IX, V

Soit enfin x une nouvelle variable distincte de z. Si, en attribuant au module r de la variable z des valeurs infiniment grandes, on peut les choisir de manière que l'expression

devienne sensiblement égale à une constante déterminée cf,,, quel que soit le rapport \-, ou du moins de manière que la différence

reste toujours finie ou infiniment petite, et ne cesse d' être infiniment petite, en demeurant finie, que dans le voisinage de certaines valeiws particulières du rapport "; alors, en désignant par n le nombre des racines de l'équation (3G) qui se réduiront à zéro, on trouvera

lî.

USAGE DU CALCUL DES RÉSIDUS ETC. 23t

Corollaire L — Si, après avoir multiplié par F(ç) les deux membres de la formule (loo), on suppose \ infiniment petit, on aura sensiblement, dans le second membre,

(loi)

F (jj F^^)(o)

Par suite, en prenant ^ = o, on tirera de la formule (loo)

if F(«'(o)

. (102) F(a;)==^«(i-^)(i-^j(^i-fj-.-e

X / V " a / V ' V / '^ " 1 .2.3. . .« Si n se réduit à zéro ou ii l'unité, l'équation (102) donnera simplement

(io3)

F(..) = (.-f)(i-^)(i-f)----^oF(o)

F(.) = .(.-f)(.-^)(.-f)...e^'tF'(o).

Corollaire II. — Si .fo s'évanouit, les formules (100), (102), (io3) et (lo^) donneront respectivement

(io5)

Théorème IÏI. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème II. si ion peut attribuer au module r de la ixiriable z des valeurs injinimeut grandes, choisies de manière que les expressions

2LF(.-) ^ F(-c)J

I rF-(:;) V'{-z)-\ ^z\\\z) F(--)J

deviennent sensiblement égales à des constantes déterminées ^\, .f, , quelque soit le rapport - -, ou du moins de manière que les différences

restent toujours finies ou infiniment petites, et ne cessent d'être infiniment petites, en demeurant finies, que dans le voisinage de certaines valeurs particulières du rapport -: alors, en désignant par n le nombre des racines de l'équation (36) qui se réduiront à zéro, on trouvera

Corollaire I. — Si, après avoir multiplié par F(ç) les deux membres de la formule (m), on attribue à ^ une valeur infiniment petite, on trouvera

N 1-/ N F^''''(o) /■ x\ f .r\ / a'\ i , ,Tf

Lorsque n se réduit à zéro ou à l'unité, c'est-à-dire lorsque l'équation (36) n'admet pas de racines nulles, ou en admet une seulement, on tire de l'équation (112)

(ii4) F{œ) = :v(i- ^Vi-^^J ^ ^\. . . e^^\+l^'-^, F'(o).

Corollaire IL — Si ^^ et J, s'évanouissent, les équations (m), (112), (ii3), (ii4) se réduiront aux formules (io5), (106), (107), (108).

Appliquons maintenant 1rs diverses formules ci-d( ssus établies à quelques exemples.

Exemple I. — Supposons d'abord

(ii5) F(^)=:sin5.

Alors l'équation (3G), ou

(ii6) sin5 = o,

offrira une seule racine nulle et une infinité de racines réelles, les unes positives, les autres négatives, savoir

^ ^= — Tï, 5^=; — 271, ^ =: — Sri, ...;

mais elle n'admettra point de racines imaginaires [voir le P'^ Volume, p. 297 (')]. De plus, l'expression (90) s'évanouira, et l'expression (91), réduite à

deviendra infiniment petite, si l'on attribue au moduler de la variable r-

des valeurs de la forme

(2n-hi)7r (119) '•^ ^ '

n désignant un nombre entier infiniment grand. Cela posé, le tliéorème III sera évidemment applicable à la fonction Y{z) = sinr; et la formule (ii4). réduite à l'équation (108), attendu que les constantes rf,,» rf , s'évanouiront, donnera

(■20) sin. = x(,-0(,-Hf)(,-^)(,+ f-)(.-fJ(M-3i^)...

OU, ce qui revient au même,

(«) Œuvre f de Cauchy, S. II, T. VI, p. 354.

OEuvrcs de C. — S. H, t. IX. 3o

II est bon d'observer que l'on pourrait encore déduire la formule (120) ou (121) du théorème II et de l'équation (T07), en prenant F(^) = — ^•

Exemple IL — Supposons en second lieu

Alors l'équation (36), ou

(r23) cos-3 = o,

admettra une infinité de racines toutes réelles et différentes de zéro, les unes positives, les autres négatives, savoir

De plus, l'expression (90) s'évanouira, et l'expression (91), réduite à

sin2

2C0SZ

deviendra infiniment petite, si l'on attribue au module r de la variable z des valeurs de la forme

(126) r zz: mt,

n désignant un nombre entier infiniment grand. Cela posé, le théorème III sera évidemment applicable à la fonction F(^) = coss: et la formule (ii3), réduite à l'équation (107), attendu que les constantes .fo» ^t s'évanouiront, donnera

(,27) cosx= (^,- -^j (^.+ --j (^.^ 3^j (^.-^ j^j {.- ^j (.-^ 5^ OU, ce qui revient au même,

On peut, au reste, déduire la formule (127) ou (r28) de la formule (120) ou (t2i), en remplaçant x par - — ^•

Exemple III . — Soit

(129) F(^) = sins — sina,

a désignant une constante arbitrairement choisie. L'équation (36), ou

(i3o) sin;; — sina,

admettra une infinité de racines réelles, savoir

iz=:a, z= — a-^Tî, z=.a-^ir., s=: — a-+-37î, ...,

\ z= — a — TT, z =: a — 27:, ^= — a — â-n, ....

De plus, si l'on attribue au module r de la variable z des valeurs infiniment grandes, mais sensiblement distinctes de celles qui correspondent aux racines dont il s'agit, les expressions (90), (91), ou

sinacoss

(sin^ — sina) (sin^ -h sina)

sins cosz z{s\nz — sina) (sin;; H- sina)

resteront toujours finies ou infiniment petites, et la première ne cessera d'être infiniment petite, en demeurant finie, que dans le cas où le coetficient de \/'—i dans z sera sensiblement nul, et le rapport- sensiblement égal à dz i. Cela posé, le théorème III sera évidemment applicable à la fonction F(::) = sins — sin«; et la formule (i i3), réduite à l'équation (107), attendu que les constantes c^o» ^, s'évanouiront, donnera

sina ~\ aj\ T.-haJ\ v:—aj\ 27î-ha/\ 271— a/\ 37r-Ha7\ 3::— a ou, ce qui revient au même,

„^ s'ma — s'mx a — X n^ — {x -j- ay ^-n^- — {x — a)^ gn-— {a; -h oV ' sina " a 71*— a* ^n^—a* 971*— a*

Comme on aura d'ailleurs, en vertu de la formule (121),

(r36) sina=:a'^l:Zj^^J^^t9^'~-\..,

on tirera des équations ( i35) et (i36), multipliées l'une par l'autre,

(187) ^'"-^-si"^ ^ f^-ja^-^ay 471^ -(^-a)2 g^-2(,^^^)2 ^571^- (g;- a)' -^ — ^ 71^ 471^ 9Tr- 2^

On pourrait, au reste, déduire la formule (137) des équations (t2i) et (127) réunies à la suivante:

(•38) sin^ - sina = 2 sin "^ ~ "" cos ^ "^ "".

Exemple IV. — Soit encore

('^9) F(^) = cos^ — cosa.

L'équation (36), ou

('4o) C0S5 = C0Sa,

admettra une infinité de racines, savoir

^,/^,x ; z^a — 2Ti, z = a — ^yT:, - — a — 6r.,

— —a, z=z— a-\-2T., z=^ — a-h^T:, c — —« + 671, ..., ^^^ — a — 271, z =z — a — \ti, z =z — a — 67:, ....

De plus, l'expression (90) s'évanouira, et l'expression (91), réduite à

z{cosz — cosa)

deviendra infiniment petite, si l'on attribue au module r de la variable z des valeurs infiniment grandes, mais sensiblement distinctes de celles qui correspondent aux racines de l'équation (i4o). Cela posé, le théorème III sera évidemment applicable à la fonction ¥{z) = cosr- — cos<2; et la formule (ii3), réduite à l'équation (107),

attendu que les constantes .^o» ^t s'évanouiront, donnera

, ,,^ cosa-cosa^/ ^^\r __^!___ir.___fîi ir,— ^1— ir. -^^i

^'^^^ cos^a^^r -y~â^)V~ {271 - ar-\ ' (27r4-aHL (47:-«rJL (^ît + ^'H

OU, ce qui revient au même,

, ^ cosx — cosa a^—.x^ {iTz — aY—œ^ {0.71 + aY — œ^ {[^T. — ay- — x^ j^Tz^aY—.T^

^'"•■^^ 7~à "~ a^ {iTz — af {2n + af (471 — a)* {kn -\- af

2 sin*-

Comme on aura d'ailleurs, en vertu de la formule (120),

. a a 2Tt — aiTi + a^Ti — a /i^r + cf (140) sin- — ^- ■ — 7 — 7 5 «

^ ' 2 2 271 27r 47^ 4tc

on tirera des équations (i44) et (14^)

a^ — x^ (27Ï — «)^ — -r^ (27r4-(i!)^ — a?' (47r — «)^ — x^ {\ti -i- aY ~ j^^

(i46) cos^ — cosa

On pourrait, au reste, déduire la formule (i46) de l'équation (121) réunie à la suivante :

(147) cosa — cos^ = 2sm sin

Les formules (120), (127), (137), (i4^) subsistent pour des valeurs quelconques réelles ou imaginaires de la variable ao et de la constante a.

Si, dans l'équation (121), on pose successivement 37= -> ^= ^>

on obtiendra les deux formules

2 1.3 3.5 5.7 7.9 9. II II. i3

2v/2 ~ 3.5 7.9 II. i3 dont la première a été donnée par Wallis, et l'on en conclura