LES MODULES SE RÉDUISENT A DES NOMBRES PREMIERS
§1. — C o ru idé ratio lis générales.
Soit/? un nombre premier quelconque, et considérons l'équivalence
(i) ao.r,„+ ai^'«-iH- a2^"'-^ + , . .+ aw i J7 4- a,„= o (mod./>),
dans laquelle m désigne un nombre entier, et «o^ ^i » ^2» • •■> <^m-\ » ^/« des quantités entières, ou même des quantités rationnelles qui aient pour valeurs numériques des fractions dont les dénominateurs ne soient pas des multiples dejo. Il est clair : i" qu'en multipliant la formule (i) par le produit de ces dénominateurs, on réduira les coefficients des diverses puissances de x à des quantités entières; i° qu'après cette réduction on pourra supprimer tous les termes dans lesquels les coefficients seraient divisibles par /?. On obtiendra ainsi une nouvelle équivalence d'un degré égal ou inférieur à m, dans laquelle tous les. coefficients seront entiers; et si, dans cette nouvelle équivalence, tous les termes étaient divisibles par x ou par une puissance entière de X, la division du premier membre par cette puissance ne cbangerait ni le nombre ni les valeurs des racines distinctes et non divtiëibles par/>. On saura donc déterminer ces racines dans tous les cas possibles, si l'on parvient à résoudre l'équivalence (i), dans le cas où «o, a^, a.,, ..., «/„,, a,„ représentent des quantités entières dont la première et la dernière ne sont pas divisibles par/?. D'ailleurs, si, dans le
cas dont il s'agit, on nomme A,, A^, ..., A,„,, A,„ des quantités entières déterminées par les formules
(2) ^=A„ -^^A„ ..., -"^^A,„„ ^'=A„, (mod.p),
on pourra réduire l'équivalence (i) à la suivante
(3) .3?'»4- Ai^"'-* + A2^'»-2 + ., .4- A„,i^ + A„, = o (mod. />),
Am n'étant pas divisible par/?. Enfin, comme on a, pour toute valeur entière de x non divisible par/?,
(4) a:P-^=i (mod. />) et, par conséquent,
k étant un nombre entier quelconque, on pourra évidemment, dans l'équivalence (3), substituer, à ceux des exposants m, m — i , ... qui seraient supérieurs à /? — 2, les restes de leur division par/? — t . Donc on peut, dans la formule (3), supposer le degré m inférieur à/? — i .
Concevons maintenant que, les quantités a„, a,, . . . , «,„,, «,„ étant entières, et le nombre m inférieur à/? — i, ou seulement à/?, l'on fasse, pour abréger,
(6) «0'^'"+ «i-3^"'~'H- «2^"'"- + - • .+ a„,ia: + rt„,~ f(j").
L'équivalence (i) pourra s'écrire comme il suit
(7) f(^):=o (mod. /^),
et, si l'on désigne par r une racine quelconque de cette équivalence, on aura identicjuement
(8) f (r) = f(,-) -^ {^- - r) f'(/-) + (^ - ry- -^ + . . . + (j; r)'" - /' ^ .
D'ailleurs ¥(ao) désignant une nouvelle fonction entière de ^r ii coefticicnts entiers, nous dirons que l'équivalence (7) peut être présentée
sous la forme
(9) F(^) = o (mod./j), si l'on a, quel que soit x,
f(.z') = F(j;) (mod. p).
Cela posé, s'il arrive que la quantité rsoit une racine, non seulement (le l'équivalence (7), mais encore de chacune des suivantes
(10) f(^) = o, r(.r) = o, ..., f('-i)(^) = o (inod./O, en sorte qu'on ait tout à la fois
(11) f(/)=o (mo(l./>) et
(12) r(/-) = o, f"(/-) = o, ..., f('-i)(/-)=^o (mod./^),
la lettre «désignant un nombre entier, l'équation (8) donnera, pour une valeur quelconque de x.
(nio(l./j)
ou, ce qui revient au même,
(i3) [{x) = {,x-rYo{x) (mod. /j),
0(0?) désignant une fonction entière, à coelficients entiers ('), et du degré m — i, déterminée par la formule
(') Il est aisé de reconnaître que les coeffîcicnts des diverses puissances de x — /■, dans le second membre de l'équalion (8), savoir
se réduisent toujours à des quantités entières, et que ces quantités sont divisibles par p, quand les fractions (pii les représentent offrent des numérateurs divisibles par p.
Par conséquent, on pourra présenter l'équivalence (7) sous la forme
(i5) {a: — ryo{œ) = o (motl./»)
et considérer cette équivalence comme offrant un nombre i de racines égales à r. Les autres racines devant nécessairement vérifier la formuler
(16) o{a:)^o {moû. p),
dont le degré est m — i, il est clair que, dans l'hypothèse admise, l'équivalence (7) admettra au plus m — i -h i racines distinctes dont l'une sera la quantité r.
Réciproquement, si l'équivalence (7) peut être présentée sous la forme (i5) (j; — /•)'o(^) = o (mod.p),
o(x) désignant une fonction entière de x, à coefficients entiers et du degré m — i, on en conclura que les conditions (12) sont remplies. Alors, en effet, on aura identiquement
(i3) f(j7) = (^- — /•)'■? (r) (mo(l./>)
ou, ce qui revient au même,
(17) f(-î-) = (^ - ryo{.v) + x(.r),
y(x) étant une fonction entière et à coefficients entiers, qui devra vérifier, quel que soit x, la formule
(18) y{x)^o {mod.p).
D'ailleurs, la fonction 7(0:) étant, ainsi que les fonctions ((x) et (^ ry^(x), d'un degré m inférieur à/), la formule (18) ne pourra subsister, quel que soit x, à moins que les coefficients des diverses puissances de x dans le premier membre ne soient divisibles par p. Car, dans le cas contraire, cette formule offrirait l'exemple d'une équivalence qui admettrait plus de racines distinctes que son degré ne renferme d'unités. On aura donc nécessairement
yX^c) désignant une fonction entière de a? à coefficients entiers, et la formule (17) donnera
(20) Hx)=i{x — ry^{x)+p^{x).
Or, en différentiant cette dernière équation i fois de suite par rapport à X, et posant après les différentiations x = r, on retrouvera précisément les formules (12). On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème I. — Pour que l'équivalence (7) d'uji degré m inférieur àp Duisse être présentée sous la forme (i5), i désignant un nombre entier et o(x) une fonction entière, à coefficients entiers, du degré m — i, il est nécessaire et il suffit que les conditions {11) et {11) soient vérifiées.
Scolie. — Le théorème I ne subsisterait plus si le degré m du polynôme f(^) devenait supérieur ou même égal kp. Supposons en effet que, le nombre m étant égal à p, la lettre r désignant une quantité entière, la lettre i un nombre supérieur à l'unité, et l'expression o(x) une fonction entière de x du degré/? — i, l'on prenne
(21) f(^) = (^ — /•)'9(^) 4-^/' — JT.
Comme on aura, quel que soit x (en vertu du théorème de Fermât),
(22) jrP—œ = o (mod.yo)
et, par suite,
f(^) ~ (x — ry o{x),
l'équivalence (7) pourra être présentée sous la forme (i5), tandis que la valeur de f'(r) tirée de la formule (21) sera
{\r)=prP-'—i = — i (mod./>).
Nous avons remarqué ci-dessus que, dans le cas où l'équivalence (7), d'un degré m inférieur à/?, admet i racines égales à /■, le nombre des racines distinctes de cette équivalence ne peut surpassera— ï-m</72. Ce cas n'est pas le seul dans lequel le nombre des racines distinctes de l'équivalence (7) devienne inférieur au degré m, et il peut même
arriver que cette équivalence soit complètement insoluble. Ainsi, en particulier, puisque toute valeur entière de ^, non divisible par 3, vérifie la formule
^2=1 (niod.3),
il est clair que
^- = 2 (mod.3)
n'a point de racines.
Nous allons maintenant rechercher le nombre des racines distinctes
de l'équivalence (7), nombre qui, comme on vient de le voir, peut
devenir inférieur à m, ou même se réduire à zéro; et, pour y parvenir,
nous commencerons par résoudre le problème suivant :
Problème. — Etant données deux fonctions entières et à coefficients
entiers
dont les degrés m et l'im ne surpassent pas le nombre premier p, et le nombre des racines distinctes de l'équivalence
(7) f(x) = o (mod./:»)
étant supposé précisément égal au degré m de cette équivalence, on demande une nouvelle fonction entière et à coefficients entiers o^x) tellement choisie que le degré de cette fonction coïncide avec le nombre des valeurs distinctes de x propres à vérifier simultanément les deux formules
(28) f(j;) = o, fi(j:)E=o (mod./>),
et que chacune de ces valeurs vérifie encore V équivalence
(2^) 9(j7) = o (inod./^).
Solution. — Si, dans chacune des fonctions f(^), fj(-r), le coefticicnt de la plus haute puissance de x ne se réduisait pas à l'unité, on pourrait, en supposant ce coefficient divisible par /?, supprimer le terme qui le contient, ou, dans le cas contraire, substituer aux coefïicients des différents termes, à l'aide de formules semblables aux formules (2), de nouveaux coefficients dont le premier serait l'unité.
30i SUR L\ RÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC.
sans altérer ni le nombre ni les valeurs des racines distinctes de chacune des équivalences (23). Par conséquent, dans le théorème ci-dessus énoncé, on pourra toujours supposer les fonctions f(a^), fi(^) réduites à la forme
A,, A., . . ., A,„,, A,„; B,, B2, . . ., B^,, B^ désignant des quantités enlières. Soient maintenant Q le quotient et R le reste de la division du ])olynôme f(£r) par le polynôme f,(£r). Q et R seront des fonctions entières et à coeiricients entiers, l'une du degré m — /, l'autre d'un degré inférieur ou tout au plus égal à /— i, en sorte qu'on trouvera
CiO:'
c^,, Cf, . , ., c^2, Q-, désignant des quantités entières. De plus, comme
f(^) = Qf,(.r) + R,
on aura généralement
on en conclura
si les quantités
f(^) = Ofi(.r) {moû.p)
Cq, Cl, . • • , C/2» f"/-!
sont toutes divisibles par/?, c'est-à-dire si elles vérifient les conditions
o (mocl./>).
Ci=0,
Dans ce cas particulier, l'équivalence (7) du degré m pourra être présentée sous la forme
(3i) Qf,(^) = o (mod./>),
et, comme le nombre de ses racines distinctes sera précisément égal au nombre m, on conclura du théorème H de l'article précédent que l'équivalence
(32) fi(d?) = o (mod./>)
admet à son tour autant de racines distinctes que son degré /renferme d'unités. Alors aussi toutes les racines de la formule (32) vérifieront en même temps la formule (3i) ou (7), et, par conséquent, on pourra prendre
Si les conditions (3o) ne sont pas toutes remplies, alors, en désignant par c^A, le premier des coefficients
qui ne sera pas multiple de/?, et par C,, C., .. ., G/t,, C^ des quantités entières déterminées à l'aide des formules
(34) ;^^^C„ ^-^=^^C„ ..., -^^H3C.. (mod.p),
on trouvera
(35) R = c/,t-i(-^^-+-Ci^^-'-+- CoJ:'^-^ 4-. . .-i-C/i.,a---+-CA) (mod.yy); puis, en faisant, pour abréger,
(36) fi{^) = J?^-i-CiX^-'+ Coo;^---!-. . .-^C/c-i^ -h Ca-, on tirera des formules (28) et (35)
(3;) f(ar)-Qfi(a.)-l-6v/.,fo(^) {mod.p).
Or il résulte évidemment de la formule (37) que toute valeur de x, propre à vérifier simultanément les équivalences (23), vérifiera encore la suivante :
(38) U{^)-^o (mod.p).
Soient maintenant Q, le quotient et H, le reste de la division du polynôme f, (ir) par le polynôme f2(^). Q, et U, seront des fonctions entières, l'une du degré / — X-, l'autre d'un degré inférieur ou tout au plus égal à k — i, en sorte qu'on trouvera
( 39 ) R 1 = <^o -^^ ~' -+- ^A '^*~" H- ... 4- C^A-î .c -+- t/yt-i ,
OEinretdeC. — S. U. t.W. 89
c?o, <^i, d.>, . .., ^4-2» ^/f-) désignant des quantités entières. De plus, comme on aura généralement
(4o) f:(^) = Q,f2(^)-i-Ri,
on en conclura
(40 fi(^-) = Q.f2(^) {moù.p),
si les quantités
sont toutes divisibles par p, c'est-à-dire si elles vérifient les conditions
(42) dff-~o, di = o, ..., (iyt-o^o, rf^—i^o (mod.p). Dans ce cas, on tire de la formule (37)
(43) f(^)^(QQi + 6v,.-,)f,(^).
Par conséquent, l'équivalence (7) pourra être présentée sous la forme
(44) (QQ,-+-C/,.,)f,(^-)=o (mod.p);
et, comme elle offre, par hypothèse, autant de racines distinctes que son degré m renferme d'unités, l'équivalence
(38) f2(^) = o (mod.p)
jouira encore de la même propriété (ixnr le théorème II de l'article précédent). D'ailleurs, en vertu des formules (4i) et (4^), toute valeur de X propre à vérifier l'équivalence (38) sera évidemment une racine commune aux deux équivalences (23). Donc, si les conditions (42) sont remplies, on pourra prendre
Si les conditions (42) ne sont pas toutes remplies, alors, en désignant par c^A-A-i le premier des coefficients
Uq, «1, • • ., "A- — 2j "A — 1
qui ne sera pas multiple de p, et par D,, Do, ..., D^,, I)^ des quantités entières déterminées à l'aide des formules
(46) -^^^^^^l),, ^^-r/^^D,, ..., -^^]),^ (mod.p),
on trouvera
(47) R, = rf>t-A-,(jr''4-I),^''-'-t-D2j;-'' 2^...4-D/,,.r-i-I)/,) (mod./?); puis, en faisant, pour abréger,
(48) f3(^) — ^/'+I)i^/'-' 4- I)^^/'-^ -+-... + D/,i^-+-I)/„ on tirera des formules (4o) et (47)
(49) fi(^) = Qi f2(-37) + fl^A-A-i f3(^) (mod./>).
Or il résulte évidemment de la formule (49) que toute valeur entière de X propre à vérifier simultanément les formules (82) et (38) vérifiera encore la suivante :
(50) f3(^)=o (mod./j).
En continuant de la même manière, on déduira successivement des fonctions données f(^), f|(^) une suite de nouvelles fonctions
(5i) f,(^), Ux), ...,
dont la dernière sera précisément la valeur cherchée de '^{x). Pour obtenir ces nouvelles fonctions, il suffît d'opérer comme si l'on se proposait de trouver le plus grand commun diviseur algébrique des deux polynômes f(^), f)(^). de supprimer dans le reste de chaque division tous les termes dont les coefficients sont des multiples de//, de réduire ensuite le coefficfent de la plus haute puissance de a:- à l'unité, et les autres coefficients à des nombres entiers à l'aide de formules semblables aux équivalences (34), (4^). etc., enfin de s'arrêter au moment où cette réduction ne peut plus s'effectuer, c'est-à-dire au moment où l'on obtient un reste dont tous les coefficients sont des multiples de/?. Si l'on désigne par R/, ce dernier reste, ce sera le reste précédent
R/2, ou plutôt la fonction ii(jr), qui fournira la valeur cherchée de o(x), en sorte qu'on pourra prendre
Si tous les restes successivement obtenus offraient des coefficients non divisibles par/?, en sorte que le dernier reste, représenté par une quantité constante, fût lui-même non divisible par/?, on pourrait affirmer que les équations (28) n'ont pas de racines communes.
Le problème ci-dessus énoncé étant ainsi résolu, il sera facile de trouver, pour l'équivalence (7) dont le degré, par hypothèse, est inférieur i\p, le nombre des racines distinctes et non divisibles par/?. En effet, puisque, en vertu du théorème de Fermât, tous les termes de la suite
vérifieront la formule
(mod.p),
les racines dont il s'agit se confondront évidemment avec les racines communes aux deux équivalences (7) et (54). Cela posé, il suffira d'opérer comme dans le problème précédent, en substituant aux deux fonctions f(^), ^^{oc) les deux fonctions xP"^ — i, f(.r), pour obtenir une équivalence nouvelle
9(j7) = o (mod./?),
qui sera vérifiée par ces mêmes racines et seulement par elles. Le degré de cette nouvelle équivalence représentera donc le nombre des racines de la formule (7) distinctes et non divisibles par p.
Si à l'équivalence (54) on substituait l'équivalence (22), la formule (55), obtenue par la méthode que nous venons d'indiquer, fournirait les racines distinctes de la formule (7), dans le cas même où l'on supposerait le premier membre de cette formule divisible par x
OU par une puissance de x, c'est-à-dire dans le cas même où cette formule admettrait des racines divisibles par/?.
Si l'équivalence (7) n'admettait point de racines, les équivalences (7) et (22) n'auraient point de racines communes, et l'on en serait averti par le calcul même, conformément à la remarque que nous avons faite ci-dessus.
Si la formule (7) n'admet qu'une seule racine distincte de zéro, l'équivalence (55), déduite de la considération des formules (7) et (54), sera du premier degré seulement, et fera connaitre la racine dont il s'aofit.
Pour montrer une application des principes que nous venons d'établir, cherchons combien l'équivalence
(56) jc^—x-^i^o (mod.7)
admet de racines distinctes, ou, ce qui revient au même, combien il y a de racines communes entre cette équivalence et la suivante :
(57) 576 — 1 = 0 (mod.7).
On trouvera, en effectuant la division de ^r" — i par ^' — a? -h r,
puis, en effectuant la division de o;^ — -r -h i par x- — ix,
J?'— ^4-1= (J7^ — ix) {x -\- 2) -h3j74- I
= {x'-—ix){x^i)^^{x + ^^)
ou, ce qui revient au même,
x' — .r + I = (j7-— îijr) (j7 -t- 2) H- 3(j7 — 2).
Enfin X- — IX sera exactement divisible par x — 2, ou, en d'autres termes, le reste de la division de x^ — ix par x — 1 sera équivalent à zéro, puisqu'on aura
Donc la formule (56) n'admettra qu'une seule racine distincte de zéro.
et fournie par l'équivalence x — 2^-0 (mod. 7) ou
(58) ir~2 (mod. 7),
ce qui est exact.
Dans l'exemple que nous venons de choisir, on pourrait simplifier le calcul en observant que le polynôme x- — ix est évidemment le produit des deux facteurs x, x — 2, et que le second de ces deux facteurs est le seul qui divise le polynôme
œ^ — œ + \ = {x — 2) {x'^ + ix -^ 2,).
On doit immédiatement en conclure que la formule (57) a pour racine unique le nombre 2.
Cherchons encore combien l'équivalence
(59) x^-\-x-\-i = o (mod. Il)
admet de racines distinctes, ou, ce qui revient au même, combien il y a de racines communes entre cette équivalence et la suivante :
(60) j:.io i==o (mod. II).
Dans ce cas, on trouvera successivement
^10 ,^ (^3^^- + l) {x'—x"'-- x'^-h X-'-^IX-—?,) — 2^*-^3^-f-2
= {x^- ^ [^x — i) {x — f^) + 1%{X — 'i), x--\- [\x — I = (jr — 2) {x + 6).
Donc la formule (Sq) aura encore pour racine unique le nombre 1.
La méthode exposée dans ce paragraphe ne diffère pas de celle que M. Libri a donnée dans le Tome 1 de ses Mémoires. Lorsqu'on applique cette méthode à la recherche de l'équivalence de condition qui doit être vérifiée pour que deux équivalences aient au moins une racine commune, on se trouve précisément ramené à la formule (iG) de la page 1G4 du Volume I des Exercices (' ).
(') OEuvrcs de Cauchj, S. II, T. VI, p. -'.07.
§ II. — Sur la résolution des équivalences binômes.
Supposons que la formule (7) du paragraphe précédent se réduise k une équivalence binôme ou de la forme
^'"4-K = o (mod./?),
K désignant une quantité entière non divisible par/;.
Si l'on écrit — A au lieu de + K, cette équivalence deviendra
X>n — A SH O {VAOÙ. p)
OU, ce qui revient au même,
(i) a:"'~k (mod./?).
Soit d'ailleurs r une racine primitive de l'équivalence
(2) ^p-'=i {mo(\.p).
La quantité A = — K, n'étant pas divisible par />, sera équivalente, suivant le module />, à l'un des termes de la suite
(3) I, r, r\ ..., rP-^-
(voir le théorème VII de l'article précédent, scolies 1 et II), en sorte qu'on pourra supposer
(4) A~H (mod./>), l'exposant «étant l'un des nombres
11 y a plus; si, deux de ces nombres étant représentés par i et par y,
l'on suj)pose
y~i, z=j (mod.^-i)
ou, ce qui revient au même,
t^, w désignant des nombres entiers quelconques, on trouvera
/■y—r^P-^^^r'^r', ,■- =z r^P-^^"^ rJ = r-i (mod./)— i);
et comme, i, j étant inférieurs k p — i, les deux puissances r', W ne pourront devenir équivalentes suivant le module/? qu'autant que l'on aura i —y, il est clair que la formule
(6) ry~r= (mod.p) entraînera toujours la suivante :
(7) ■ y = z (mod./j-i).
Cela posé, comme l'équivalence (i) n'admettra point de racines divisibles par p, on pourra supposer encore
puis on tirera des formules (i), (4), (8)
(9) r""'=r' (moû.p) et, par conséquent,
(10) mu^^i (mod./) — 1) ou, ce qui revient au même,
(11) mu=z i -^ {p — \)v,
V désignant un nombre entier. Donc, pour que l'équivalence (i) soit résoluble, il sera nécessaire et il suffira qu'on puisse satisfaire par des valeurs entières de u et de v à l'équation (i i); par conséquent, il sera nécessaire et il suffira que le plus grand commun diviseur de rti et de p — i divise i. Soit n ce plus grand commun diviseur. La formule
(13) r" '"" Hs I (mod./)),
qui peut être remplacée par la suivante
(i3) A « =1 (mod./)),
sera ou ne sera pas vérifiée, suivant que i sera divisible ou non divisible par n. Donc la formule (i3) exprimera la condition nécessaire et suffisante pour que l'équivalence (i) puisse être résolue.
Supposons maintenant que la condition (i3) se trouve remplie, et désignons par u une valeur particulière de l'inconnue u que détermine la formule (m). La valeur générale de la même inconnue sera
h désignant un nombre entier quelconque, et ce nombre pourra être choisi de manière que u soit positif, mais inférieur à ^^^— î-. Cela posé concevons que u représente la plus petite valeur de //. Les nombres
(i5) u, v-^I^^^^, u + a^iH-î-, ..., u + ( /^ 1 ) /^ ~ '
seront les valeurs de u inférieures à yo - i, et la formule (i) admettra les racines
/ /. X . , 'J H U + 2 -j + in — l) '.
qui seront toutes distinctes les unes des autres. Donc le nombre de ces racines distinctes sera précisément n.
Lorsqu'on suppose m = 2 et/>> 2, on trouve n = 2, attendu que /? — I est nécessairement pair. Alors la condition (i3) se réduit à
('/) A * =1 (motl.p).
D'ailleurs, p étant un nombre premier impair et A un nombre entier non divisible par/;, on aura généralement
('8) A/'-'=i (moû.p)
ou, ce qui revient au même.
(motl,^)
OF.uvres de C. — S. Il, t. IX.
OU
Donc l'équ
ivalence
ot, par conséquent,
(mod./j) {mod. p).
(mod./>)
aura deux racines distinctes ou n'en aura aucune, suivant que l'expression
sera équivalente, suivant le module/?, à -h * ou à — i.
Si l'on suppose m = 3, le plus grand commun diviseur n des nombres m ot p — i sera 3 ou i, suivant que /?, divisé par 3, donnera pour reste t ou —t. Dans le premier ras, la condition (t3) deviendra
(22) A ' = 1 (mod./)).
Dans le second cas, cette condition, réduite à la formule (iH), sera toujours vérifiée. Cela posé, on conclura des principes ci-dessus établis que l'équivalence
(28) a:^E;^A (mod./j)
admet toujours une racine, mais une seule, lorsque p — i n'est pas divisible par 3. Dans le cas contraire, l'équivalence (23) admettra trois racines distinctes ou n'en admettra aucune, suivant que la condition (22) sera ou ne sera pas satisfaite.
Soit encore m = 4. On trouvera n = ^ ou /i ~ 2, suivant que p — i sera divisible par 4 ou simplement par 2. Donc, si /> — i est divisible par 4» l'équivalence
(24) a;*=A (mod. /^)
SUR LA HKSOr.UTIOX DES ÉQUIVALENCES ETC. 315
admettra doux racines ou n'en admettra aucune, suivant que la condition
(■i5) A * =1 (mod./))
sera ou ne sera pas remplie. Mais, si yo — i est divisible simplement par 2, l'équivalence (24) admettra deux racines distinctes ou n'en admettra aucune, suivant que la valeur de A satisfera ou non à la condition (17), c'est-à-dire suivant que cette valeur vérifiera la formule (17) ou la formule (f9).
Soit enfin m = G. On trouvera /? — 6 ou /? = 2, suivant que/j — i sera divisible ou non divisible par 3. Dans le premier cas, la condition (i3) donnera
(•,>.6) A * ie:; I (mod./>).
Dans le second cas, cette condition se trouvera réduite à la formule (17). Donc, en vertu des principes ci-dessus établis, si /? — i n'est pas divisible par 3, l'équivalence
(mod.yw)
admettra deux racines distinctes ou n'en admettra aucune, suivant que la valeur de A vérifiera la formule (17) ou la formule (19). Mais, si/> — I devient divisible par 3, l'équivalence (27) admettra six racines distinctes ou n'en admettra aucune, suivant que la condition (26) sera ou ne sera pas vérifiée.*
Généralement, si l'on suppose m=^ n, n étant un diviseur de/> — r, l'équivalence (t), réduite à la forme
(mo(l./>),
admettra/? racines distinctes, respectivement équivalentes aux quantités (iG), ou n'en admettra aucune, suivani ((ne la condition (r3) sera ou ne sera pas vérifiée.
Si l'on suppose A = i ou, ce (jui revient an même, « = o, on trouvera u = 0. Dans ce cas, la condition (r3) sera toujours vérifiée, et
l'équivalenco (i), réduite à la forme
(29) .a7"'=i (mod.p),
n'admettra point d'autre racine que l'unité, si m est premier à /? — i. Mais, si le contraire arrive, en nommant toujours n le plus grand commun diviseur de m et de/? — i, on obtiendra, pour racines de l'équivalence (29), les différents termes de la suite
qui seront en même temps racines de l'équivalence ^"eesi (mod./?). On arriverait directement aux mêmes conclusions en ayant égard au théorème V de l'article précédent.
Si, pour fixer les idées, on prend successivement m = 2, m = 3, m = l\, . . . {p étant > 2), on reconnaîtra : 1° que l'équivalence
(3i) ^2=1 (mod./j)
admet toujours deux racines distinctes, savoir +1 et — i; a*' que l'équivalence
(32) x^=i {moû.p)
admet deux racines distinctes de l'unité, lorsque /; — i est divisible par 3, et la seule racine i dans le cas contraire; 3" que l'équivalence
(33) x'^^m (mod./j)
admet les seules racines 4-1 et — i, lorsque ^~' est impair, et, de
plus, deux autres racines distinctes, lorsque ^"' est un nombre pair;
Il est bon d'observer que, si A difft^re de l'unité, il suffira de multiplier par r-* les quantités (3o) pour reproduire les diverses racines de la formule (i).
Observons encore que, étant donnée une équivalence complète du second degré
(34) «0-^'-+- «1-^ H- «2^ o (mod.yo),
SUR LA UESOLUïlON DES EQUIVALENCES ETC. 317
dans laquelle a„, a^, a^ sont des nombres entiers, oXp un nombre premier impair qui ne divise point «„» i' suffira de poser
et de diviser ensuite par a,, les deux membres de la formule (34), pour la réduire à l'équivalence binôme
(36) y^—\~o (inod.yj),
A désignant un nombre entier choisi de manière que l'on ait
(mod./?).
D'ailleurs, l'équivalence (36) admettra deux racines distinctes ou n'en admettra aucune, suivant que la valeur de A vérifiera la condition (17) ou (19). Donc, par suite, l'équivalence (34) admettra deux racines distinctes, si l'on a
(38) (a'r-4«o«2) ' =(4«g) ' (mod.vD)
ou, ce qui revient au même,
{a\— [\a^a.i) * ^i (mod./?),
tandis que la même équivalence n'admettra point de racines dans le cas contraire.
Concevons, pour fixer les idées, que l'équivalence (34) coïncide avec la suivante :
\o) x'^-^x — i^o (mod. 11).
La condition (39), ou
(40 5'= I (mod. 1 1),
sera remplie. Donc l'équivalence (4o) admettra deux racines distinctes, qui se confondront nécessairement avec deux des racines de
la formule
,c'° — I ^2 o (mod. 1 1).
On Irouvera effectivement
.i?'"— 1= (^2^^ — i)(^8^''+2^«— 3^s+5^*+3^3^2a72+^ + i) (mod. ii; D'ailleurs, il suffira de poser
(42) a; = y—^ = y-ho (mod. ii), pour réduire la formule (4o) à l'équivalence binôme
r^+ 29 = o (mod. 11) ou, ce qui revient au même, à la suivante
(43) 72= — 29 = 4 (mod. Il); et, comme on tirera de cette dernière
(44) 7 = ±2, la formule (42) donnera
Donc
(46) j; = 5 — 2 = 3 et ^=5 + 2 = 7 (mod. Il)
seront les deux racines de l'équivalence (4o), ce qui est exact.
La méthode par laquelle nous avons déterminé ci-dessus le nombre des racines distinctes d'une équivalence binôme ou d'une équivalence du second degré était déjà connue, et peut se déduire, comme l'a remarqué M. Libri, des principes exposés dans le premier paragraphe. Ainsi, en particulier, si n est un diviseur de p — r, en sorte qu'on ait
la division de œP~^ — i ou x'"^ — i par x" — A donnera pour quotient
et pour reste A'^— i. Donc, en vertu des principes que nous venons de rappeler, l'équivalence (28) admettra n racines réelles ou n'en
SLR LA RÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC. 319
admettra aucune, suivant que la condition
(48) A'^— i = o (mod./?)
sera ou no sera pas vérifiée. Or la condition (\S) ne diffère pas de celle que présente la formule (i3).
Ajoutons que, pour ramener la résolution de l'équivalence (i) à la résolution de l'équivalence (lo), qui est du premier degré seulement, il suffit de connaître la valeur de i déterminée par la formule (4). On y parviendra sans peine, quel que soit A, si l'on a formé une Table dans laquelle, aux nombres
correspondent les diverses puissances de r dont les degrés sont indiqués par ces mêmes nombres, ou plutôt les restes qu'on obtient en divisant les puissances dont il s'agit par le nombre premier/?. On peut placer dans la première colonne de la Table ces restes qui, rangés dans un ordre convenable, seront respectivement égaux aux nombres
puis, en considérant chacun de ces derniers nombres comme une valeur particulière de A, écrire à sa suite la valeur correspondanle de i, qui représentera ce qu'on nomme Y indice de A, ou d'un nonibn» équivalent à A, dans le système dont la hase est /'. Cela posé, il est clair que, relativement à un nombre premier/?, il existe aulanl de systèmes d'indices qu'il y a de racines primitives ou de nombres entiers, premiers à/? et inférieurs à/?. Dans chacun de ces systèmes, les indices jouissent de propriétés analogues à celles des logarithmes. Kn effet, soient /, y , h les indices de deux nombres entiers A, R et de leur produit AR, en sorte qu'on ait
(^9) A EH/-', ^~rJ, ABï^/'' (mo(L^),
rdésignanf une racine primitive d(» p. On tirera des équivalences {\(.))
(5o) r'*^r'-^J (mod./?)
et, par suite [attendu que la formule (6) entraine toujours la formule (7)],
(5i) A = /+y {mod.p — i).
Donc, si l'on représente l'indice de A, à l'aide de la lettre caractéristique I, par la notation I(A), on aura
(52) I(AB) = I(A) + I(R) (mod./j — I). On trouvera de même
I(ABG) = I(AB) + I(C) = I(A) + I(B) + I(C) (mod./.-i) et généralement
(53) I(ABCD...) = I(A) + I(B)+I(C) + I(D)+... (mod./.-i),
quel que soit le nombre des facteurs A, B, G, D, Si, ce nombre
étant désigné par w, les facteurs A, B, G, D, . . . deviennent équivalents à une même quantité x, la formule (53) donnera
(54) I(^'") = /«I(^) (mod.y^ — i). On peut donc énoncer la proposition suivante :
IJ indice du produit de plusieurs nombres est équivalent à la somme de leurs indices, suivant le module /> — i .
L'indice d'une puissance du degré m est équivalent, suivant le module p — i, à l'indice de la mcine multiplié par m.
Kn vertu de la dernière proposition, l'équivalence (i) entraînera la formule
(55) ml{œ) = l{\) {mod.p — i), de laquelle on tirera
(56) I(^)^L1A] (mod./)-,).
L'équivalence (56), dans laquelle {(x) est précisément la plus petite des valeurs positives de w, propres à vérifier la formule (10), montre
comment, à l'aide d'une Table d'indices, on peut résoudre l'équivalence (i). (Voir, fonr plus de détails, l'Ouvrage de M. Gauss, intitulé : Disquisition es arithmeticœ . )
Observons enfin que toute équivalence du second degré, étant réductible à une équivalence binôme, pourra encore être résolue, si le module /? est un nombre premier, à l'aide d'une Table d'indices dans laquelle on aurait pris pour base l'une quelconque des racines primitives de p.
En terminant ce paragraphe, nous ferons remarquer, avec M. Gauss, qu'il est facile de résoudre l'équivalence (i), toutes les fois que, la condition (i3) étant remplie, les nombres m et ^^-^^ sont premiers
entre eux. Alors, en effet, on pourra trouver deux quantités entières v, w propres à vérifier la formule
(07) nnv— f^ î-
et comme on aura par suite, eu égard à la condition (i3),
(58) AhhA'"^ « "=A"'"' (mod./;),
il est clair qu'on résoudra l'équivalence (i), ou (■J9) ^.m^X""'' (mod./?),
en prenant
(^o) j" = A"' (iriod./>).
Considérons, pour fixer les idées, l'équivalence (60 ^«=3 (mod.23).
Dans ce cas, on trouvera n = 2, et la condition (r3), réduite à
3" = i (mod.23)
sera remplie. De plus, les exposants i 1 , G étant premiers entre eux, on pourra choisir v, <r de manière à vérifier la formule
I I (• H- I =1 Gir, CEiiiTcs de C. — S. II, t. IX.
à laquelle on satisfait en prenant ç ■— i, w = 2.. Par suite, on n'soudra la formule (Gi) en supposant
(62) j" = 3-=9 (mocl.23),
ce qui est exact. Ajoutons que, le nombre n étant égal à 2, l'équivalence (61) admettra seulement deux racines distinctes, savoir
(63) -^ = 9, j:- = — 9 = 1/4 (mod.23).
En général, lorsque le carré de n ne divise pas /? — i, l'équivalence (i ) peut toujours être résolue par la méthode que nous venons d'indiquer, et les formules (67), (Go) donnent
(64) o^^A'"^'^ « "^ (mod.p), V étant choisi de manière que la quantité
ni \ n
soit entière. Par suite, si /? — i n'est divisible qu'une fois par le nombre 2, on vérifiera l'équivalence
(20) j:--=A (mod./)),
lorsqu'elle sera résoluble, en prenant
(65) .r = \-'^ -^ J==\ ^ (mod.p).
De même, si /? — i n'est pas divisible, ou s'il est divisible une seuh' fois par le nombre 3, on vérifiera l'équivalence
(28) x3=A {mod.p),
supposée résoluble, en prenant, dans le premier cas,
(66) ^= A^^*"^"^"" H^A ' (mod.p), et, dans le second cas,
(67) jc = A'^ 3 ;=4 9 (mod.p),
SUR LA KÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC. 323
ou bi<'n
(68) o-^A^^"*" =* ^^A '■> (mod.p),
selon que p — i divisé par 9 donnera pour reste G ou 3, etc. Ainsi, par exemple, on résoudra la formule
(69) ■ ^'^=12 (mod.23),
en prenant
(70) a^ = 12"»"'^"'= i2'5=8'«.3'5= 35=13 (mod.23).
Toutes les fois que le nombre n se réduit à l'unité, la formule (64)
donne
(71) a;~A "' (mod.p), V étant choisi de manière que la quantité
soit entière, et cette formule détermine la racine unique de l'équivalence (i). Mais, lorsque le nombre /z surpasse l'unité,/? — ! n'étant pas divisible par ri\ l'équivalence (i) admet plusieurs racines, dont une seule est déterminée par la formule (64); et, pour les obtenir toutes, il suffît de multiplier le second membre de cette formule par les diverses racines de l'équivalence (29) ou, ce qui revient au même, de la suivante :
(72) x"^ = \ (mod./>).
D'ailleurs, si l'on suppose n = 2, la formule (72), réduite à
(3i) x'^=\ (niod.y^),
aura pour racines — i et -f- 1 . Donc, si /> — r est divisible une seule fois par le nombre 2, ré({uivalen('e
(20) j:-i^A (mo(l./>)
32i SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC.
admettra les deux racines
(7^) J^ = A *., .r~— A * (motl./y).
Ainsi, par exemple, on résoudra la formule
(74) a^^=3 (mod.ii), en prenant
(75) j7 = 3'=5 ou x~—o = 6 (mod. Il), et la formule
(76) x2~-3 (mod.Si), en prenant
(77) j7=3»~2o ou J7 = — 20 = 11 (mod.Si). D'autre part, si l'on a /^ = 3, la formule (72), réduite à (>^2) x^~i (mod./>),
donnera
(7^) j; = i (mod. y?)
ou
(79) .r-4-j7-M = o (mod./»), par conséquent
(80) (2^4-,)2 = 3 (mod./;)î
et comme, en supposant/? — i divisible une seule fois par le nombre 2,
on tirera de la formule (80)
p+i (80 2jc-hi~±{—3) ' (mod./?),
il est clair que, dans cette hypothèse, les trois racines de l'équivalence (32) seront respectivement
(82) ^^i, ^^ZH-HlziLl, ^^ZLL±iz:il^ (mod./?).
SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC. 325 Donc, si /? — I est divisible une seule fois par chacun des nombres 2 et 3, l'équivalence
(23) ^'^A (moû.p)
admettra trois racines qui seront respectivement
(83) x~A « , ou bien
(mo(l.//j,
A ' (mo(l./j),
selon que p — i, divisé par 9, donnera pour reste G ou 3. Ainsi, par exemple, les trois racines de l'équivalence
(85) seront
j;'^4 (mod.Si)
16 ^ 5 .16 ^H — i3 i6s— 6.iG^ — 3
(mod.3i).
Si, la condition (i3) étant remplie, les nombres m, cessent
d'être premiers entre eux, et si l'on désigne par w leur plus grand
commun diviseur, le nombre — sera premier à — ? pourvu qu'il
soit premier à w, et l'on pourra, dans cette hypothèse, trouver deux quantités entières v, w propres à vérifier l'équation
On aura, par suite, eu égard à la condition (i3),
ot il est clair qu'on résoudra l'équivalence (i) en choisissant x de manière à vérifier la formule
{>^9) x'^=K'" {moû.p),
de laquelle on tire
œ"'^{x^Y>=K~^=K (mod./j).
D'ailleurs l'équivalence (89) sera du nombre de celles qui peuvent
èlre résolues. En effet, w, divisant à la fois m et ^-^, par conséquent
m et/; — I, sera diviseur de n. Donc la formule (i3) entraînera les suivantes :
<9o) A'-^Uw =i"^=i (mod.yj),
/'-■ • /^ (9') (A'^) «^ ^A*^ =1 {moà.p).
Or la formule (91), semblable à la formule (i3), exprime précisément la condition à laquelle A"' doit satisfaire pour qu'on puisse résoudre l'équivalence (89).
Il est bon d'observer que, w étant diviseur de n, w- sera diviseur de p — \. Donc il est toujours facile, dans l'hypothèse admise, de réduire l'équivalence (i) du degré m à une autre équivalence dont le degré w soit la racine d'un carré qui divise p ~i. Lorsque p — i n'offre pas de diviseurs carrés dont les racines divisent l'exposant m, le nombre w coïncide avec l'unité, et la formule (89) ou (60) fournit une racine de l'équivalence (i).
^ III. — Sur la résolution des équivalences du troisième et du quatrième degré.
Etant donnée une équivalence du troisième ou du quatrième degré, on peut, à l'aide de la méthode exposée dans le premier paragraphe, décider si cette équivalence admet autant de racines distinctes que son degré renferme d'unités. Dans le cas contraire, on pourra toujours, à
SUll LA RÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC. 327
l'aide do la même méthode, ou s'assurer que l'équivalence proposée iia point de racines, ou la réduire à une équivalence de degré moindre. Pour cette raison, nous nous bornerons, dans ce qui va suivre, à considérer les équivalences du troisième ou du quatrième degré (|ui admettent trois ou quatre racines distinctes.
Considérons d'abord une équivalence complète du troisième degré ou de la forme (i) a^x'^^ a^x'^^ aiX + a^^o (mod./?),
p désignant un nombre premier et a», «,, «o, «., des quantités entières dont la première ne soit pas divisible par/>, ou même des quantités rationnelles. Si l'on fait
(3) x^y~^ (mod./?),
la formule (i) deviendra
(3) jî+B/-f-C = o (mod./>),
B, C étant des quantités rationnelles que l'on pourra réduire à des quantités entières. D'un autre côté, si l'on désigne par
les racines de l'équation
(4) j3^Bk4-C = 0,
et par p une racine primitive de la suivante
(5) ^ x'—i, p,, p.j seront les deux racines de
(6) X- + X ^1 = 0, et l'expression
considérée comme fonction des racines des équations (4). {^)^ n'aura,
comme l'on sait, que deux valeurs distinctes, savoir
[■rix+ pri-î-i- p--<l:)\" /'■^i + P^"^2H-p'n3
(8) .,-, 3 j. .,-^ —3 qui serviront elles-mêmes de racines à la réduite
Cela posé, concevons que l'équivalence (3) admette trois racines distinctes
et que le nombre/; — i soit divisible par 3. L'équivalence
(10) j7^=i (mod./>)
offrira elle-même trois racines distinctes, dont la première sera l'unité, les deux dernières étant propres à vérifier la formule
(11) ^-+^4-1 = 0 (mo(l.yy).
Si l'on nomme r l'une de ces deux dernières, l'autre sera représentée par r-, et si l'on fait
/, N /.r,-f- /■.r2+ /'-.vA^ /y ^ r-v,-i- rv-iY , . x (i?0 "i = (^ -r^ —)^ i^^.= \^- Y ) (mod./>),
u^ , Wo seront, en vertu du théorème XVII de la page 294, les deux racines de l'équivalence du second degré
(i3) «-+C« — -^=0 (mod. /?).
Comme on aura d'ailleurs
rji + rio + rys— o, (»4) \ (-^1 + p-^2+ 0^7)3) (-rîi + r;--(],-^p-(].^) = r,] ^-nl + fil — Tun. — nir,^ — -n^rn
= — 3 (-^lY]. + yîiY/j + Yî,y!.j) =— 3R,
e corollaire I du théorème XVII de la page 294 donnera
j ri+r2 + j'3 = o (mo(l./>),
( (Ji + fJ-2 + /--/s ) (ji + f'-fi + rvs ) = 3 R ( mod. p ]
SUR LA liÉSOLLTION DES ÉQUIVALENCES ETC. 329
A l'aide de ces formules, on réduira la résolution de l'équivalence (i) ou (3) à la résolution de deux équivalences du deuxième degré, et d'une équivalence binôme du troisième degré. En effet, supposons
, ,. , .r, + ry, + /•« j, 7l + /^^y,4-/•.r:, (.6) . 3 = ^\, 3 -^V
Il sulfira, pour déterminer f,, de résoudre : i** les équivalences du deuxième degré (ii) et (i3); 2° l'équivalence binôme du troisième degré
(17) • «'Î^Wi (mod./)),
après quoi l'on déterminerait» ^i B n'est pas divisible par />, :i l'aide de la formule 9Ç',ç^o^^— 3B, ou
(18) CjEe:— — - (motl./^),
et y,, Vo, V;, à l'aide des formules
(lesquelles on tire
(•9) Ji=='"i+»'2» 72='"-t'i + '"<'2» J3= /'<'i+ '■"«'2 (mo(l./v).
Si B devenait divisible par/?, l'une des racines de l'équivalence (i3) serait équivalente à zéro, et, en désignant par //, l'autre racine, on devrait à la formule (17) joindre la suivante
PjHHo (mod./?).
Il importe d'observer (|u'en vertu des formules (12) on aura
Donc, puisque chacune des équivalences (3), (10) admet, par hypothèse, trois racines distinctes, et qu'en conséquence aucune des différences r — r-, y, — y^, y, —73, Jo — Ji) n'est équivalente à zéro suivant le module/?, la différence //, — u., ne sera pas non plus écjui-
OEuvies de C. — S. M, t. IX. [\^.
330 SUIl I \ IIÉSUF.UTION DES ÉQUIVALENCES ETC.
valonle à zéro, et la formule (i3) otïVira encore deux racines distinctes. Cela posé, la condition (38) du § II donnera
/C- B3\ ■' (21) [j'^^J "^^ imod.p).
De même, l'équivalence (17) devant être résoluble, et p — i étant divisible par 3, on tirera de la formule (i3) du § II
(■22) «j ^ sH I (inod./?)
et, par suite, si B n'est pas divisible par/j,
'izi 'izl il:zl I B3 \~^ /'zi \"3/ (23) //,•> +«,3 =«j^' -|/--__j ^,,^:i +A — .^__ — = 1 + 1==.^ (mod./>).
D'autre part, on aura, en vertu du théorème X de la page 282,
•j,, 'Jo désignant les deux racines de l'équation (9), don( les valeurs seront
Donc la formule (23) pourra être réduite à
r C /c^ B^xn » r c /c^ Bnn ^ ^ ,
ou, ce qui revient au même, à
SLII LA KÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC. 331
Ainsi, lorsque,/? — i étant divisible par 3, et B non divisible par/;, l'équivalence (3) admet trois racines distinctes, les valeurs des quantités B, C vérifient les conditions (21), (27). Réciproquement, si ces conditions sont vérifiées,/? — i étant toujours divisible par 3, et B non divisible par/?, chacune des équivalences (i) et (3) admettra trois racines distinctes. En elïet, eu égard à la condition (21), l'équivalence (i3) sera résoluble. Désignons par //,, //,, ses deux racines, et faisons
La condition (27) ou (23) donnera
^ 4- - = 2 (mod./;)
ou, ce qui revient au même, et, par conséquent.
(mocl./j)
(mo(]./?).
Donc la condition (22) sera elle-même remplie, et l'équation (17) sera résoluble. Cela posé, les formules (18) et (19) fourniront évidemment des valeurs de j,, 7^,73 propres à vérifier l'équivalence (3).
Si, les conditions (21), (27) étant remplies, le nombre/? — j n'est divisible ni par 4» ni par 9» la résolution des équivalences (i i), (i3), (17), dont les deux premières peuvent s'écrire comme il suit
(mo'A.p),
et, par conséquent, la résolution des équivalences {]) ou {'à) s'ellectnera sans peine à l'aide des formules ((Î7), (,(38), (69 ") du paragraphe précédent.
Pour montrer une application des principes (|u<' nous venons d'ex- |)0ser, considérons l'équivalence
j;^— 3j;*H- i5a' — I ^ o (mod.3i).
332 SUR LA HÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC.
Drins ce cas, le nombre p — y =^ 3o sera multiple de 3, sans être divisible ni par 4, ni par 9, et l'on vérifiera la formule (ti) ou (28) [voir les formules (77) du §11], en prenant 2x -t- i = ± i t, par consécfuent
■f = — — =" — On pourra donc supposer
(3,) ,. = z:lziU:=o.
De plus, si l'on fait
la formule (3o) deviendra
(33) j'h- 13/ + 12 ^o (mod.3i).
l^n comparant cette dernière à l'équivalence (3), on trouvera
(35) ~=6, î± + î^! =62+4-^=5 + 2 = 7 (mûd.3i). 2 4 27
Cela posé, les conditions (21), (27) donneront
(36) 7'5=, (niod.Si) et
6i"H ^6^7H +T-7-6«.7-H ^—/-Q'.f-] ^6^7*+ 7-'= i (inod. 3i
ou, ce qui revient au même, attendu que l'on aura (y'r^£— i, 7"'=rEE2,
