RELATIVES
Des recherches entreprises sur la résolution des équations binômes m'ont conduit à reconnaître qu'il existe des relations dignes de remarque entre les quantités désignées dans la théorie des nombres sous le nom de racines primitives et d'autres quantités que renferment les produits de certaines expressions algébriques. D'ailleurs, l'analyse par laquelle je suis parvenu à découvrir ces relations m'a offert le moyen de résoudre facilement certaines équations indéterminées, et m'a fourni des théorèmes qui paraissent mériter l'attention des géomètres. Je consacrerai plusieurs articles au développement des principes sur lesquels repose cette analyse; mais, comme ce développement exige la connaissance préliminaire de diverses propositions relatives à l'Algèbre et à la théorie des nombres, je commencerai par établir les propositions dont il s'agit. J'indiquerai en même temps plusieurs conséquences nouvelles que l'on peut en déduire.
Soit n un nombre entier quelconque. Je dirai que les quantités entières, positives ou négatives, h et k sont équivalentes suivant le module n, lorsque la différence h — k ou k — h sera divisible par n, et j'indiquerai celte équivalence, nommée congruence par M. Gauss, à l'aide de
la notation
h = k (mod./j),
employée par ce géomètre. Cela posé, si l'on vérifie la formule
(i) ao.r"' + «10:'"-' + a,x"'-'+. . .+ a„,ia: -+- a,„= o (raod./i),
dans laquelle m désigne un nombre entier et a^, a,, . . ., «,„,, a„^ des quantités entières, en attribuant à x les valeurs entières
on la vérifiera encore en prenant
.37 =: ^1 ±: ni, X :=. Xi± nj , . . . ,
/, y désignant des nombres entiers, ou, ce qui revient au même, en prenant
Qix^^x.,, ... seront des racines de la formule (i). Mais deux quelconques de ces racines, par exemple, .r,, o^j ne seront considérées comme distinctes que dans le cas où elles ne seront pas équivalentes suivant le module n. Ajoutons que les notations
représenteront les valeurs de x propres à vérifier les formules
kx — li, k'^xzzzh',
Soit maintenant p un nombre premier quelconque. Je dirai, avec M. Poinsot, que p est une racine primitive de l'équation
et r une racine primitive de l'équivalence
(3) x"-^\ (mod./?),
lorsque p" sera la plus petite puissance de p qui se réduise à l'unité, et r" la plus petite puissance de r équivalente à l'unité suivant le module/?. Ces définitions étant admises, on établira sans peine, sur les racines des équations et des équivalences, les propositions suivantes, dont la plupart étaient déjà connues (') :
(') On peut consulter, à ce sujet, divers Mémoires d'EuIer et de Lagrange; l'Ouvrage de M. Gauss, intitulé : Disquisitiones ariUimeticœ ; la Théorie dcx nombres de M. Legendre; un travail de M. Poinsot, inséré dans le tome V des Mémoires de l' Académie des Sciences, et les Mémoires de Mathématiques publiés par AI. Guillaume Libri.
A L'ALGÈBRE ET A L\ THÉORIE DES NOMBRES. 261 Théorème I. — Soient m un nombre entier, p un nombre premier, et «„, a^, a.,, . .., a,r. des quantités entières. La formule
(.',) rto-^'" -H «1 •^"'~' + ••• -+-«/»-! -2^ + «"î — o (mod./^)
n'admettra jamais plus de m racines distinctes.
Démonstration. — En efret, soient x^, X2, ..., ^m, m racines distinctes de la formule (4). On aura identiquement
a^x'l' + rti^;"-» H- . . . + ^,„- 1.^1 + a,„ = o ( mod. /;).
En substituant la valeur de a,„, tirée de cette dernière équivalence, dans la formule (4), on trouvera
i ao^'" + <7, x'"-^ H- . . . + a;„,ar -+- a,n
P, désignant un polynôme qui aura pour premier terme le produit rt^o-r'"-', et qui sera équivalent à zéro pour x — x.,, pourx = X3, etc. On trouvera de même
P2, P.,, ..., P,„--,, P,„ désignant des polynômes dont les premiers termes seront a^x'"-'- , a^x"'-^ , ..., a^^x, a^, en sorte qu'on aura simplement
(7) P,« = rto-
D'ailleurs, en vertu des formules (5), (G), (7), on aura, (juel que soit X,
( 8 ) a^x'" + a, x'"-^ m- ... 4- a,„, ^ + a„, ^ aç,{x — Xy) {x — x,) . . . {x — x,„ ). Donc l'équivalence (j) pourra s'écrire comme il suit :
(9) a^{x — xy){x — x^){x — x^). . .(x — x,n) ^ o.
Or cette dernière ne peut être vérifiée qu'autant que l'on prond x==x, ou x^x\, ..., on x^x,,,.
Corollaire. — La formule (8) devant subsister, quel que soit^, entraîne évidemment les suivantes
l' a, ==— ao(a;i+ ^2 + - • • + -^//i) (mod./>),
(lO)
y Cl ffi = U Cl 0 t37 j ^ 2 • • • *^
lorsque le nombre m ne surpasse pas le module/^. Alors, en effet, si les conditions (lo) n'étaient pas remplies, la formule (8), dans laquelle le second membre, développé suivant les puissances descendantes de la variable x, a pour premier tenue «o-^"*» se réduirait à une équivalence d'un degré inférieur à p, et pourtant cette équivalence devrait admettre autant de racines que la division d'un nombre entier par/? peut fournir de restes différents, c'est-à-dire/» racines distinctes. Or cette conclusion ne s'accorderait pas avec le théorème L
Scolie. — Lorsque l'équation (i) est du premier degré ou de la forme
(lO • «o^H-^i^o (mocl./i),
elle ne peut admettre qu'une seule racine, et elle en admet toujours une, représentée par la notation
excepté dans le cas où la fraction — » réduite à sa plus simple expression, conserverait un dénominateur qui ne serait pas premier à /?. En effet, l'on pourra toujours trouver des nombres entiers œ et r propres à vérifier la formule
(i3) a^x -h Ui — nr,
à moins que a^ et n ne soient simultanément divisibles par un nombre qui ne diviserait pas «,.
Théorème IL — Supposons que la formule (4) admette m racines dis-
A L'ALGÈliUE ET A LA THÉORIE DES NOMBRES. 2G^
Une tes. Soit d'ailleurs P un polynôme qui divise exactement le premier membre de cette formule. Le nombre des racines distinctes de l'équivalence
(i4) P = o (mod./j)
sera précisément égal au degré du polynôme P.
Démonstration. — Soit Q la quantité qu'on obtient en divisant par P lo premier membre de la formule (i). Cette formule pourra s'écrire comme il suit
(i5) PQ=o (mod.jy),
et, par conséquent, chacune des racines x =^x^, a? = x.,, . . -, x =^ x,^ vérifiera l'une des équivalences
(i6) P^o, Q~o (mod./?).
Soit d'ailleurs a le degré du polynôme P. m — [x sera le degré du polynôme Q, et, comme le nombre de celles des quantités ^,, x^, . . ., x^ qui satisferont à la seconde des formules (iG) ne pourra surpasser m — a, le nombre de celles qui satisferont à la première ne pourra devenir inférieur à u.. Donc ce dernier nombre sera nécessairement égal au degré ui du polynôme P.
TiiÉORÈsiE III. — Soit p un nombre premier quelconque. La formule
(17) œP-^=^ I (mod. p)
admettra p — i racines distinctes, respectivement équivalentes aux nombres entiers
Démonstration. — En effet, si l'on prend pour x un quelconque de ces nombres entiers, on trouvera
xi'~{i + jr^y'^\ +{x — i)'' (mod./;)
et, par conséquent,
xi'— x~{x — \)i'— {x — \) = {x — 2)/'— (a; — 2) = . . . =£ -il'— 2 — I /* — I =3 o.
ou, co qui revient au même,
et, comme x ne sera pas divisible par/>, on en conclura
(19) .T/'-' — 1 = 0 (inod.y^).
l.e théorème compris dans la formule (17) ou (19) est dû à Fermai.
Corollaire. — Comme, pour faire coïncider la formule (4) avec l'équivalence (17), il suffit de prendre
m^=p — \, Oq—i, ai = o, (72 = 0, ..., «„,i — o, a„i — —i,
on aura, en vertu des formules (10) et du théorème IIl,
I + 2H-3-|-...+ (/J— -i)eso (iiiocl./j),
]/à dernière des formules (20) peut encore s'écrire ainsi qu'il suit
(21) 1 .2.3. . . (/^ — 2) (/; — i) 4- I = o (mo(l./>), et comprend le théorème de Wilson.
Théorème IV. — Soient p un nombre premier et n un diviseur de p — i. La formule
(3) a:" = I (mod. yj)
admettra n racines distinctes.
Démonstration. — Soit
(22) p — i-=i nm.
Le binôme
(23) ^P-l — I — .Z-"CT— I
sera divisible par le binôme
Donc, puisque la formule (19) admet/? — i racines distinctes, l'équivalence
(2/4) ic'*— 1 = 0 (mod./>)
ou la formule (3) admettra n racines distinctes, en vertu du théorème IlL
Théorème V. — Soient m, n deux nombres entiers quelconques, w leur plus grand commun diviseur, et q un nombre premier ou non premier. Toute racine commune des deux équations
vérifiera encore l'équation
et toute racine commune aux deux équivalences
(27) x"^^\, ^"=1 (mod. ^) x>érifiera encore la formule
(28) x'^=\ (mod. 7).
Démonstration. — co étant le plus grand commun diviseur de ?n et de n, on pourra trouver des quantités entières u et v propres à vérifier la condition
(29) mu — m' :=^ co.
Cela posé, on tirera des équations (25)
ou
par conséquent
( 3o ) x^—\=zo;
OEuvrea de C. — S. M, t. IX. 34
et des formules (27)
a^"'«=i = ^«'' (mod. «7) OU
^"'"— ^'^"he ^•«''(^•"— l) = 0 (mod.7),
par conséquent
(3i) a;'^i=o (niod. 7).
Or l'équation (3o) coïncide avec l'équation (26), et la formule (3t) avec la formule (28).
Corollaire. — Comme toute racine non primitive de l'équation (2) ou de l'équivalence (3), dans laquelle p désigne un nombre premier, vérifiera une autre équation de la forme
OU une équivalence de la forme
^"'= I (mod. p),
m étant < n, il suit du théorème V qu'une semblable racine devra encore vérifier l'équation
ou l'équivalence
(33) x'^—i (mod./j),
w étant un nombre entier, diviseur de w, mais inférieur à n. Donc, si l'équation (2) ou l'équivalence (3) admet des racines non primitives, autres que l'unité, n ne pourra être un nombre premier.
Théorème VI. — Soit n un nombre entier quelconque. L'équation
admettra autant de racines primitives qu'il y a dénombres entiers premiers à n, mais inférieurs à n\ et, si Von suppose
a, h, c... étant les facteurs premiers de n, chacune des racines primitives de l'équation (2) sera le produit de plusieurs facteurs u, v, w, . , . , qui serviront de racines primitives aux équations
Démonstration. — Si /^ est un nombre premier, toutes les racines de l'équation (2), autres que l'unité, seront primitives, en vertu du corollaire qui précède. Le nombre de ces racines primitives sera évidemment n — i.
Si n est une puissance d'un nombre premier a, c'est-à-dire de la forme
(36) « = «=', alors toute racine non primitive' de l'équation (2) ou
vérifiera l'équation
puisque tout nombre diviseur de a", mais inférieur à «*, divisera né- ^ cessairement rt*~^ Donc les racines non primitives de l'équation (2) seront alors en nombre égal à «°'~'. Les racines restantes, dont le nombre aura pour mesure la différence
(39) aa^^a-i^a-i(^l) — ,^/ l i
seront toutes primitives.
Si n n'est pas un nombre premier, ni une puissance d'un nombre premier, on pourra décomposer n en deux facteurs A, k premiers entre eux, et, pour vérifier l'équation (2) ou
(40) a;''* 3=1, il suffira de prendre (40 ^=r-,
y, z étant des racines des deux équations
J'ajoute que, si, dans la formule (40' o" substitue successivement à y toutes les racines de l'équation (42), et à ^ toutes les racines de l'équation (43), on obtiendra toutes les racines de l'équation (4o). En effet, le nombre des racines de l'équation (42) étant égal à h, et le nombre des.racines de l'équation (43) égal à k, le nombre des valeurs de X, déduites de la formule (40' ^^^^ ^^^^ ^" produite, c'est-à-dire au nombre des racines de l'équation (2) ou (4o); t^t d'ailleurs il est facile de s'assurer que ces valeurs seront toutes distinctes les unes des autres. Car, si l'on désigne par j,, jo deux racines de l'équation (4^), par :;,, z^ deux racines de l'équation (43), et si l'on suppose
on en conclura
et, comme on aura d'autre part
\fJ~yr '
il est clair que le rapport — sera une racine commune des deux équations
par conséquent, la racine unique de l'équation
puisque h et k n'ont d'autre commun diviseur que l'unité. On trouverait donc alors
A L'ALGÈBRE ET A LA THÉORIE DES NOMBRES. 269 et de même
Donc les valeurs de x fournies par l'équation (4i), et correspondantes à des systèmes divers de valeurs de y et de z, seront toutes distinctes les unes des autres, et respectivement égales aux diverses racines de l'équation (4o)-
Enfin il est clair que le produit yz sera une racine primitive de l'équation (4o)» lorsque j, z seront des racines primitives des équations (40' (42). En effet, soit m le degré de la plus petite puissance de j^ qui soit équivalente à l'unité. Comme le nombre m devra diviser le produit Jik, on aura nécessairement
s désignant un diviseur de h et t un diviseur de k. De plus, en élevant chaque membre de la formule
k à la puissance entière du degré -> on en tirera
et, par conséquent,
Or les formules (42), (45) devant subsister simultanément, et s étant le plus grand commun diviseur des nombres h et sk, on en conclura
On trouvera de même
Donc la formule (44) entraîne les formules (.\G) et (47)- D'ailleurs, si y eiz sont des racines primitives des équations (42) et (4^), les exposants 5, ^ dans les formules (4^)» (47)» ne pourront devenir inférieurs, le premier au nombre h, le second au nombre k. Donc alors la plus
petite valeur que l'on puisse attribuer à m sera m = hk, et, par conséquent, X sera une racine primitive de l'équation (4o). Ajoutons que, si les facteurs r, z ne sont pas tous deux des racines primitives des équations qu'ils vérifient, le produites ne sera pas non plus une racine primitive de l'équation (4o), puisqu'en supposant remplies les deux conditions ^ < A, ^ < ^, ou l'une d'entre elles, on pourra des formules (46), (47) déduire immédiatement la formule (44), dans laquelle on aura si < Iik.
Soient maintenant a, b, c, ... les facteurs premiers de 7i, en sorte qu'on ait
D'après ce qu'on vient de dire, on obtiendra les racines primitives de l'équation (1) en multipliant celles de l'équation (87), qui sont en nombre égal à «"-'(a — i), par celles de l'équation
De même, on obtiendra ces dernières en multipliant celles de l'équation
qui sont en nombre égal à b'^-'{b — i), par les racines primitives de l'équation
lin continuant de la même manière, on finira par reconnaître que chaque racine primitive de l'équation (2) est le produit de plusieurs facteurs u, r, w, ..., qui servent de racines primitives aux équations (35); et, comme les produits de cette espèce seront tous distincts les uns des autres, il est clair que le nombre de ces produits ou l'expression
(48) Nz=a^-iZ.?-icr->...(a-i)(6-i)(c-i)...=.«('i-lVi-iV',-iy..
indiquera précisément le nombre des racines primitives de l'équation (2).
Si dans le produit u,v,w,... on faisait entrer successivement toutes les racines primitives ou non primitives des équations (35), on obtiendrait évidemment pour résultats toutes les racines primitives ou non primitives de l'équation (2).
Scolie I. — Soit p une racine primitive de l'équation (2). Les diverses puissances de p, d'un degré inférieur à n, savoir
seront évidemment des racines de la même équation. De plus, ces racines seront distinctes les unes des autres. Car, si l'on suppose
m étant inférieur à n, et / égal ou inférieur à m, on en conclura
par conséquent, m — l=oowm = l, puisque, p étant racine primitive, aucune puissance de p, d'un degré différent de zéro, et inférieur à n, n'aura pour valeur l'unité. Donc la suite (49) comprendra toutes les racines de l'équation (2). De plus, si les nombres /i et m</i ont un commun diviseur co > i, alors, en prenant
on vérifiera, non seulement l'équation (2), mais encore la suivante
X'^=il,
et, par conséquent, x = p'" ne sera pas une racine primitive. Donc les seules puissances de p qui pourront servir de racines primitives à l'équation (2) seront celles qui offriront des exposants premiers à n. Il est d'ailleurs facile de s'assurer que, si m est premier 'dn,x = p'" sera une racine primitive. Alors, en effet, si l'on désigne par
la plus petite puissance de x qui se réduise à l'unité, le plus grand
commun diviseur de ms et de n sera le même que celui de s et de n. Or, en vertu du théorème V, la puissance de p, dont l'exposant sera égal à ce plus grand commun diviseur, aura pour valeur l'unité; et, puisque p est une racine primitive, l'exposant dont il s'agit ne pourra offrir un exposant inférieur à n. Donc la plus petite valeur qu'on puisse attribuer à s doit être divisible par n, et ne saurait différer de s = n; d'où il résulte que x = p'« sera, dans l'hypothèse admise, une racine primitive de l'équation (2).
Scolie IL — Puisque les diverses racines primitives de l'équation (2) sont respectivement égales aux diverses puissances de p dont les exposants sont premiers à/?, mais inférieurs à /z, l'expression (48) indique certainement combien il y a de nombres entiers premiers à n, et plus petits que n. C'est, au reste, ce qu'il serait facile de prouver directement.
Théorèjie VII. — Soient p un nombre premier quelconque et n un nombre entier diviseur de p — i . L'équivalence
(2) ^"=1 {moù. p)
admettra autant de racines primitives qu'il y a de nombres entiers premiers à n, mais inférieurs à n ; et, si l'on suppose
(34) ^ n = a'^b^cy...,
a, b, c, ... étant les facteurs premiers de n, chacune des racines primitives de l'équivalence (3) sera le produit de plusieurs facteurs u, v, w, ... qui serviront de racines primitives aux équivalences
(00) w«';sr, p6^=i, «W=i, ... (mod./?).
Démonstration. — Pour établir le théorème VII, il suffit de remplacer, dans la démonstration que nous avons donnée du théorème VI, le signe = par le signe es, en prenant le nombre p pour module.
Scolie L — Soit r une racine primitive de l'équivalence (3). Les diverses puissances de r d'un degré inférieur ii n, savoir
seront évidemment des racines de la même équivalence. De plus, ces racines seront distinctes les unes des autres. Car, si l'on suppose
/•'=/•'" (mod.p),
m étant inférieur à /z, et / égal ou inférieur à m, on en conclura
r"'-'=r (mod./?),
par conséquent m = l. Donc la suite (5i) comprendra toutes les racines de la formule (3). De plus, si les nombres n et Tn<^n ont un commun diviseur w >> i , alors, en prenant
a;=r'" (mod.^),
on vérifiera, non seulement la formule (3), mais la suivante
j?*^Esi (inod./^),
et, par conséquent, x^e^t^" ne sera pas une racine primitive. Donc les seules puissances de r qui pourront servir de racines primitives a la formule (3) seront celles qui offriront des exposants premiers à ii. Enfin, comme le nombre N des racines primitives est précisément égal au nombre des puissances de r qui offrent des exposants premiers à ii, mais plus petits que n, on peut affirmer que chacune de ces puissances sera une racine primitive. C'est d'ailleurs ce qu'il serait facile de prouver directement.
Scolie II. — Lorsque n devient égal à /^ — i, les racines primitives de l'équivalence (3) réduite à la forme
^P-i==i (mod.yv)
sont ce qu'on appelle les racines primitives du nombre premier/;. Cela posé, on trouvera toujours, pour un nombre premier/?, autant de racines primitives qu'il y aura de nombres premiers à/>, mais inférieurs 'A p.
Théorème VIll, — Soie/H p une racine primitive de l'équation (2), / une
CEuvres de C. — S. Il, l. IX. 35
27i SUR DIVERSES PROPOSITIONS RELATIVES
racine primitive de l'équivalence (3), et co un diviseur entier de n. Les deux formules
(53) x^=\ (mod./>)
auront pour racines les puissances de p et de r dont les exposants seront multiples de iù, et pour racines primitives celles des mêmes puissances dont
les exposants, divisés par o), donneront pour quotients des nombres qui
, n seront premiers a - •
Démonstration. — En effet, dans l'hypothèse admise, les différents termes compris dans la suite
(54) p«=i, p", p2to^ ...^ pV«~'^'"'=P"-w,
et dont le nombre est -, seront autant de racines distinctes de l'équation (52), tandis que les différents termes compris dans la suite
seront autant de racines distinctes de l'équivalence (53). De plus, m désignant un des nombres entiers o, i, 2, ...,-— i, p"'" deviendra une racine primitive de l'équation (52), et r""^ une racine primitive de l'équivalence (53), si mn est le plus petit multiple de m(^i qui soit divisible par n, par conséquent si m est premier à - •
Théorème IX, — Les mêmes choses étant posées que dans les théorèmes
VI et VII, désignons par
les termes positifs, et par
les termes négatifs que présente le développement du produit (56, N.„(,i)(,„.)(,__l)....
A L'ALGÉimE KT A LA THÉORIE DES NOMBRES. 275.
Faisons d 'ailleurs
^'^' ' (or". — i) (jc».— i). ..
X sera une fonction entière de x, et les deux formules
(Sg) X = o (mod.;>)
auront pour racines, la première, les racines primitives de l'équation (2), la seconde, les racines primitives de l'équivalence (3).
Démonstration. — Comme, en développant le produit N, on trouvera
, n . ^T n n n un n n
n t) c ah ac oc abc
on en conclura
Cela posé, soit p une racine primitive de l'équation (2), et r une racine primitive de l'équivalence (3). Chacun des binômes '
sera égal au produit de quelques-uns des facteurs linéaires
et de plus équivalent, suivant le module/;, au produit de quelquesuns des facteurs linéaires
D'ailleurs, m étant l'un quelconque des nombres entiers
le facteur linéaire x - p'" divisera seulement le premier des bi-
nômes (62), si p"' est une racine primitive de l'équation (2). Le même facteur divisera les deux binômes
lorsque p"' sera une racine de l'équation x"=\. Tl divisera les quatre binômes
lorsque p"' sera une racine de l'équation ^"^=r i, . . ., et généralement il divisera tous les binômes dans lesquels les exposants de x seront égaux aux termes que présente le développement du produit
n(i-M, ou n(i~]-\ ou n{i-l\
lorsque p'" sera une racine de l'équation
x"=i, ou x'' = \, ou x'^^=.\, ..., *
iaf\\ ' ou x"^>z=z\, ou X"''z=z\, ..., ou a:*'^— I, ...,
In ou J?"^'^=I, ...,
c'est-à-dire lorsque le nombre m sera multiple de a, ou de h, ou de
^, . . ., ou de«è, ou de 6fc, . . ., ou de hc, . . ., ou de abc, D'ailleurs,
comme, dans le développement de chacun des produits que nous venons d'indiquer, le nombre des termes positifs est précisément égal au nombre des termes négatifs, il est clair que le facteur linéaire X — p'" divisera généralement, dans le numérateur de la fraction que renferme la formule (61), autant de binômes que dans le dénominateur. Donc, en général, ce facteur disparaîtra, si l'on réduit la fraction
dont il s'agit ii sa plus simple expression. On doit seulement excepter le cas où p"\ cessant d'être racine d'une ou de plusieurs des équations (6G), deviendrait racine primitive de l'équation (2). Donc la valeur de X, déterminée par la formule (61), sera égale au produit de ceux des facteurs (63) qui répondent aux racines primitives de l'équation (2). Donc X sera une fonction entière de x, et l'équation (58) aura pour racines les racines primitives de l'équation (2).
Si, dans la fraction que renferme la formule (61), on remplaçait chacun des binômes (62) par le produit équivalent de plusieurs des facteurs (64), cette fraction, réduite à sa plus simple expression, serait le produit de ceux des mêmes facteurs qui répondent aux racines primitives de la formule (3). On en doit conclure que l'équivalence (09) aura pour racines les racines primitives de l'équivalence x"^i (mod.p).
Corollaire I. — Si l'on suppose que le nombre n se réduise à une puissance d'un certain nombre premier a, en sorte qu'on ait
on trouvera
Par conséquent, l'équation (2) aura pour racines primitives les racines de l'équation
et l'équivalence (3) aura pour racines primitives les racines de la formule
(09) ^ "^-hx "^ "^-f-. . .4- j7"-|-, = o (mod./>).
Corollaire IL — Si n est le produit d'une puissance du nombre premier a par une puissance du nombre; premier b, en sorte qu'on ait
les racines primitives de l'équation (2) et de l'équivalence (3) se confondront avec les racines des deux formules
(72) '— — ^-y-^ — :^^o {mod.p:
Corollaire IIJ. —- Si /z est de la forme
(73) n^ia^'b^cy,
les racines primitives de l'équation (2) et de l'équivalence (3) se confondront avec les racines des deux formules
[a;" — i) [œ'^ — ijyaP"— i) (x'^— i (75). 7^ X / n i/n Yf^ \'^'' {mod.p).
Corollaire IV. — Soient/? un nombre premier quelconque et a, b, c, ... les facteurs premiers de /> — i, en sorte qu'on ait
(76) /> — I = «''è?cT....
Les racines primitives du nombre p se confondront avec les racines de l'équivalence
( P:=l \( P^zl \ ( 'izl \
{xP-^ — l) \X "b — 1/ \X "<-• — l)...\X'": — il...
(77) 7-^rri ry-y^i w p-^ ^ T^^^ (. =0 (mod.p).
Dans les binômes que renferme le premier membre de cette équivalence, les exposants de ce sont respectivement égaux aux valeurs numé-
riques des termes que présente le développement du produit
l ab ac oc
abc
Exemples. — Puisqu'on trouve, en prenant p = 3, p — i = i, a = 1,
en prenant /? = j, /? — i — 4» « = 2,
;n prenant /? ^ 7, /) — i = 6, a ~- 2, ^ -- 3, m prenant/? = i r, /? - 1 = 10, « — 2, 6 ^ 5,
i-A^^,ofi-l
en prenant/? — i3, /> — i — 12, a — 2, 6 -- 3,
en prenant p ^ ij, p — i = iG, a — 2,
etc., et que l'on a d'ailleurs
on peut affirmer que les racines primitives de 3 se réduisent à la racine unique de l'équivalence
(79) x + i = o (mocl.3);
que les racines primitives de 5 coïncident avec les racines de l'équivalence
(80) j72 j,==o (inod.5);
les racines primitives de 7 avec les racines de l'équivalence
(81) ^•-— cT + iEEso (mod.-);
les racines primitives de 1 1 avec les racines de l'équivalence
(82) x'' — x^-\-x-—x + \ = o (mod. Il);
les racines primitives de i3 avec les racines de l'équivalence
(83) ^4^2|i = o (niod.iS);
les racines primitives de 17 avec les racines de l'équivalence
(84) 07^+1 = 0 (mod. 17), etc.
On trouverait de même que les racines primitives des nombres 19,
23, 29,31,37, ... se confondent avec los racines des équivalences
a^«— ^»+i = o (mod. 19),
o (mod. 23),
^i2 j..io^3,8 376 ^ ^.4 ^2 , , == o (inod. 29),
^» + ^^— ^^— ^^— ^'+ .r + I = o (mod 3i),
^i2 j;6, , = o (mod. 37),
Il est d'ailleurs facile de s'assurer que les racines primitives des nombres 3, 5, 7, 1 1, i3, 17, 19, 23,29,31,37, ... vérifient les formules qu'on vient d'obtenir. En effet, ces racines primitives, lorsqu'on représente chacune d'elles par un nombre renfermé entre les limites o,^, sont respectivement
pour
/?— II
yj = 3 1 ,
5, 6, 7, 10, II, 12, i4,
7, 10, II, 14, i5> 17, '9. 20, 21,
II, 12, i3, 17, 21, 22, 24,
Elles deviendraient
yiour /? = 3,
» jO izz l3,
» P= 37, OEuvres de C. - S. II, t. IX.
^ y, 8, — 6, — 4, —3, —2, 5, 7, 10, II,
, — 14, —II, —10, — 8, —3, —2, 2, 3, 8, 10, M, i4,
