t- I — 0^— 5 + I sHo (mod
Il est bon d'observer que le produit (78) sera un nombre pair, si l'un des facteurs a, b, c, . .. est impair, ou si /? — i est divisible par 4- Donc ce produit sera toujours pair, excepté dans le cas où l'on supposerait i7 = 3. De plus, les différents termes compris dans le second membre de la formule (78) seront pairs eux-mêmes, si/? — i est divisible par 4. Il suit de ces observations que l'équation (77), réduite à sa forme la plus simple, aura pour premier terme une puissance paire de X, si/? n'est pas égal à 3, et ne renfermera que des puissances paires de X, si /? — I est divisible par 4- D'ailleurs le dernier terme de cette équation sera la valeur du rapport
correspondante à .t = o, c'est-à-dire l'unité. Donc, si l'on excepte le cas où l'on aurait/? = 3, les racines primitives du nombre/? donneront l'unité pour produit; et ces racines pourront être considérées comme deux à deux égales, mais affectées de signes contraires, toutes les fois que le nombre/?, divisé par 4, donnera r pour reste.
Théorème X. — Soient
les racines de l'équation
dans laquelle a^^, a^, . . . , «,„, , a,^ désignent des quantités entières, p un
nombî-e premier supérieur ou égal à m, et supposons que l'équivalence
(4) ao^'"4-a,a^'»-'4-. . .4- a,„i^ -+-«,„ ïso (mod./?)
admette m racines distinctes représentées par
Soient d'ailleurs
une fonction entière et symétrique d'e ^,, ^o, . • . , ^,n-\-> ^/«» à coefficients entiers ou rationnels, et U la valeur entière ou fractionnaire de cette même fonction. L'équation
entraînera l'équivalence
(87) F(^i, ^2, ..., ^;„i, ^,„) = U (mod./?).
Démonstration. — Les fonctions symétriques de H,, ^2» • • • » ^w n ^/n et de £f,, £^2, . . . , ^,rt n a7,„, représentées par
peuvent être considérées, la première comme une fonction entière des sommes
C,\Ci • • ' Qin-\hm ~"'
la seconde comme une fonction semblable des (jnantités que l'on déduit de ces mêmes sommes en écrivant partout ^ au lieu de x, quan-
tités qui vérifient les formules (ro) et, par conséquent, les suivantes
- -i (mod./j),
Xi -|— ,3?2 H~ • • • ~l~ >^/,
Or il suit évidemment de cette remarque qu'en omettant les multiples de/> on trouvera pour la fonction
une valeur numérique entière ou fractionnaire précisément égale à celle de la fonction
* (su S2» • • • > Çot-1, Ç/w).
Corollaire L — Si, après avoir posé l'équation identique
(90) «o-a?"' + a,^'«-' 4- . . . + a,„ix 4- a,„ = «o(j7 - |, ) (■3^' - Ç2) • • -(^ - £,„ ),
on difîérentie par rapport k x les logarithmes des deux membres, on trouvera
\ «0^'" 4- a, x'"--^ 4-- ... 4- a™ 0.37- -4- rt! .. . .^ -^ n (90
X ■ Çi X — Ç2
puis on en conclura, en supposant a:- > i ,
/ ^^ao^3:^^"-' 4- (m — i)a,.a7^"-^4- ■ . . 4- aa^^.ggr 4- a^-y
Donc, si l'on représente par
(93) -L + iL + ii , fi+...
A L'ALGÈBRE ET A LA THÉORIE DES NOMBRES. 285 lo développement du premier membre de la formule (92) suivant les puissances ascendantes de -> on aura
^1+^2 + - •■ + ^m = Si, ^î+^^ + ... + a = ^2.
et généralement, / étant un nombre entier quelconque,
Cela posé, il résulte du théorème X que l'on aura encore
(95) .x[-^j;'^-h...-i-x',„~S/ (mo(l./>).
Corollaire IL — Le théorème X pourrait devenir inexact, ainsi que les formules (10) et (89), si le degré m de l'équivalence
(rnocl. p)
devenait supérieur à son module/?, ou si ce module cessait d'être un nombre premier.
Corollaire IIl. — Si l'on réduit le polynôme
ao^"'-+- ai^'^-'H-. . .-H a,„,,a?H- a,,
au binôme
les formules (85) et (4) deviendront respectivement
(97) ^'"=1 (mod./>).
On trouvera d'ailleurs
m St -^î *3
et, par conséquent,
On aura donc
(99) si=m toutes les fois que / sera multiple de m, et
dans le cas contraire. Cela posé, on déduira immédiatement des formules (99) et (100) les propositions suivantes :
Théorème XI, — La somme des puissances du degré l, pour les racines de l'équation (96), est égale au nombre m ou à zéro, suivant que l est ou n'est pas multiple de m.
Théorème XII. — Si l' équivalence binôme
(97) ^'"—i (mod./p)
admet m racines distinctes, la somme de leurs puissances du degré l sera équivalente, suivant le module p, au nombre m ou à zéro, suivant que l sera ou ne sera pas multiple de m.
(Concevons maintenant que, p étant un nombre premier, n un diviseur de/> — I , «, Z>, c, . . . les facteurs premiers de n, et X une fonction de a; déterminée par la formule (37), on réduise l'équation (85) ou l'équivalence (4) à l'équation (58) ou à l'équivalence (59). On trouvera, eu égard à la formule (61),
cio ce -j- ci\ oc — |— . . . — |— Cl,,i^^ 3C -\- Cl/fi
\X^ — I ) \od' — \) \x^ — I j ... (^"*^' — I j . . .
puis on tirera: 1° de l'équation (loi), en différentiant les logarithmes
A L'ALGÈBRE ET A LA THÉORIE DES NOMBRES. 287 (les deux membres,
GqX'" -+■ a, ^"'-' -h . . . + a,„i X -+- a,
;io2)<
n ah '
ab
n abc'
abc
2*^ de la formule (102), en développant les deux membres suivant les puissances ascendantes de - »
(io3)
abc\ X -T-^\ t-
nabc
n ac
Par suite, on aura
(lOO) Si = 0,
si / n'est divisible par aucun des nombres entiers
abc ' ab ac ' bc ' abc
c'est-à-dire par aucun des termes renfermés dans le développement du produit (56). Mais, si le contraire arrive, alors, en nommant w le plus grand des nombres (io4) qui divise /, on trouvera
(io5;
Pour w = w.
ab
» w =1 — ac
n abc
Sl =
bV-â
ab \ c
n / I ac \ b
bc \ a
Si-
n abc
Cela posé, on déduira immédiatement des formules (100) et (io5) 1 propositions suivantes :
Théorème XIII. — Soient n un. nombre entier quelconque, a, b, c, . les facteurs premiers de n, et faisons
es
N=.(r iUi-^
Im somme des puissances du degré /, pow les racines primitives de l'équation
^" rr I ,
sera nulle, si le degré l n'est divisible par aucun des termes que renferme le développement du produit ( 5G ) , c 'est-à-dire par aucun des nombres ( i o4) . Mais, si, parmi ces nombres, on trouve un ou plusieurs diviseurs de l, il suffira de considérer le plus grand de ces diviseurs, puis de remplacer, dans son expression sous forme fractionnaire, les nombres n, a, b, c, ... par les nombres N, i — a, i — b, i — c, ... pour obtenir la somme dont il
s agit.
Théorème XIV. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème XIII, et p étant un nombre premier qui, divisé par n, donne r pour reste, la somme des puissances du degré l, pour les racines primitives de l'équivalence
niod./?).
sera équivalente à zéro, suivant le module p, si l n'est divisible par aucun des nombres (ro4). 3Iais, si, parmi ces nombres, on trouve un ou plusieurs diviseurs de l, il suffira de considérer le plus grand de ces diviseurs, puis de remplacer, dans son expression sous forme fractionnaire , les nombres n, a, b, c, ... par ^, i ~ a, i — b, i — c, ... pour obtenir une fraction équivalente à la somme dont il s'agit.
Corollaire!. — Lorsque, dans k' nombre n, chacun des fticteurs premiers a, b, c, ... se trouve simplement élevé à la première puissance, on a
(io6)
ibc .
et le plus petit terme de la suite (io4), on ^^^'^ , se réduit à l'unité. Alors aussi la dernière des équations (io5) donnera
le double signe devant être réduit au signe + ou au signe — suivant
OF.Ufres de C. — S. II, t. IX.
que le nombre des facteurs a, h, c, . .. sera pair ou impair; et la formule (107) subsistera toutes les fois que /sera premier à n. On pourra donc prendre /= 1, et par conséquent la somme des racines primitives sera équivalente à ± i .
Corollaire IL — Lorsque, dans le nombre /z, un ou plusieurs des facteurs a, h, c, . . . sont élevés au carré ou à des puissances supérieures, le dernier terme de la suite (io4), savoir -r > surpasse
l'unité, et, si l'on désigne par / un nombre entier inférieur à ce terme, on aura
Donc alors, en prenant /= i, on trouvera
Ajoutons que, dans le cas dont il s'agit, l'équation (100) subsistera toutes les fois que le nombre entier / sera premier à n, ou même à
abc. . .
En remplaçant, dans le théorème XIV, n par p — i, on en déduira immédiatement la proposition dont voici l'énoncé :
Théorème XV. — Soient p un nombre premier quelconque, et a, ù, c, . . . les facteurs premiers de p — i. La somme des puissances du degré /, pour les racines primitives du nombre p, sera équivalente à zéro, si l n'est divisible par aucun des nombres
au ac . oc abc
Mais, si, parmi ces nombres, on trouve un ou plusieurs diviseurs de l, it suffira de considérer le plus grand de ces diviseurs, puis de remplacer, dans son expression sous forme fractionnaire, p — i par le produit
(/'-)(-^)(-0(-cO
(i par i — a, h par \ — b, c pur i — c, etc. pour obtenir une fraction équivalente à la somme dont il s'agit.
Corollaire I. — Lorsque, dans le nombre/) — i, chacun des facteurs a, b, c, ... se trouve simplement élevé à la première puissance, la somme des racines primitives du nombre/? est équivalente à zt i, savoir à + I quand les facteurs a, b, c, ... sont en nombre pair, et à — i quand ils sont en nombre impair. La même somme est équivalente à zéro, lorsqu'un ou plusieurs des facteurs a, b, c, ... se trouvent, dans le nombre/; — !, élevés au carré ou à une puissance supérieure. C'est, au reste, ce que l'on savait déjà. Mais on peut ajouter que, si l'on désigne par /un nombre premier à/> — i, ou même à -y » la somme
des puissances du degré /, pour les racines primitives du nombre p, sera toujours équivalente à la somme de ces racines.
Pour montrer une application du théorème XV, supposons /> = 19. Dans ce cas, le nombre
aura pour facteurs premiers 1 et 3. On pourra donc supposer a — i, b = 3, et la suite (io4) renfermera seulement quatre termes, savoir
On trouvera d'ailleurs
Donc, en vertu du théorème XY, la somme des puissances du degré /, pour les racines primitives de 19, sera équivalente à zéro, suivant le module 19, si / n'est pas divisible par 3. La même somme deviendra
équivalente à 6, si / est divisible par 1 8, à - — — G, si / est divisible 18 .6 ........... 18
pai* T "" 9' »
3, si / est divisible par y = <J» ^y\^\\\ à
si / est divisible par 3. Effectivement, les racines primitives du nombre 19 sont
et l'on trouve
2 +3 +10 -t-i3 -f-14 +i5 =6 (mod.19), 2^ + 32 4- io2 -m32 + 142 4- 152 = o, 2* + 3* + 10^ + i3' H- i4^ -t- i5* E^ o, 2' + 3^ + 10'^ -+- 13^ 4- i4^ H- i5^ = o,
23 + 33 ^ io3 H i33 ^ 1/^3 + 153 == 3
2« + 3« 4- io« 4- i3« + i4« 4- i5« HH 2'2+ 3'^+ 10I-4- 13'24- 141-'+ i5'2=
2» 4- 39 4- lO» 4- 133 4- 149 4- 153 EEH
2I84- 318+ io»8+ i3'84- 14*»4- i5's= 6,
Théorème XVI. — Supposons, comme dans le théorème X, que ion désigne parUf,, rt, , . . ., a,n^, a,„ des quantités entières, par
les racines de l'équation
par p un nombre premier supérieur ou égal à m, et que l'équivalence (4) «o^'"+«i.^'""*^-.. .4-a,„ij:4- a„j=o (mod./>)
admette m racines distinctes représentées par
Soient d'ailleurs
une fonction entière à coefficients entiers ou rationnels, mais non symé-
trique, des racines de l'équation (85), ou de plusieurs d'entre elles, et M le nombre des valeurs distinctes que cette fonction peut acquérir en vertu d'échanges opérés entre les racines ^,, ç^, . . ., E,„. Désignons par
ces mêmes valeurs, et par *
Ui, «2, •••, "M
les quantités dans lesquelles elles se transforment, quand aux racines E,, H,, . . ., H,„ de l'équation (85) on substitue les racines Xf, X-y, . . ., x„ de l'équivalence (4). Enfin soit
( 1 1 o ) «^' + A 1 «*'- ' + A., «"-2 +...-) Am-1 « -^ Aji = o
l'équation qui a pour racines u,, u^, . . ., u,,. Les coefficients A,, A^, . . ., Ay seront entiers ou rationnels, et V équivalence
( 1 1 1 ) «" + A , «^'"' + A, «^'~* -h . . . T- Aii-i u H- Aji = o ( mod./> )
aura pour racines u^, u.,, . . ., ««.
Démonstration. — Comme, dans l'hypotlièse admise, on aura identiquement
(112) (m — -Ji) (« — -j,). . .(a — -jm) = «*'+ A, «''-' + . . .+ Am i« + A.M
et, par suite,
iA, =— (■j,-i--j2 + - • --t- ■■^m)»
\ Am = ±: J 1 -Jo • • • ■-'M- 1 "-^M .
il est clair que A,, A., A,, seront des fonctions symétriques de ^,, ^2, ..., H,„ à coefficients entiers ou rationnels, et par conséquent des
fonctions entii'res des rapports — » --% • • ■ > -^- Donc A,, Ao, . . . , A^ se
réduiront à des quantités entières ou rationnelles. De plus, si, dans les seconds membres des équations (1 13), on remplace u,, Uj, . .. , Uj, par
//,, //o, . . . , Wj,, ces seconds membres, qui étaient des fonctions symétriques des racines de l'équation (85), se transformeront en des fonctions semblables des racines de l'équivalence (4)- Or il suit évidemment de cette remarque, qu'en omettant les multiples de p, on aura encore
/ Al — — («1+ «2 + . . .+ ?<m) (mod./)),
(ii4) <
Donc la formule
(i i5) {u — Ui) {u~it^). . .(« — «j,) = «*' + Ai«*^"' + . . .4-A||ia + AM (inocl./^)
subsistera, quel que soit u, et l'équivalence
(ii6) [a — Ui) {a — «2). ..(<< — «ji) EE3 o (mod./>),
qui a pour racines w,, u.,, . . . , Wjp pourra être présentée sous la forme
(117) «^'+ Ai«"~*-i- A2«"~- + . . .+ Aji-i« + Am =^ o (motl. /?).
Au reste, le théorème XVI est compris, comme cas particulier, dans un théorème plus général, que l'on démontrerait de la même manière, et dont voici l'énoncé :
Théorème XVII. — Soient
i ao^"'-+- aia:"'-^-+-. . . + a„i i^ 4- a,„ r= o, (ii8)
Cq Z -\- Cl Z H- . . . + C„i''—\ Z -+- C„i" ^n o,
diverses équations algébriques, la première du degré tïi , la deuxième du degré m\ la troisième du degré m", . . . et dans lesquelles
désignent des quantités entières, ou même des quantités rationnelles. Soient d'ailleurs
les racines de ces diverses équations, et
(l 19) *^{l.\, C2, • -, Im'i f\i, 1)2, ■ ■ 1 'Hm'', ?1» ?2» • • •» CmS • • • )
une /onction entière de ces racines, à coefficients entiers ou rationnels. Représentons par M le nombre des valeurs distinctes que la fonction (i 19) peut acquérir, en vertu d'échanges opérés entre les racines de chacune des équations (iiS), par
, yji
ces mêmes r>aleurs ; et soit
(121) z<" + Al «^'-^ + A, //^'-^ -h ... 4- Am-i " + Am = o
l'équation qui a pour racines u,, u.,, ..., u,i. Enfin supposons que, p étant un nombre premier supérieur ou égal au plus grand des nombres m, m', m" , . . . , les équivalences
ao.r"'-t- aia:'"-'M-. . .-+- a,„i.r + a,„ ^ o (mod. p), boy'"-' -h ^>i7'"'-'+ . . . + /-'m'-ij -+- ^>n = o,
-hc.z'
admettent, la première m racines distinctes x,, x.,, . .., x,n, la deuxième m' racines distinctes J, , Jo» • • • ' //« » ^^^ troisième m" racines distinctes 5, , z.y, . . . , z,„"; et soient
les quantités dans lesquelles se transforment u,, Uo, . . . , 'j„, quand, aux racines des formules (118), on substitue les racines des formules (122). L'équivalence
(124) 1'^*-^ Ai»^'-' I- A., //*'---!-. .. + Am-i« + Aji^o (mod. p)
aura pour racines m,, u.^, . . . , //j,.
Corollaire. — Si l'expression (119) devenait une fonction symétrique des racines de chacune des équations (118), elle aurait pour valeur une quantité entière ou rationnelle U, et les formules (121), (124) se réduiraient, la première à
la seconde à
(i26) « — U = o (mod. /)).
Alors, en écrivant F au lieu de $, on conclurait du théorème XVII que l'équation
(127) F(^i, |,, ..., t,„; Y),, ri2, ..., n,,,.; Çj, C,, ..., Ç,„„; ...) = U
entraîne l'équivalence
(1-28) F(^„^2, ...,^„,; ji,r,, ...,j,„.;::,,^,, ...,^,„.; ...):^U (mod./^).
Dans le cas particulier où les équations (118) se réduisent à une seule, la formule (128) se confond avec l'équivalence (87).
Nous remarquerons, en terminant cet article, que le théorème III fournit un moyen facile de résoudre l'équivalence hinùme du premier degré
('29) kx = h (mod. n),
OU, ce qui revient au même, de calculer la valeur de x déterminée par la formule
(i3o) x^ ] (mod. n),
/^ étant un nombre entier quelconque, et h, k désignant deux quantités entières, dont la seconde ne soit pas multiple de n. En effet, nommons a, b, c, ... les facteurs premiers de n, en sorte qu'on ait
n — a'^b^cy
En vertu du théorème III, les binômes
A L'AF.r.ÈBltE ET A LA ÏHEOIUE DES NOMBRES.
seront divisibles, le premier par «, le deuxième par h, le troisième par r, . . . ; par conséquent, le produit
sera divisible par n = a^b^c^ Donc, si l'on fait, pour abréger,
(i3i) (i — A''--')='(i — k'>-'Y>{i — k^-')y. .. = i — kK,
on aura
(|3'^) I — ÂK = o (nioil./<)
ou
(i33) ^ — 7 (mod. n)
et, par suite,
(i34) iT = A K (mod. «).
Or, la quantité K, que détermine la formule (i3i), étant évidemment mur quantité entière, la valeur kKda x sera entière elle-même e( fournira la solution de l'équivalence (129). Cette remarque est due à M. Binet. Lorsque le nombre ii se trouve réduit à un nombre premier/?, l'équation (i3i) donne simplement
(i35) K = A/^-- (mod./>).
Donc alors on véritie l'équivalence
(i36) k.v = /i {mod. p)
en prenant
(13;) .r~/ikP-^ (mod./>).
OKuiTts (if c. — s. n, i. IX.
SUR LA
RÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES
