g 1 Y2,on
<iX,,n
3 \ JvC* ôx^ J ôt-
Les équations (25) et (2G) sont les seules qui, pendant le mouvement d'une verge élastique naturellement droite, subsistent, pour tous les points de l'axe, entre les variables indépendantes x, t, et les déplacements ^0,0' "'lo.o mesurés parallèlement au plan des Xy y. Ajoutons que, les fonctions ^0,0» ^jo,o étant supposées connues, on déterminera sans peine les valeurs approchées des pressions Ao, F„, Bo et des déplacements ^0» ^0 relatifs à un point pris au hasard dans le plan des x, y. En eflet, les équations
(27) . ^'o=Ho,o-l-Çi,o/', ■'io=Tno,o-HTni,o'".
(28) Ao = Ao,o-i- A,,o/",
réunies aux formules (19), (23) et (24), fourniront les valeurs de Ho, 7]o, Ao, aux quantités près de l'ordre de h?. Quant aux valeurs approchées de Fo, Bo, elles seront déterminées par des équations semblables aux formules (47) de la page 255 du IIP Volume ('), et que l'on déduira immédiatement de ces formules en écrivant
To» "o> 41,0» ^1,0, ^1^0» Yj^o» Aj^o 6t T
au lieu de
F, B, i„ n„ X,, Y„ A, et P.
On trouvera ainsi, en négligeant les termes proportionnels au cube
(B. = -.^-.ip(Y„.-!^»)(..-..,.
Il est maintenant facile d'établir les conditions particulières auxquelles doivent satisfaire les deux fonctions ^,,,0, y]o,o pour les points situés aux extrémités de l'axe de la verge. Effectivement, si l'on suppose la verge terminée du côté des ce positives et du côté des ce négatives par des plans perpendiculaires à l'axe, et qui supportent en chacun de leurs points une nouvelle pression désignée par |l, on aura, pour ces mêmes points,
(3o) A=-V, Frr-o;
puis, en posant dans les formules (3o) r' = o, on trouvera
(3i) Ao = -îi, Yo^o.
Entin, après avoir substitué dans ces dernières les valeurs de A„, F^, tirées des équations (28) et (29), on en conclura
(32) Ao,o = -P,
(') OEuiTcs- de Ccuichy, S. II, t. VIII, p. -299.
ou, ce qui revient au même, eu égard aux formules (19), (23), (24),
(34) î2^^» + !Lj-^^-o,
ax p
Les conditions (34) et (35) devront être remplies pour chacune des deux extrémités de la verge élastique, si ces deux extrémités sont libres. Au contraire, si ces extrémités deviennent fixes, ou plutôt, si, les extrémités de l'axe étant fixes, les points renfermés dans les plans qui terminent la verge du côté des x positives ou négatives sont assujettis de manière à n'en point sortir, on aura, pour les abscisses correspondantes aux plans dont il s'agit, non seulement
mais encore
quelles que soient les valeurs de r, r', et par conséquent (38) |,,o = o
ou, ce qui revient au même,
0<K dx
Si la verge élastique oflrait une extrémité libre et une extrémité tixe, les conditions (34), (35) devraient être vérifiées pour la première extrémité, et les conditions (3G), (37), (39) pour la seconde.
Les équations et conditions ci-dessus établies suffisent à la détermination complète des inconnues ^0,0, y]^,^ qui représentent, pour un point quelconque situé sur l'axe de la verge, les déplacements mesurés parallèlement au plan des x, y. Si l'on voulait déterminer en outre le déplacement '(„,„ de ce point dans le sens de la coordonnée -,
on y parviendrait sans peine on échangeant entre elles, dans les calculs qui précèdent, les quantités qui correspondent à l'axe des j et à l'axe des z. Alors on retrouveraittoujours les équations (6), (19) et (25), ainsi que les conditions (34), (36). Mais les équations (7), (20), (28), (24), (26) seraient remplacées par d'autres équations de la forme
(^3) A„,,-pP--^^^^---^
(44) ^'t -x::r -^-^ïx:r+ -Tï7^= ^0,0+ 7î 7.0,2+2
3 V <^^* <^-*'* J àt'- "'" 6 V ' dx
M, jT, n,, lia désignant quatre nouveaux coefficients dont les valeurs seraient données par des formules semblables aux équations (i4) ou (21), et i l'épaisseur de la verge mesurée parallèlement à l'axe des z. Pareillement, à la place des conditions (35), (37), (39) on trouverait celles-ci :
En résumé, pour obtenir la valeur de l'inconnue E„^o' il suffira d'intégrer l'équation (25) de manière à remplir, pour chaque extrémité libre de la verge, la condition (34), et pour chaque extrémité fixe la condition (36). De même, on obtiendra la valeur de l'inconnue yj„,o à l'aide de l'équation (26) réunie aux conditions (35), ou bien aux conditions (37) et (39), et la valeur de l'inconnue 'C„ „ à l'aide de l'équation (44) réunie aux conditions (4'>)» ou «'lux conditions (46). Ajoutons que, les inconnues Ep,,,» yjo,,,. Co,o étant une fois déterminées, on
pourra fixer la valeur approchée de l à l'aide des formules (23) et (4^) réunies à la suivante
ou, ce qui revient au même, à l'aide de la formule
(48) ^=5,.^ (.%-» - ^. +„') ,.^ (*-!.. ^ ip ^„,),,
Effectivement, si l'on regarde les épaisseurs i/i et 2ï comme des quantités infiniment petites du premier ordre, la valeur générale de l, ou le déplacement d'un point quelconque de la verge élastique, mesuré parallèlement à l'axe des jp, sera déterminé par l'équation (48) avec une approximation qui ne comportera qu'une erreur du second ordre seulement.
Si l'on voulait considérer une verge élastique, non plus dans l'état de mouvement, mais dans l'état d'équilibre, il suffirait de supprimer, dans les équations (25), (26), (44), les dérivées relatives à /, savoir :
^'^0.0 ^^-T^o.o ^-go.o
et dans la seconde des formules (35) ou (45), le terme
dx dx
qui, en vertu de l'équation (26) ou (44), diffère très peu de l'expres-
sion
dx èf dx dt^
Revenons au cas où la verge élastique se meut. Si l'on suppose cetti verge extraite d'un corps solide qui ofi'rait trois axes d'élasticité rec tangulaires et parallèles aux axes des x, j, z, les neuf coefficients dé signés dans l'article précédent par
OFAivres de C. — S. Il, t. IX.
s'évanouiront, et les constantes a, b, c, ïi, e, f; u, u, u) seront déterminées par les formules (07), (58) du même article. En conséquence, les formules (i4). (i5), (iG) et (21) donneront
// \ L , de — cf
bc — (1^ abc — ad^— be^— cP-h 2def
( 52 ) n'ir: O, n^^r i— ^- P - -, ^ „ f .
' ' bc — d'' bc — d^
On trouvera, de même, en substituant aux quantités k, i; IL, 11" les quantités ^, ^; II,, IIo, et en changeant entre elles : i" les deux lettres b et c, 2° les deux lettres e et f, 3° les pressions P et <-£,
Cela posé, dans l'hypothèse admise, les équations (26), (44)» qui fournissent les valeurs de y]o,o, '^o.o relatives à un point quelconque de l'axe de la verge, deviendront respectivement
tandis que l'on aura, pour une extrémité libre,
/KQ\ ^ S0,0 ^ rï2 " '0.0 V , "^0,0
et, pour uno extrémité fixe,
(60) Co,0=0, -~-—0.
Au reste, il n'est pas nécessaire de recourir à l'hypothèse donl il s'agit pour obtenir les équations (55), (5G) avec les conditions (57), (58), (59), (60), et l'on retrouvera encore ces diverses formules, si l'on suppose les valeurs de ^o.o» ^0,0 constamment nulles, pendant le mouvement de la verge élastique, ainsi que les deux pressions extérieures P, tg.
Concevons à présent que la force accélératrice 9 devienne constante et constamment parallèle à elle-même. Admettons, pn outre, que les trois pressions extérieures P, <]?, fil s'évanouissent. Alors on aura
Par suite, les équations (^5), (55), (5G) donneront
^ ' 6 dx* dt-
,•2 Mr fi^y
Dans le même cas, les conditions (36), (09), (60) devront être remplies pour une extrémité fixe de la verge élastique. Mais les conditions (34), (37), (58), relatives à une extrémité libre, devront être remplacées par les formules
Enfin, si l'on suppose que \n force accélératrice cp s'évanouisse, les équations (6i), (62), (63) deviendront respectivement
La constante 12, comprise dans la plupart des formules que nous avons obtenues, représente évidemment la vitesse du son dans une verge élastique droite, d'une longueur indéfinie. C'est du moins ce que l'on prouvera sans peine, à l'aide de l'équation (67), en raisonnant comme nous l'avons fait à la page 269 du III^ Volume ('). D'autre part, si l'on nomme £ la dilatation linéaire de la verge élastique mesurée en un point quelconque x, y, z suivant une droite parallèle à l'axe des x, il sutfira, pour déterminer £, de réduire, dans la formule (9) de l'article précédent, l'angle a à zéro, et chacun des angles fl,
Ta-;
en sorte que 1'
'on
trouvera
dx
Donc 1
'équation
ôx
qui subsistera, en vertu de la formule (19), pour chacune des extrémités de l'axe de la verge élastique, pourra s'écrire comme il suit
(72) K:=^p9Jt + Ji.
Ajoutons que les quantités (2 et II, dont la première est déterminée par la formule (i5), pourront être facilement exprimées en fonction des pressions P, ^e», et des quinze coefficients a, b, c, d, e, f, u, v, w,
(«) OEuvres de Cauchj, S. II, T. VIII, p. 3i6.
àZ
dYl ÔK
ÔK dé
'ày'
Tz'
â.v âz
dy dx
u', v', w', u", v", w" renfermés dans les équations (5), (G) de l'article précédent. En effet, l'équation (17) étant le résultat de l'élimination des expressions (12) entre les formules (3) et (10), et les formules (3) se confondant avec les formules (23) ou (33) de l'article précédent, c'est-à-dire avec celles que produit l'élimination des quantités
^ ^, ^ !^ ^ dx dz dy dz ' dz
entre les équations (5), (G) et (22) du même article, il est clair que l'équation (71) pourra être immédiatement fournie par l'élimination des cinq quantités
entre les formules (5), (G) des pages 10 et 1 1 et les suivantes
Dans le cas particulier où les pressions P, ÇP s'évanouissent, la formule (71), réduite à
(75) A=zpi22|i,
est celle que l'on trouve quand on élimine les expressions (73) entre les formules
et les équations (5), (6) de l'article précédent. Alors aussi on tire de la formule (72)
Donc, pour obtenir le carré de la vitesse du son dans une verge élastique qui a pour axe l'axe des^, il suffit de chercher ce que deviennent la quantité A, c'est-à-dire la projection algébrique sur l'axe des x de la pression ou tension p supportée par un plan perpendiculaire à cet
axe, et la condensation ou dilatation =;= z mesurée parallèlement au même axe, tandis que les deux autres composantes de la pression/?', et les pressions /', p'" supportées par des plans perpendiculaires aux axes des j et z s'évanouissent; puis de diviser la quantité A = zpp' par la condensation ou dilatation q= £ et par la densité p. Cette proposition subsistant d'ailleurs, quel que soit l'axe des x, peut être remplacée par le théorème suivant :
Théorème. — Une verge élastique étant extraite d'un corps solide homogène qui n'offre pas la même élasticité dans tous les sens, pour obtenir le carré de la vitesse du son dans cette verge indéfiniment prolongée, il suffit de chercher ce que deviennent, en un point quelconque du corps solide, la dilatation ou condensation linéaire ± i, mesurée parallèlement à l'axe de la verge, et la pression ou tension p' supportée par un plan perpendiculaire à cet axe, tandis que les pressions ou tensions principales se réduisent l'uneàp', les deux autres à zéro, puis de diviser la dilatation ou condensation ± tpar le facteur p' et par la densité p.
Le rapport qui existe pour une verge élastique et rectangulaire, dont les faces latérales sont soumises à des pressions extérieures nulles, et dont l'épaisseur ou les épaisseurs sont très petites, entre la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire à l'axe et la condensation ou dilatation mesurée suivant cet axe, est ce que nous nommerons désormais V élasticité de la verge. Cela posé, il résulte du théorème précédent que, dans une verge élastique, extraite d'un corps homogène, et indéfiniment prolongée, la vitesse de propagation du son est proportionnelle à la racine carrée de l'élasticité.
Nous terminerons cet article en indiquant quelques applications des formules qu'il renferme.
Observons d'abord que, si la force accélératrice o et les pressions extérieures P, $, |I s'évanouissent, les valeurs des inconnues io.o. "^0,0. to,o, déterminées à l'aide des équations (67), (68), (G9) et des conditions (36), (59), (60) ou (64), (65), (66), dépendront uniquement de la vitesse il, des trois dimensions de la verge élastique et de son
état initial. Donc ces valeurs ne différeront pas de celles qu'on obtiendrait on considérant une verge élastique extraite d'un corps solide dont l'élasticité resterait la même dans tous les sens; et elles seront semblables [voir la p. 365 du IIP Volume (')] aux valeurs de ^o, r^„ relatives à une lame élastique droite. On doit en conclure que les relations trouvées dans le IIF Volume [p. 270 et suivantes (^)] entre la vitesse 12, la longueur ou l'épaisseur d'une lame élastique, et les sons produits par les vibrations longitudinales ou transversales de cette lame, continueront de subsister pour une verge élastique homogène, lors même que l'élasticité de cette verge deviendra variable avec la direction de son axe. Ainsi, par exemple, si l'on nomme a la longueur de la verge élastique, et N le plus petit nombre de vibrations longitudinales que cette verge, supposée libre, puisse exécuter pendant l'unité de temps, on aura
De plus, le nombre des vibrations transversales exécutées par la même verge parallèlement à l'axe des j, ou parallèlement à l'axe des z, sera l'une des valeurs de - fournies par l'équation (124) [p. 270 du IIP Volume (^)] ou par celle qu'on en déduit, quand on substitue l'épaisseur/ à l'épaisseur h. Donc, si les deux épaisseurs h et i deviennent égales, les vibrations transversales exécutées parallèlement aux axes des j et^ produiront toujours les mêmes sons. Il était important de voir si cette conclusion, qui peut paraître singulière quand on suppose la verge extraite d'un corps solide dont l'élasticité n'est pas la même dans tous les sens, serait confirmée par l'observation. Ayant consulté, à ce sujet, M. Savart, j'ai eu la satisfaction d'apprendre que des expériences qu'il avait entreprises, sans connaître mes formules, l'avaient précisément conduit au même résultat.
(») Œuvres de Cauchj, S. II, T. VIII, p. 4^2. (*) Ibid., p. 3 16 et suiv.
(») Ibid., p. 317.
En considérant, dans cet article et dans le précédent, des plaques ou des verges élastiques extraites de corps solides qui n'offraient pas la même élasticité en tous sens, j'ai supposé que ces plaques ou verges étaient naturellement planes ou naturellement droites et douées d'une épaisseur (constante. Mais on pourrait, par des calculs du même genre, établir les équations d'équilibre ou de mouvement de plaques ou de verges naturellement courbes ou d'une épaisseur variable, et l'on obtiendrait alors des formules analogues à celles que j'ai données dans les derniers articles du IIF Volume (').
(1) Œuvres de Cauclij, S. II, T. VIII, p. 288 et suiv.
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