COMME DES MASSES CONTINUES

§ I. — Formules générales.

Dans la recherche des équations d'équilibre ou de mouvement des corps solides ou fluides, on peut considérer ces corps comme des masses continues, ou bien les regarder comme des systèmes de points matériels qui s'attirent ou se repoussent à de très petites distances. Dans la première hypothèse, il faut d'abord établir la théorie des pressions ou tensions exercées en un point donné d'un corps solide contre les divers plans qu'on peut faire passer par ce même point. J'ai développé cette théorie dans le Tome II des Exercices de Mathématiques C), et j'ai fait connaître les relations qui existent, dans le (;as d'équilibre d'un corps solide ou fluide, entre les pressions ou tensions et les forces accélératrices. Si, pour flxer les idées, on désigne par x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque; par p la densité d'un corps au point (^, r, r.); par p', p", p'" les pressions ou tensions que supportent en ce point et du côté des coordonnées positives trois plans respectivement perpendiculaires aux axes coordonnés; par A, F, E; F, B, D; E, D, C les projections algébriques des pressions/?', p", p" sur ces mêmes axes; enfln, par X, Y, Z les projections algébriques de la force accélératrice appliquée au point (x,y,z)', les relations dont il

(') OEuvrei de Cauc/ij, S. II, T. VU.

s'agit seront exprimées par les formules

3tô

dD dz

:ï::7 + 777 + pY = o,

d^ d\) dC

dans lesquelles x, j, :; sont prises pour variables indépendantes. Si les diverses particules du corps, au lieu d'offrir un état d'équilibre, sont en mouvement, alors, en désignant par X-, JJ, % les projections algébriques de la force accélératrice qui serait capable de produire à elle seule le mouvement effectif d'une particule, et prenant x, j, :;, t pour variables indépendantes, on obtiendra, à la place des équations (t), celles qui suivent :

/ dk l dx

1 dx

f ^ ' dx

dY JE ^

JD dz

-i-pY=piT,

dD dC „ -.

dy dz ^

Enfin, si l'on nomme E, •/], C les déplacements de la particule qui, au bout d'un temps t, coïncide avec le point {x.y^z), mesurés parallèlement aux axes coordonnés, on trouvera, en supposant ces déplacements très petits.

ïï =

dt- ' dt^

et, par conséquent, les équations (2) deviendront

JA dx

JF dx

JE \ dx

JF JE

Ty-^Tz^^^

JB JD dy dz

J^i dC"

ày

JG „ J'-ç

dt-

3'i.V SUR L'ÉQUILIBRE

Les formules (i), (2), (3) sont les véritables équations d'équilibre ou de mouvement intérieur des corps considérés comme des masses continues; et pour en déduire, par exemple, les lois de l'équilibre ou du mouvement des corps solides élastiques, il suffit de chercher comment, dans ces derniers, les pressions ou tensions A, B, C, D, E, F doivent s'exprimer à l'aide des déplacements H, y], t. Nous ferons, à ce sujet, les remarques suivantes.

Soient, au bout du temps t, a, ^, y les angles que forme avec les demiaxes des coordonnées positives une droite menée par le point (oc, y, z), et représentons par i la dilatation ou condensation linéaire t, mesurée suivant cette droite. On aura, en supposant que les déplacements H, ■/], 'C soient très petits,

l £ = -.— cos-a-+- -r- cos-s5 + -r cos^y \ ax âv âz '

[dn <K\ ^ ( ÔX dl\ fdt df)\ o

\ -^\ô^.^Ty) ^^'^^^'7 + [ô:^. + ^) cosy cosa + (^^ + j cos« cos^.

Donc, le système des dilatations ou condensations linéaires, mesurées dans toutes les directions possibles autour du point (œ,Y,:-), sera complètement déterminé, lorsqu'on connaîtra les valeurs des six quantités

qui, dans la formule (4)» servent de coefficients aux carrés et aux produits des cosinus des angles a, fl, y. Cela posé, admettons, comme nous l'avons déjà fait dans le IIP Volume (p. 167) ('), que, dans un corps élastique, la pression ou tension exercée contre un plan passant par un point donné (^, r, z) dépende uniquement des condensations ou dilatations linéaires autour de ce point, en sorte que, le système de ces condensations ou dilatations étant connu, on puisse en déduire le système entier des pressions ou tensions exercées contre les divers plans

(1) OEuvres de Cauchj, S. II, T. VIII, p. 204.

àl

ÔX

On 0:

ôx

Tz'

Tz-^ô}'

Ox âz

ET LE MOUV EMENT INTÉRIEUR DES CORPS ETC. 3i5

qui renferment le point {^,y, ^) (')• I^cs pressions ou tensions

devront être des fonctions des seules quantités

dr]

dn d:

d^ dl

de dr\

dy'

dz'

dz ^ dy

dx dz

dy dx

et même des fonctions linéaires, si, en considérant les quantités dont il s'agit comme infiniment petites du premier ordre, on néglige, dans les développements de A, B, C, D, E, F, suivant les puissances ascendantes de ces quantités, les infiniment petits du second ordre et des ordres supérieurs. Donc alors, en admettant que les pressions s'évanouissent dans l'état naturel, on trouvera

/ . d\ dn dX /dr, d^"

A =; ai -^— + a, -T — h a, -r — i- a^

dx ' "' dy ' '''dz ' ^''\dz ' dy)

/NI) 1 ^^ u (ff^ i àK , fdn d^ (7) <« = b,^ + b.^.+b,^.+l^jj + ^

f ,, àl, an <*Ç /dn di ,

/' , d^ , dn d^ , /'dn d'C,

dl dn dt (dn di

di^^'Ty^''^T=^^\T=^ry

d: di\

dx dz/

(àl àrA

d-x-^Ji)-^''^

fdl ^dn\ [dy ^'dxj'

dK dl\

(àl d-n\

\Ty^^y

fdl ^ dn\^ [dy "^ dxj'

à^^ dl \ , dJ--^d}.)^'^^

^ dl ^à-n\^ \dy dx j'

dx^ dz)^^'\

^dl d'n\ V dy dx ) '

L^ i. àl „ dn ,. dX f fdn d^\

.^='<di^''dy^''dE-^<^[r.^à^)^''

a,, b,, (',, d,, ao, h.,, ... étant des coefficients qui seront déterminés en chaque point du corps, mais pourront varier avec x, y, z-. Les équations (7) et (8) coïncident avec celles qu(» M. Poisson a données

(•) Nous avons indiqué ce principe, dans le III'' Volume des Exercices, comme propre à fournir les équations d'équilibre ou de mouvement intérieur d'un corps solide dont l'élasticité reste la môme en tous sens; mais rien n'empêche d'étendre lo même principe au cas où l'élasticité varie dans lo passage d'une direction à une autre.

oiùivres f/<' r. - s. n, t. IX. 44

dans son dernier Mémoire sur les corps élastiques ('). Chacune de ces équations, prise à part, est de la même forme que l'une des équations (5), (G) des pages lo et ii du présent Volume, et renferme six coefficients dépendants de la nature du corps. Mais il n'arrive plus ici, comme pour les équations (5), (G) des pages lo et 1 1, que quelquesuns des coefficients qui servent à déterminer la pression A soient égaux à quelques-uns de ceux qui servent à déterminer chacune des autres pressions B, C, D, E, F; et les trente-six coefficients a,, b,, c,, d,, e,, f,, âo, h.,, c.,, ... sont tous distincts les uns des autres.

Si l'élasticité du corps redevient la même en tous sens, les équations (7), (8) se réduiront à celles que j'ai données dans le IIP Volume [p. 210 (')]. Alors, en effet, comme je l'ai déjà remarqué [IIP Volume, p. 1G7 (•')], trois directions perpendiculaires entre elles devront, en chaque point du corps élastique, correspondre simultanément aux trois pressions ou tensions principales et aux trois condensations ou dilatations principales. De plus, si l'on nomme i', z", i" les dilatations ou condensations principales, et c?', u", ct'" les tensions principales prises avec le signe -+-, ou les pressions principales prises avec le signe —, V5', ct", ct'" seront des fonctions de i\ i", i'", qui devront conserver les mêmes formes quand on échangera entre eux les axes des œ.

(1) Pour établir les formules (7) et (8) qu'il regarde comme applicables aux corps solides élastiques, dont les molécules sont très peu écartées des positions qu'elles occupaient dans Fctat naturel, M. Poisson part de ce principe, que les pressions A, B, C, D. E, F, relatives au point (.r, jk, 2), dépendent uniquement des déplacements relatifs des molécules dans le voisinage de ce point et, par conséquent, des neuf quantités

àr,

àZ

dï'

dz'

àv'

ûTr'

àz'

puis, en considérant ces quantités comme infiniment petites du premier ordre, et négligeant les infiniment petits du second ordre, il réduit les valeurs de A, B, C,- D, E, F à des fonctions linéaires des quantités dont il s'agit. Enfin, il ramène ces fonctions à la forme sous laquelle elles se présentent dans les équations (7), (8), en admettant que les pressions s'évanouissent dans l'état naturel du corps, et en observant que cet état continue de subsister, quand on imprime à tous les points un mouvement commun de rotation autour de l'un des axes coordonnés.

(2) OEuvrex de Cnucliy, S. II, T. VIII, p. 25o.

{^) IhicL, p. 204.

y, z. Ces mêmes fonctions deviendront linéaires, si, en considérant les (jnantités £', £", i" comme infiniment petites du premier ordre, on néglige, dans les développements des pressions, les infiniment petits des ordres supérieurs; et alors, en supposant les pressions nulles dans l'état naturel, on aura nécessairement

cj' — Il£'+Kc"+K£"', în"=K.c'-+-H£"+K£"',

H, K désignant deux coelficients qui pourront varier avec x, y, z. Si maintenant on fait, pour abréger.

u représentera la dilatation ou condensation du volume, et, en posant

d'ailleurs

on réduira les équations (9) aux formules (74) de la jiage 179 du IIP Volume ('), c'est-à-dire à

(II) cî'=A-£'+K-j, ct"=A-£"+K-j, m"'-^A-c"'-hK-j.

Enfin, en raisonnant comme dans le IIP Volume [p. 177 et suiv. (^)], on déduira des formules (r t) les valeurs générales de A, R, C, D, E, F, savoir

Kj, R:=A-^-+-Ku,

c/y âv/ 2 \()j: dz

C = AP +Ku, oz

~ 2 ' \dy

et, en substituant ces valeurs dans les formules (i) ou (3), on obtiendra des équations propres à déterminer l'équilibre ou le mouvement des corps élastiques dont l'élasticité reste la même dans tous les sens. Or ces équations, qui renferment deux coefficients X-, K dépendants de la nature du corps, sont précisément les formules (72), (73) de la

( « ) OEuvres de Caucliy, S. II. T. VIII. p. ^.i;. ( -) IbicL, p. '21,5.

page 179 du m*' Volume ('). P]lles comprennent, comme cas particuliers, d'autres équations qui renferment un seul coefficient, savoir, celles que l'on trouve dans un Mémoire de M. Navier, présenté à l'Académie le i4 mai 1821, et dans le premier Mémoire de M. Poisson sur les corps élastiques, et celles que j'avais données moi-même dans le Mémoire présenté à l'Académie le 3o septembre 1822.

On ne doit pas oublier que, pour établir les équations (7), (8), (12), (i3), nous avons considéré les corps élastiques comme des masses continues. Si on les regarde comme des systèmes de points matériels qui s'attirent ou se repoussent à de très petites distances, les équations (7), (8), (12), (i3) ne changeront pas de forme. Seulement les trente-six coefficients renfermés dans les équations (7), (8) se réduiront aux quinze coefficients que comprennent les formules (5), (6) des pages 10 et 11, et les deux coefficients, renfermés dans les équations (12), (i3) seront liés l'un à l'autre par la condition

en sorte que les équations (12), (i3) se réduiront aux formules (48) de la page 229 du III^ Volume (^). Or ce qui pourrait faire croire que dans la théorie des corps élastiques il convient d'opérer les diverses réductions dont nous venons de parler, c'est que les expériences faites sur des corps dont l'élasticité reste à peu près la même en tous sens paraissent s'accorder spécialement avec les formules qu'on obtient quand on suppose vérifiée la condition (i4)-

Nous allons maintenant rechercher les formules qui devront remplacer les équations (7), (8), si l'on considère un corps élastique passant d'un état dans lequel les pressions ne seraient pas nulles à un second état distinct du premier. Pour y parvenir, nous suivrons une méthode semblable à celle dont M. Poisson s'est servi pour établir les formules (7), (8), et nous supposerons que les pressions A, B, C, D, E, F, relatives au second état du corps élastique, dépendent en chaque

C) OEuvres de Couchv, S. II, T. VIII, p. 217. (2j Ibid., p. y.70.

ET LE MOUVEMENT INTÉRIEUR DES CORPS ETC. 3i9

point {x,y,z) des déplacements relatifs des particules situées dans le voisinage de ce même point. Or, si l'on désigne toujours par ^, y], *( ces déplacements mesurés parallèlement aux axes coordonnés dans le passage du premier état au second, les déplacements relatifs de la particule qui coïncide dans le second état avec le point

par rapport à la particule qui coïncide avec le point (^, y, z), seront

les trois quantités

A£, Ar/, AC.

D'ailleurs, si l'on nomme r le rayon vecteur mené du point (.T,y,z-) au point (x + Ix, y -+- Ay, :; + Az), et a, ^, y les angles formés par ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives, on aura

(i5) Ajczzz r cosa, Aj = /-cos[3, A3~/'cosy;

et les trois quantités Aç, Ay], A'C seront, dans le voisinage du point (x, y, z), sensiblement déterminées par les formules

= 3^ Aj" -h

àl A

\dx

CCS a 4-

ày

cosj3 4-

àB, dz

CCS

df] ox

pAz dz

(an \dx

cosa -t-

ày'

cos(3 +

dn dz

ces

\dx

cosa -H

ày

cos(3 -1-

dK dz

ces

Donc les déplacements relatifs des diverses molécules dans le voisinage du j)oint (.r, y, z) dépendront principalement des neuf quantités

àlàldlfhdindrifKd^d^ dx dy dz dx dy dz ' dx dy ' ^3 '

qui serviront de coefficients aux cosinus des angles a, ^, y dans les

valeurs des rapports

Al An AC

Donc, en adoptant l'hypotlièse ci-dessus mentionnée, on devra regarder les pressions A, B, G, D, E, F comme des fonctions de ces six

330 SUR L'ÉQUILIBHE

quantités. Enfin, si, en considérant ces quantités comme infiniment petites (lu premier ordre, on néglige dans les développements des pressions A, B, C, D, E, F les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, les fonctions dont il s'agit seront remplacées par des fonctions linéaires, en sorte qu'on pourra supposer

de, dn ô.v dy

dX [dn dX\ [dK dl\ { dl On\ ''■■^ô-z^''\Tz^Ty)-^''-\-rx^tr'\Ty-^rx)

[dn d^\ [d^ dl\ [dl On\ . -^'\-ô^.~Tyr-'^[Tx-ô-z)^''\Ty-ô:r)

ôl . dn âa- ôy

âl On ôx ' ôy

ox [On 0X\ [0^: Ol\ [01 dn\

[dn dX\ [ dX dc\ [ dS, dn\ ^'id-z-d-yj-^'id-x-d-zj^'-id^-rx)

di ^ dn