q ^ io.Q
— ^ EEEEE 2 . 7 et — ^^^ ^^ — 7,
(37) —6 + 2.6^72—2 + 2.6.7 + 2^6^72+2.7^=1 (mod.30.
Or, les formules (3G), (37) étant vérifiées, on doit en conclure que l'équivalence (3o) ou (33) admettra trois racines distinctes. Rfï'ecfivernent, la formule (i3) ou (29) deviendra
(38) (« + 6)2=7 (mod.3i),
SUR LA HÉSOLLTIUN DES ÉQUIVALENCES ETC. 333
ot l'on on lir(»ra Ivoir los (bnnulcs (73) du § II]
(89) « -f-r) = ±:7»ss± 10 (mod.Si).
On pourra donc supposer
(4o) wj- 10 — 6 = 4,
et l'équivalence (17), réduite à
(40 tl^d (mod.Si),
aura pour racines [voir les formules (86) du § IIJ les (rois (juantilés iG, — 3, — i3. Cela posé, on pourra prendre
(42) <'i^i(3, rVi = —3, /■2('i = — 13 (mod.3i); et, comme on tirera de la formule (18)
(43) v., = -^ ~—\ ^-S (ino(1.3i),
on trouvera encore
(44) i^, = — S, /-l'i^— 14, /■-i'i = — ij (mo(l.3i).
Donc enfin les formules (19) donneront
(45) j,= i6— 8 = 8, J2HS — 13 — i4h=4, j'j=- — 3 — 9=-i-.>. (inod.3i). Ainsi l'équivalence (33) aura pour racines
(46) 7 = 8, /=4, r--i2 (mocl.3i),
ce qui est exact. Les racines correspondantes de l'équivalence (3()), calculées ii l'aide de la formule (3-2), seront évidemment
(47) j^- = ii, x E= — 9 (ino(l.3i).
Considérons maintenant une équivalence ('<)m|)l(>te du (|ualrièn»e degré ou de la forme
(48) ao.r'-t- a,.r^4- «72.r-+ rt;,a' -i- ^iSH o (ino(L/;),
334 SLR LV RÉSOLUTION DES ÉQ Ul VALIîINCES ETC.
/> désignant un nombre premier, et a^, a,, a.,, a^, a,, des quantités entières dont la première ne soit pas divisible par/?, ou même des quantités rationnelles. Si l'on fait
(49) j:- == r — — - ( mod. lA,
ré([uivalence (48) deviendra \
(•^o) r^+Rv'+Cj + D -so (inod./j),
H, C, 1) étant des quantités rationnelles que l'on pourra réduire à des (fuantités entières. D'un autre côté, si l'on désigne par
•^'1. T^s, ri:j, Y^4
les racines de l'équation
(•^0 j^4-B7^-i-Ck + I)=:o,
l'expression
'fl\ — -^2+ ■^:)—- "^/iX"
considérée comme fonction de ces racines, n'aura, comme l'on sait, ([ue trois valeurs distinctes, savoir
'fii~ri^ + -f]^—Ti,,
"^i + '^2— fis — 'n'A'-
qui serviront de racines à la réduite
Cela posé, concevons que l'équation (5i) admette quatre racines distinctes
ri' J2» fi, j\.
SLU LA KÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC. 335
et taisons
( ,, „r.ri-r2 + .n-j4
Ax.
^ a^^l--^^ — ^^^^'-^' ) > (niod./^j,
/<,, «2» "s seront, on vertu du théorème XYl de la page 292, les trois racines de l'équivalence du troisième degré
(55) u'+-2\iu^+{W—^\))u — 0 = o (mod./?).
Gomme on aura d'ailleurs
\ (t^i — v)2+ -fii— -rik) {'ni-— Oi— ^3 + '^i) ("Oi + 'nî — 'n-i — -n:,) =■— 8C, on trouvera encore
A l'aide de ces formules, on réduira la résolution de l'équivalence (^4^ ) ou (5o) à la résolution de deux équivalences binômes du deuxième degré et d'une équivalence du troisième. En effet, supposons
v^^ll — 7-^ 73 +Z^ \ (niod.yw).
Il suffira, |)our déterminer v^, Co, de résoudre : T' l'équivalence (,55), qui est du troisième degré; 2" les deux équivalences du deuxième
degré
rf=«,, <'j=«i (mod./^),
336 SL U LA HESOLUTION DES EQUIVALENCES ETC.
après quoi l'on déterminera ^'3, si C n'est pas divisible par/;, à l'aide (le la formule Hci^'oCj^^ — 8C, ou
(60) i'3=EE— — ^ (mod.p),
et y,, r^, r.,, r^ à l'aide des formules
/i+J-24-j3 + j4 = o (mod./>),
desquelles on tire
(t)2) 1 J (mo(l./->).
Si C devenait divisible par/>, l'une des racines de l'équivalence (55) s'évanouirait, et, en désignant les deux autres par «,, //., on devrait aux formules (59) joindre, non plus la formule (60), mais la suivante :
('3EEE0 (mod.p).
Il est bon d'observer que l'on a, en vertu des formules (54),
(63) i(^—ii.,= {yi — y,){j-,~y^), (mod.^).
On peut en conclure que, si l'équivalence (5o) admet quatre racines distinctes l'une de l'autre, l'équivalence (55) admettra (die-mème trois racines distinctes. Si l'on fait d'ailleurs
(64) « + -— = U (moû.p),
SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC. 337 et (le plus
(G5) E=-(^B-^ + 4I)), F=^-(f ^'-1^'*^^') (nio'l-/^)'
l'équivalence (55) deviendra
(66) U='+EU-+-F = o (mod.p).
Supposons maintenant /> — i divisible par 1 On pourra déterminer les trois racines de l'équivalence (G6), correspondantes aux trois valeurs de u qui vérifient la formule (55), en suivant la méthode par laquelle nous avons résolu l'équivalence (4), et, comme les trois racines de l'équivalence (66) seront distinctes l'une de l'autre, si l'équivalence (5()) ofl're elle-même trois racines distinctes, il est clair que les quantités E, F satisferont alors généralement aux conditions que l'on déduit des formules (21) et (27), en y remplaçant B par E et C par F. On aura donc, en admettant que l'équivalence (5o) offre quatre racines distinctes.
¥J\ - H 1 =1 (mod
/F\ ' /¥' rj\
^ ip-i)ip-^i)(p-
-)(p--io)f¥\ -^ fV-
\'yl U
(niod. /->).
On doit toutefois excepter le cas où le coefficient E deviendrait divisible par p. De plus, chacune des formules (59) devant être résoluble, on aura encore, si i] n'est pas équivalent à zéro,
(69) u^' :^i, Uo' ^i (mod./;) cl, par conséquent,
'lui / (•! \~ï~
(70) 1/,^ ^ -'- ^i (mod./>).
OF.uuns fie C. — S. M. t. IX. 43
338 sua LA RÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC.
Cela posé, concevons que l'élimination de u entre les équations
produise une autre équation de la forme
(72) V^+GV^+HV + I = o.
On aura identiquement
(-3) V'^+GV^+HV + I=\V-«,- ;i^V-a,
et, par suite,
puis on conclura des formules (74), combinées avec les formules (69),
(75) G =-3, Hee:3 (mod./?) et
(76) C/^-' = i (rnod.p).
Donc, en définitive, les conditions (67), (68), (75) doivent être vérifiées toutes les fois que, p — i étant divisible par 3, et C, E non divisibles paryo, l'équivalence (48) ou (5o) offre quatre racines distinctes. Quant à la condition (76), il est inutile d'en faire mention, puisque, dans le cas dont il s'agit, elle sera toujours remplie. Donc, si les conditions (67), (68), (75) sont vérifiées, p — i étant divisible par 3, et C, E non divisibles par p, l'équivalence (5o) et, par suite, l'équivalence (48) offriront quatre racines distinctes. En effet, les conditions (67), (68) étant vérifiées, chacune des équivalences (55), (66) offrira trois racines distinctes l'une de l'autre. Désignons par Uf, u.,, u^
SUR LA RÉSOLUTION DES ÉOUIVALENCES ETC. 339 œlles de ces racines qui appartiendront à l'équivalence CÏj). Les quantités
Il ., - ,
seront les trois racines de l'équivalence
(78) V^-f-GV^+HV + I^o,
qui, en vertu de la dernière des formules (74)» deviendra
(79) V^-hGV^-f-HV-O-'^o.
De plus, les conditions (73), (76) étant remplies, la formule (78)
deviendra
ou, ce qui revient au même,
et ses trois racines seront équivalentes à l'unité. Donc les quantités (77) vérifieront les conditions (O9), (70), et les formules (59) seront résolubles. Cela posé, les formules (60) et (62) fourniront évidemment des valeurs de y,, y^, j:,, .y, propres à vérifier l'équivalence (5o).
Si, les conditions (()7), (<j8), (70), (7G) étant remplies, le nombre p — J n'est divisible ni par 4. "i P'^^i' 9» '^ résolution des équivalences (GG), (G9) et, par suite, la résolution des équivalences (5o), (11) s'effectueront sans peine à l'aide des formules (G7), ((nS), (G9) du paragraphe précédent.
(Concevons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse de résoudre l'équivalence
(81) o-^-h 4-3?^-+- 60-2+ i3j7 -f- 7 = o (niod.Si). Alors, en posant
(82) x—y-t=y-r, on obtiendra la formule
(83) 7* 4-9 V — 3^0 (mod.3i);
puis, en comparant cette formule à l'équivalence (5o), on trouvera
(84) R = o, C = 9, i)=-3. Cela posé, l'équivalence (55) deviendra
elle se confondra donc avec l'équivalence (33), dont les racines étaient 8, 4 et — 12, en sorte qu'on pourra prendre
(86) «1=8, «2=4, «3 = — 12 (mod.Sj).
Or, les valeurs précédentes de w,, u,, u, vérifieront les conditions (69), (70), ou
(87) 8>5=i, 4'^=!, (-12)'^=! (mod.Si). On pourra donc résoudre les équivalences (59) ou
(88) ^1=8, v\=\ (mod. 3i).
On tirera effectivement de ces dernières, en ayant égard aux formules (73) du § II, et à la condition 2^ = 1,
(89) i', = ±:8» = ±2-'* = it:2^ = ±:i6, v.,~±: [^^ = ± 2'^=z±2. Par conséquent, on pourra supposer
(90) ri=i6, (^2=2.
Les valeurs de v, , ç-, étant ainsi fixées, l'équivalence (Go) donnera
(9O <'3 = — ^ = -9=22 (mod.3i);
et l'on tirera des formules (62)
(92) ji~2o = -,i, j2=2, 73 = -4, j4=-i8 = i3 (mod.3i).
Telles seront les quatre racines de l'équivalence (83). Les racines correspondantes de l'équivalence (81), calculées à l'aide de la formule (82), seront respectivement
X^ — ll, d7~ I,
SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUIVALENCES ETC. 3il
Les équivalences (88) étant résolubles, et le nombre C = 9 n'étant pas divisible par 3i, on peut affirmer que, dans l'exemple précédent, les conditions (73), (7^^) se vérifient, ou, en d'autres termes, que l'équivalence produite par l'élimination de u entre les suivantes
(9/,) «■■' + 1 2 // 4- 1 1 = o, V=«'^ (motl.Si)
se réduit à la formule
(95) V^— 3V^-+-3V — 1^0 (mod.Si).
C'est, au reste, ce dont il est facile de s'assurer directement.
coxsri)F.Ri;s
