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(«(3/. . .)" ri.2.3. . .ni'" /j;
^["i-^pisymî)
Lorsque la fonction F(::) ne s'évanouit pas avec z, la formule (Gi) donne simplement X = o, et l'équation (2i3) doit être remplacée par la suivante :
'^j)iî)<^
f(o) f(o) iXo)
Si, au contraire, la fonction F(^) s'évanouit avec z, mais de manière que l'équation (36) offre une seule racine égale à zéro, la formule (21 3) donnera
...... n^)nf)n7
Les diverses formules que nous venons d'obtenir supposent que la fonction entière f(::) ne devient pas nulle pour ^ = o, c'est-à-dire, en d'autres termes, que la constante
Ho) = a,
diffère de zéro. Si cette constante s'évanouissait, les expressions (200) (201), (202) deviendraient infinies, ainsi que les coefficients i^, rf, et les fractions comprises dans les premiers membres des formules (2i3), (214), (2i5). Observons d'ailleurs que, a, fl, y. ••• étant les racines
(le l'équation (35), on tirera de la formule (iqS)
et, par conséquent.
Pour montrer une application des formules qui précèdent, prenons
(ii5) F(5)=rsin;;.
Alors, ainsi qu'on l'a déjà remarqué, l'expression (90) s'évanouira, et l'expression (91) deviendra infiniment petite, si l'on attribue au module r de la variable z des valeurs de la forme r = /iT., n désignant un nombre entier infiniment grand. Cela posé, on tirera de la formule (21 5)
(219) A^ y W V^ y ^^Z...^g^---sin:^sin;sin^... ^ ^' f(o) r(o) l(o) t(o) ^'« a |3 y
ou, ce qui revient au même.
■^,20) Sin — Sin ■;3 Sin r=i—= ,-,., — rr:; ^ T^T — c^ FV; — "t^
' a [3 y, a;3y... ['(o)]^ Lf(o)]' [f(o)]'
Au reste, on peut encore déduire la formule (220) : 1° de l'équation (214), en prenant F(^) = ^^; 2° de l'équation (120) combinée avec la formule (217).
Dans le cas particulier où la fonction entière f(r.) a pour dernier terme l'unité, on trouve
et la formule (220) donne simplement
^ '^ a p y a[3y... \7r/ \ tî/ \27r/ V 271/ \37r/ \ ^t:
lsa(;e j)u calcul des résidus etc
Si, dans les formules (220) et ('^'ï)), on remplace œ par t:^, on en tirera
(.„4) !l£l!<=£]Ai
'■|-^f^-f)Kf)'(-|
aSv. . . . r.jo . T..V . T..r -^-^ sin • — SIM -A- sin
et
x\ a3y... . T.x . r.jr . r..r
T, • • •= -^-^ SMi — siii -TT- sin
Si, pour fixer les idées, on suppose
(226) f(^;) = ^'- — 9.jr COS^ -!- I,
on pourra prendre
(227) a = cos'!/ + y/— I sin&, ^ = cos5 — y/— i sin6, et l'équation (22.")) donnera
l ( I — ix"^ cos 2 {) 4- .r* )
I— 2 ( - ) cos 2 6 4- I '- I
