation dont il s'agit, il suffira, dans les équations (46) de la page 255 du IIP Volume (^), de substituer aux quantités

so> si> Xo, Xi, Y)o, fi2, Yq, Y2, Aq, Al les quantités

^0,0» ^1,0> -?^0,0» ^1,0» 1^0, 0> 1^2,0» "^0,0» Y2,o> Ao,o, Aj^qÎ

et alors, en réduisant le polynôme

au seul terme ^ ~;)^' vis-à-vis duquel les deux autres peuvent être négligés, on trouvera

^^> -;7:;;r+pXo.o-p-:T7r-'

Il ne reste plus qu'à exprimer les quantités A^^^, A,,o» produites par le développement de A» suivant les puissances ascendantes de r, à l'aide

(') OEuores de Cauc/ij, S. 11, T. VIII, p. 290 et ?.g4.

(2) Ibid., p. 299.

(3) Ibui., p. 299.

des dérivées partielles de ^o,n» vio.o- Pour y parvenir, on observera d'abord que la section primitivement faite dans la verge par le plan des X, y était comprise entre deux droites parallèles à l'axe des x et représentée par les équations

(8) * y = -lh y^h.

Or les deux courbes, dans lesquelles ces deux droites se transforment en vertu des déplacements infiniment petits des molécules, diffèrent infiniment peu de ces mêmes droites. Donc, si l'on désigne par a, ^ les angles que forme la trace du plan normal à l'une de ces courbes sur le plan des x, y avec les demi-axes des x et y positives, on aura sensiblement, c'est-à-dire en négligeant les quantités infiniment petites,

(9) COSa = o, cospmzpi;

et les équations (2) donneront à très peu près, pour les points situés sur les courbes dont il s'agit,

(ïo) Fo=ro, Bo = -^.

De plus, comme une droite primitivement parallèle à l'axe des y, et propre à mesurer la demi-épaisseur h de la verge dans l'état naturel, changera très peu de longueur et de direction en raison des déplacements infiniment petits des molécules, il est clair que, pendant la durée du mouvement, — h, +h seront à très peu près les valeurs de r correspondantes aux deux courbes déjà mentionnées. Donc, en vertu des formules (10) réunies aux équations (3), on aura, sans erreur sensible, pour r = — A et pour r = h,

\ dx dy \dy Ox)

! d.f ôy \dy ÔJiJ

puis en substituant, dans la {)remière des équations (3\ les valeurs

des fonctions

, ^- . drio d^o , àrio

df dy ôx

tirées des formules (i i), savoir,

I ()ç„ ôrio (bro — &ii)l>-^J'r ^i—u dco

()y djc bf — i)- bc — V^ ôx

Orif) (ro — biB)P — f^^ eîi — cf r}co

dy bf — b'^ br — i'^ ôx

et faisant, pour abréger,

bf-bc rt-cf

('^) bT^rp^i^' brr^^''

abf — ab^— bc^ — ff^+2îicf ^,

(,o) ^^— ^ =pi2-,

(i6) lie — (u + kai4-it>)P = n,

on trouvera

(17) Ao=pi2^g+n.

Concevons à présent que, en ayant égard à la première des équations (5) et à l'équation analogue

(18) Ao— Ao,o+ A,,o/" + A2,o-- +• • •»

on développe les deux membres de la formule (17) suivant les puissances ascendantes de r. Si l'on y pose ensuite successivement r=i — h, r=^h, on en conclura, en négligeant les termes proportionnels au carré de A,

D'autre part, en prenant x et r pour variables indépendantes au lieu

de 00, y, et faisant

^^'^ br — b^ "" ' br-li-^ — "»

on tirera des équations (i3) réunies aux formules (i4)

^ ' dr Ox dx or ax

puis, en développant les deux membres suivant les puissances ascendantes de r, posant r—± h, et négligeant les termes de l'ordre de h, on trouvera

(23) ^M-^^^-i^-^+ii. '^''0-^-^:7 + "•

Par suite, l'équation (20) donnera

Si maintenant on substitue dans les formules (6) et (7) les valeurs de A,, „, A,,o fournies par les équations (19) et (24), on obtiendra les suivantes :