K \ /- I .3 5.7 9. II
(i5o) \/2= — TTli
Si, clans les formules (t2i), (128), (i4^)» on remplace x par x\J— i, on en tirera
4^- \ / LxCC- \ f [^X^
(1.02) gx+e-a:— 2 ,^ J__ j^ ^ j
V T^-JK 9^ / \ '^^'^''
(ia3) e-^ — 2C0sa + e-^ = (a^+^^) -^ — ■ ^^ -~ -^-î- ~- —!: y-^
Si, dans l'équation (120), on remplace la lettre x: 1° par a? + y y/— i; 2° par X — y\l — i , y désignant une nouvelle variable indépendante de X, les deux formules qu'on obtiendra, étant multipliées l'une par l'autre, donneront
. ... e^^"— 2 cos 2 :r + e-2r (jr — xY-^r- v^ {T.-^xY--h y^ {"^ti — xY -^ y"^ {'ir-^xV-h v'^
4 ^ -^ ' tY Tl' (27:)^ (27î)^
En opérant de la même manière, on tirera de l'équation (127)
(l^:) e''y-{-2C0S2X-he-^y {z-~:ixY^{2Xy (7T+2^)^+(2j)^ (3tc — 2:g)^+(27)^ (37r+2.Z-)^+(2j)^ ^''^'^^ 4 ^71^ TT^ (371)2 (371)2 ^
Au reste, les formules (i54) et (i5j) peuvent être aisément déduites de l'équation (i53).
Si, dans l'équation (137), on remplace : i^ x par x -\-y\l— 1 et a par a ^ bsj— i; 2" a? par x — y sj— 1 et a par a — b\l — i , les deux formules qu'on obtiendra, étant multipliées l'une par l'autre, donneront
/ [{ey+e-y) sin.a; — {e'' ^ e-*^) sinaJ^H- [{ey—e-y) cos^ — {e'' — e-'>) co^a^
, .^, \ Jï{x-ar-^{y-b)y- - ■
i (7: — x — aY-i-(r-^bY {Tz^x-ha)--^(Y + by- {■2T:~x-hay+{y—by {2T:-^x — ay^{y—ljy
En opérant de la même manière, on tirera de l'équation (i46)
/ [(gy+e-y)cos37— (e^4-e-^)cosg]^4- [(e^— g-r) sin^ — {e'^—e-'') smaf
[{x-ay-+- {y - by]J{x -f- ay-^ {y + by]
(107) / ' ('^'r.-^x — ay+{y—by {^r.—x + ay-^JY-^by {ir.—x + ay-^iy—by {2t. + x ^ ay-\- {y -\- by ^
" (271)^ (27;)- (2ny (27r) =
Dans les applications que nous venons de faire des théorèmes H et III, les constantes, précédemment désignées par ^o, .f,, s'évanouissent, et les racines de l'équation (36) sont inégales entre elles. Ces mêmes racines deviendraient égales deux à deux, de manière à coïncider avec l'une des valeurs de z comprises dans les séries
■=.— 2T., s = — 4 Tï,
rrr 671, = — ÔTT,
si l'on supposait
et alors on tirerait de la formule (io6)
3C I OC (l6o) I — C0S.2^=: — (l
OU, ce qui revient au même,
27î/ \ 'aT,) \ (\T.
I — COSO; =: — I — 7 — ;
Au reste, on déduit immédiatement l'équation (i6i) de la formule (i46) en faisant évanouir la constante a. Si l'on prenait
l'équation (36), réduite à
(i63) e-—\ ou z — \{\),
offrirait pour racines les divers logarithmes népériens de l'unité, savoir
' G :zr O, Z-=:1-K\J — I, Z^=i[\Tl\] — I, z:=i^-K\J— \ , ...,
5=— 2Trv/— '» -^ ^= — -i^TV^— I, 5=; — ÔTTy/ — I, ....
Alors aussi l'expression (90) deviendrait
et, pour faire évanouir l'expression (91), ou
iz \ e- — I
il suffirait d'attribuer au module r de la variable z des valeurs de la forme
71 étant un nombre entier infiniment grand. On trouverait donc, par suite,
(168) io~{, 3^1 = 0;
et l'on tirerait de la formule (i i4) -
e-* — i z=z oc \ 1
Au reste, on déduit immédiatement l'équation (169) de la formule (i5i), en remplaçant x par t^x.
Si l'on prenait
a désignant une constante réelle, l'équation (36), réduite à
(171) e(=+'^)'— e(=--«)'=o, serait vérifiée toutes les fois que l'on poserait
OU, ce qui revient au même,
n étant un nombre entier quelconque. Par conséquent, cette équation offrirait une racine nulle et une infinité de racines imaginaires com-
prises clans les séries
^"=^V/-'' -'^-^raV'-'' ^=^v/->,
i ^ fzz\ Vi i~zr i/zrr
'~~ ia^ ' ^ la ' "* 2a '
Do plus, l'expression (90) s'évanouirait, et l'expression (91), ou
se réduirait sensiblement à 2 pour les valeurs de z dont les modules seraient de la forme
/? désignant un nombre entier infiniment grand. On trouverait, par suite,
el l'on tirerait de la formule (i i4)
r\ ix^nv- if n\t f ( 2«.r \ / '?.ax \ ( lax \ f ia.v \
\ 7:v'— 1/ \ T.\J—\)\ iT.\f^^\)\ ii:\l—\)
/ «N ix^av- (oc nv- r ( (\a'-x''\ ( ka-x''\ ( ka^^''-\ (177) e(^+«) e(x-«) ~[^ax ^i+^L--__ \ / i + :i^ \ [\-^- — —\
il sufïit, au reste, pour obtenir l'équation (177), de remplacer, dans la formule (i5i),^ par 2a.r, et de multiplier ensuite les deu.x membres de cette formule par c'''"^'\
Les diverses formules que nous avons tirées des équations (100) et suivantes coïncident avec des formules déjà connues, ou s'en déduisent facilement. Pour obtenir des formules nouvelles, supposons maintenant
(178) F(5) =: sine — as cos^,
GEuvres de C. - S. II, t. l\. 3l
a désignant une constante réelle. L'équation (36), réduite à
(179) lang^ = a^,
offrira une racine nulle et une infinité de racines réelles, deux à deux égales, mais affectées de signes contraires {voir le P'' Volume, p. 3oo) ('). De plus, l'expression (90) s'évanouira, et, pour faire évanouir l'expression (91), ou
il suffira d'attribuer au module r de la variable z des valeurs infiniment grandes, mais sensiblement distinctes de celles qui correspondent aux racines de l'équation (179). Cela posé, si l'on désigne par ± X, ± a, ± V, ... les racines de cette équation, on aura, en vertu du théorème III et de la formule (108),
Supposons encore
(182) Y{z) — {z''-+h)€\ï\z — azZQ^z,
a, h désignant deux constantes positives, et ces constantes étant choisies de manière que l'on ait
L'équation (36), réduite à
(i8/i) ^«"S-^t/jT^'
offrira une racine nulle et une infinité de racines réelles, deux à
deux égales, mais affectées de signes contraires {voir le 1^'" Volume,
p. 3o6) (-). De plus, l'expression (90) s'évanouira, et, pour faire
évanouir l'expression (91), ou
j {a^-2.)z?,'mz-\-{z^-^b — a)Q,0'S>z ^ ' 1 {z^^b)s\nz — azco^z
(1) OEuvres de Caucliy, S. 11, T. VI, p. 338.
(2) Ibid., p. 364.
USAGE DU CALCUL DES RÉSIDUS ETC. 2i3
il sutfira d'attribuor au module r de la variable z des valeurs infiniment grandes, mais sensiblement distinctes de celles qui correspondent aux racines de l'équation (184). Cela posé, si l'on désigne par ±\, ± a, ±:v, ... les racines de cette équation, l'on aura, en vertu du théorème III et de la formule (108),
X^\l ^ \ / JC
(186) (j?"--h b) 'àhiœ — aœ cos^r -={0 — a).xl 1 — —
Supposons enfin
(187) F(^)r=(e=+e— )cos- — 2.
L'équation (3G), réduite à
(188) (e= + e-=) cos^ = 2,
offrira quatre racines nulles. De plus, comme on tirera de cette équation
(189) langl=z±
I — cos
elle admettra encore, en vertu des principes établis dans le I^'" Volume (p. 309 et 3io) ('), une infinité de racines réelles qui, prises quatre à quatre, seront de la forme
(rQo) - = Ç, s=— C, z = ^\/—i, z=~i;\J—i,
t désignant une quantité réelle. D'autre part, l'expression (90) s'évanouira, et, pour faire évanouir l'expression (91), ou
I (e^— e~~) cosz — (e=H- <?--) sin^
('90 - r-T TT— ^ »
;; (e-— e--) COS^ — 2
il suffira d'attribuer au module r de la variable z des valeurs infiniment grandes, mais sensiblement distinctes de celles qui correspondent aux racines de l'équation (188). Cela posé, si l'on désigne par dz X, d= a, ... les racines réelles de cette équation, on conclura de la formule (106),
(1) OEcH'rcs de Cauclij, S. H, T. VI, p. 36;, 368.
en posant ti = 4»
(192) 2 — (e^+ e-^) COS.3? = — ( I + -;r^
Revenons maintenant à la formule (67), et prenons pour f(^) une fonction entière du degré m, qui ne s'évanouisse pas avec la variable:;; en sorte qu'on ait
(198) f(^) ~ao^'«+ai3"'-i + «,:;'«-2 + . . . + a,„iG + «,„,
rf„, «,, ..., «,„,, a,n désignant des coefficients dont le premier et le dernier diffèrent de zéro. On trouvera
maç,x'"—'^z -\-{m — i)aiX'"~^z'^-\- . . . + 2«,„2-^^'"~* •+- '^w-i-^'
et / .. __ 1 JC
puis on en conclura, en attribuant à i: des valeurs très considérables,
1 Œiji^'^Clfii (l^,i i X
rif
Cela posé, les fonctions (54), (55) deviendront respectivement
¥'iz)
I / 2 ci,„.^2(i„i clf,l^
■)z[yTz
z) Y\~zy
et, si elles conservent des valeurs finies, z- étant infini, ces valenrs seront les mêmes que celles des fonctions suivantes :
^^9^ 2a,„LF(^) F(-^)J
2 (Zr„ z
Donc l'expression, représentée par § dans le théorènne I, sera de la forme
(87) §^-^^ ou
^0 désignant la limite vers laquelle convergera généralement la fonction
OU
(201) 1^, X + Tv T '
tandis que z deviendra infini, et §^ désignant la limite de la fonction
( ^ al,^^ — ia,n.^^.a,n \^'{z) F'(— j)")
^^^ .af„.- \V{z) F(-.)J'
Enfin, dans la formule (62), la fonction sous le signe ^ deviendra
(203) ^n;__myU-^-ç(^^
et ne pourra s'évanouir, pour :; = o, qu'autant que la fonction F(3) s'évanouira elle-même. Mais, dans ce dernier cas, si l'on désigne par n le nombre des racines de l'équation (36) qui se réduiront à zéro, on aura, pour des valeurs infiniment petites de z,
Donc, la formule^ (Gt) donnera
, -^ m p -F'(^) I mn
«'t l'on aura
j ma ■)
OU
mil ^ ^
(206) X — .)' — hJ'o+^c^l,
puis on on conclura
ou
Si, pour des valeurs infiniment grandes, mais convenablement choisies, du module r de la variable z, les expressions
^9°^ 2LF(^^F(=^.r
I rF'(^) F(-.-)-| (9') ^Lf(^)-F(=^J
s'évanouissent, on pourra en dire autant des expressions (20T), (202). Alors, les coefficients .f,,» ^k étant réduits à zéro, on tirera de la foimule (208)
(209) e"' et l'équation (67) donnera
Va;
nf;
Si maintenant on attribue à H une valeur infiniment petite, on aura
sensiblement
<^^mi
et, par suite, l'équation (210) deviendra
