d, ^ + Ox Oy
, dt: , [dn di:\ ^ [dX dz\ , [ dl dn\
, , [dn dX\ , [d: dl\ , [di dn\ ^^irz-ry)-^''id-x~rz)-^''id-y-7^)
dl ^ dn dx ^ dy
dK [dn dX\ [di: dl\ [dl dn\
'■^d-z^'\di-^rr)-^'id:^-^d-z)-^'ify-^d:?)
[dn dt:\ [dX dl\ [dl dn\
-^'^[d-z-d})^'id-x~fz)^'idj-d7.)
di „ On
Ox dy
^■^dz^ ^'[dz^OyJ^ ^'[Ox^oz)-^ ^'^[dy'^ox)
,.[dn dK\ fd: dl\ (dl dn\
^ ^^\dz-d[^)-^ ^«V^-j:-;-^ ^^[d^-jr)
Pour découvrir les relations qui peuvent exister entre les soixante coefficients que renferment ces dernières formules, il suffit d'observer que le premier état du corps continuera de subsister, si, dans le passage du premier état au second, on a déplacé tous les points, en les faisant tourner simultanément autour de l'un des axes coordonnés.
Supposons, pour fixer les idées, que, dans le passage du premier état au second, le corps ait tourné autour de l'axe des z\ et soient, dans le second état du corps t, t les coordonnées polaires du point {x,y,z) projeté sur le plan des x, y, en sorte qu'on ait
(19) j7 = tcosT, vn^tsinr.
Désignons d'ailleurs par i l'accroissement qu'a reçu l'angle z dans le passage du premier état au second. On aura évidemment
( ç = t cosr — t cos(t — i)z::^ x{\ — cos/) — y sin«,
( Y] r= V sinr — t sin(T — 0 ^ J'(' - cosO + j? sint,
puis on en conclura, en considérant i comme infiniment petit du premier ordre, et négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier,
(21) ^ r- — iy, 1) ■=■ ix.
D'autre part, les valeurs de A, B, C, D, E, F relatives au premier état du corps, ou celles qu'on déduit des formules (17), (18), en remplaçant \y •/], 'C par zéro, savoir
devront coïncider avec celles qu'on obtient dans le second état du corps, lorsque, aux axes rectangulaires des x,y, on substitue de nouveaux axes coordonnés qui forment avec le demi-axe des x positifs les angles « et - h- i. Il en résulte immédiatement que les formules (7), (8) de la page 43, et les formules (i3), (i4) de la page 44» subsisteront si l'on y remplace les pressions ,.1,, ni), s, (t), C, i par 0, b, c, ^, e, f, pourvu que l'on y pose en même temps
«1 — f , otj — - — -|- f, aj — — >
(23) ji^« = I-'' P*-^^' (^^=1'
f K TT
ou, ce qui revient au même,
/ cosai=cos/, cosa2= — sini, cosoc^=^o,
(23) < cos[3i=:sini, cos[32= cosi, cos(3.j = o, ( cosy, = o, cosy2 = o> cos 5/3=1.
On trouvera, en conséquence, ^
/ A = a cos^/+ b sin^f — 2f sin^ cosf,
(24) < B = a sin^f + bcos^i + 2f sint cos/, (C = f,
/ D = b cosi -+- c sin i,
(25) < E :=— î> sini + c cosf,
( F==: (a — b) sinf cosi + ({cos-i— sin^<) ;
puis on en conclura, en négligeant les infiniment petits du second ordre,
( 26 ) A = a — 2 if, B — b + 2 a, C = c,
(27) |) = b + ù-, E = c — ii, F = f+f(o — b).
D'ailleurs on tirera des équations (17), (18), réunies aux formules (21),
(28) A = a — 2^39, B=.b — 2fb9, C=:r — 2/C9,
(29) l) = i — 2idg, E = f— 2^69, F=:f— 2tT9;
et, comme ces dernières valeurs de A, B, C, D, E, F devront s'accorder avec celles que fournissent les équations (26), (27), on aura nécessairement
(3i) d9 = -'c, e9=ib, f9=i(b-a).
On trouvera de même : i" en supposant que, dans le passage du premier état au second, le corps ait tourné autour de l'axe des y,
(32) agnr— r, l)s— O, C» = f ,
(33) d,= ^f, e,= J(a-f), f, = -li>;
2" en supposant que, dans le passage du premier état au second, le corps ait tourné autour de l'axe des^,
(35) d:=|(c-b), e, = -if, f,= ic.
En vertu des formules (3o), (3i), (32), (33), (34), (35), les coefficients compris dans les équations (17), (18) se réduiront à quarantedeux, et ces équations deviendront respectivement
! \0z ôx) \dy dx )
dl on dX [à-n ()X\^fdK ^dl\ (dl dn\
^='-^'W~r.)-^'\d-x-Tz
« = ^-Hc-^)(g-|)
On dK\ ^cfàl 0^\^Jàl ôn <)z dx) ^ \dy dx
dl an âX , f^-^ ^àK\^^ {à:di\ fdl On\
. dl , .dn ,dK , , fà-n ^à^\ ^ . { ô^, dl\ (0^ àn\
\ ^^^dx^^^d^-^^^T.-^^^[r.-^<ry)-^^''\ô^-^ô-.)-^^^[ô^-^ôi):
Ajoutons que, si le premier état du corps est un état d'équilibre, dans lequel les forces accélératrices soient nulles, les pressions a, b, c, î»,
OEuvres de C. — S. II, t. IX. 4^
3îi4 SUR L'ÉQUILIBRE
e, f, relatives à cet état, devront vérifier les conditions
/ âa di de I ox' ôy oz
/oQx I di ô\i ai
(•ÎO) <-— + — +—- =0,
1 ox Oy oz
f dt âif ôt
\ ojo Oy Oz
que l'on déduit des équations (i) en y remplaçant A, B, C, D, E, F par fl, b, c, tr, î, f, et X, Y, Z par zéro. On peut remarquer d'ailleurs que ces conditions seront toujours remplies, lorsque les pressions a, b, c, l>, e, f relatives au premier état du corps se réduiront à des quantités constantes, c'est-à-dire, indépendantes de la position du point (^, y, ^). Il est bon d'observer que les équations (36), (87) comprennent, comme cas particuliers, les formules qui se trouvent inscrites sous les mêmes numéros, aux pages 172, 173, et qui se déduisent de ces équations lorsqu'on pose
a,= a +a, b,— f b, c,= e— r, d,= u -- b, e,=: v, fi= w,
a,= f— a, bj— b+b, C2=d— r, d^^: u', e^^v'— f, fj^ w',
a, 1)3= d — b, C3= c + r, d3= u", 63= v', f^^ vv"— f,
(3q)/a4— u, bv— u' + b, C4=:u" + b, di=r:d + -^ti, etr=w"+-, f;=v'-h-
aj-v+f, bs=v', C5=w''+f, d5=w''-+--, e5=e + ^^t", f — ^ | ^
Ainsi les valeurs de A, B, C, D, E, F, déterminées généralement par les formules (36), (87), conservent les mêmes formes, quand, au lieu de considérer les corps comme des masses continues, on les regarde comme des systèmes de points matériels qui s'attirent ou qui se repoussent à de très petites distances. Seulement, les quarante-deux coefficients renfermés dans les équations dont il s'agit se réduisent
ET LE MOUVEMENT INTÉRIEUR DES CORPS ETC. 355 alors à vingt et un, et vérifient les conditions
bj + b = Cj 4- f = 04 — (4o) ^ c, -T- r = 834- û = e5 — ( a, + 0 = bi H- b = fg —
. cl, + î> = a4=:eG— iî> = f5— ^î», (l,+ i« = b4, (I3 4- l« = C4, (4i) ', e, 4-r=:a5, e.2+ c ^h,= {,-~ \c, d6= ^, e3 4-f = r5, ff, 4-f = a6, f, 4-f:-b6, (,-hi=c,^d,-\{-e,-\ï.
Soient maintenant
(42) =.1., iti-, 3, Ot), »L', ri
ce que deviennent les pressions A, B, C, D, E, F lorsque, dans le second état du corps, on fait tourner les axes coordonnés des a- et y autour de l'origine, de manière à substituer au demi-axe des x positives celui qui, partant de l'origine, se dirige vers le point correspondant aux coordonnées x, y. Supposons d'ailleurs que l'on désigne toujours part et t les coordonnées polaires de ce dernier point, a ^ ^, C; ^, iii>, (D; C, ad, G seront les projections algébriques sur les nouveaux axes coordonnés des pressions ou tensions que supportent dans le second état du corps trois plans menés par le point (^, v, -)» et perpendiculaires, le premier au rayon vecteur t, le troisième à l'axe des :;, le deuxième à la droite d'intersection du premier et du troisième. Or ces nouvelles pressions ou tensions seront évidemment liées aux pressions ou tensions A, B, C, D, E, F par les formules qu'on obtient lorsque, dans les équations (2^j), (25), on remplace l'angle / par l'angle t, et a, b, c, \>, e, f par .1,, oïl, c, (O, c, ^; de sorte qu'on aura
l A — cfl>cos*T4- il\> sin^T — 2cf sinrcosT,
(43) < B=: Jl, sin'T4-^lî>cos^T4- 2.fsin-cosT,
/ D= (DcosT 4- <J^ sinr,
(44) I E = — (D s'inz 4- C cosr,
( F =(JU — i)l))sinTCOS7 4-#(cos*T — sin*r), .
ou, ce qui revient au même,
cHo + \lî> ..l, — 1)!,
C0S2T — e)- Sin2T,
(45) ( oX + iiî, .,1, — i)J, .
i D= C0S2T + rî Sin2T,
D= CD cosr+ C sinr, E = — dt) sinr -h C cost,
„ 0.1) — ilî) .
* = Sin 2 T + .f COS 2 T.
Ajoutons que des formules (45) et (46) on tirera
(47) A + B = .l> + Db, A — B = (.l, — Dî,)cos2T — 2.fsin2T
et, par suite,
1 ci. := 1 C0S2T + Fsin2T,
i T» = C0S2T — t Sin2T,
(D = D COST — E sinr, (C = D sinr + E cost,
J' = sin2T + rcos2r.
Désignons à présent paryV et par i les accroissements que reçoivent le rayon vecteur t et l'angle t, tandis que le corps passe du premier état au second. On aura
l z=z tcosT — t(i — y) cos(t — i), ■0^=1 sinr — t{i — y) sin(T — i);
puis on en conclura, en considérant les quantités i, j comme infiniment petites du premier ordre, et négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier,
(5f) ^ =— f't sinT + yt COST, vj = /t cosr -i-yt sinr
OU, co qui revient au même,
(52) l — —iy^jx, f]z=ix-\-jy.
D'autre part, en considérant t^ et t comme des fonctions de x, j, on trouvera, eu égard aux formules (19),
(53) t2=^2^j2, tangT — ^-
et, par suite,
, , X dy — Y dx
(54) % d-c =. X dx -\- y dy , dx^
OU, ce qui revient au même.
, cosTdv — simdx
(55) dx.=zcoszdx -\- sinrdy, dz = —^
On aura donc
(56) 3-i=cosT, -r-=smT, -y- = sinT, ;^ = -cost;
^ ^ dx dy Ox t dy t
et, si l'on suppose i, y, ^ immédiatement exprimés en fonctions de t, t et :;, on trouvera encore
!di dî I di . ai ai . i di
ôx ô-c t dr dy dr. t dz
' di di , I df . dj dj . i dj
dx di- i dz dy dv t dz
dK dK i dK . dK dK . , i dK ^
(o8) -r^=i-T^cosT ^smr, -5- = -r- sinr + - -t-cost.
^ ' dx dt V dz dy dx, t dz
Cela posé, les formules (02) donneront
dl . di df dl . di dj
dx '' "^ dx dx dy dy dy ( 59 ) <
df] . di dj ^^^ • ^ ^.
'dx~ dx ^ dx^ dy ~ dy "^ dy*
et l'on conclura de ces dernières, combinées avec les équations (19) et (57),
( âx-
1 df)
( dy
■ I fài d/\ I r/()i d/\ (dj di\ . . I (di à/\ I r/Oi ô/\ /()/ Oi\ .
Côi~)
dn (dj âi\ (ùi ()/\ .
dri . ai ai occ (J7 ai.
On trouvera d'ailleurs
/ dl ai dj f di . dj \
\ dz " dz dz \ dz dz j
df] di di f di dj
. — J^'-p + y-T- = t -7-COST + -f^ SUIT
dz dz -' dz \dz dz
Enfin, si Ton substitue dans les équations (36) et (37) les valeurs de
da^ dy du; dy dy dx ' dy dx' dz^ dz
tirées des formules (58), (60), (61), (62), on obtiendra de nouvelles valeurs de A, B, G, D, E, F, qui, substituées elles-mêmes dans les formules (48), (49)» fourniront le moyen d'exprimer les pressions .i, ail), e, (D, C, ê en fonctions des quantités
et des coefficients différentiels
If,,. di di di dj dj dj dX d'^ d'C,
^^^^ Jt' Jz' Jz' d.' d~-' dl'' dl' d~r' dz'
Si, après avoir obtenu, comme on vient de le dire, les valeurs de .1,, Db, G, (D, C, §, exprimées en fonctions des quantités (63) et (64\ on cherche ce qu'elles deviendraient dans le cas où l'on déplacerait, en le faisant tourner autour de l'origine, le demi-axe polaire, à partir du-
qu{^l so comp(e l'angle z, il suffira d'observer que, en vertu d'un senihlable déplacement, la variable t serait augmentée ou diminuée d'un(^ (juantité constante. Donc, pour déterminer les valeurs que prendraient :.l,, ift), S, cD, C, ci après le déplacement dont il s'agit, il suffirait de remplacer, dans les formules (58), (60), (61), (G2), (48) et (49)» l'angle T renfermé sous les signes sin et cos par l'angle T-i-S, 0 désignant une constante positive ou négative. Or il faudrait évidemment que les valeurs de A, ift), ©, cO, C, i, ainsi trouvées, conservassent la même forme, quel que fût l'angle 0, pour que le corps, dans son premier état, put être considéré comme offrant la même élasticité en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle ii l'axe des z. Il reste à examiner quelles sont les relations que doivent avoir entre eux les quarante-deux coefficients
l b, b,, I),, bs, bi, bj, be,
, -^ ^ ! '» Cj, 0-2, C;,, C4, C3, Cg,
b, d,, di, dj, di, ds, de,
'» 6], G2, Gj, G4, G5, Ce, S M» 'îJ I3» U» '5» '6>
pour satisfaire à la condition que nous venons d'indiquer.
Afin de résoudre plus facilement la question dont il s'agit, attribuons d'abord à § la valeur particulière -, et supposons, en conséquence, que les valeurs de ^i>, Dl, 3, (0, C, ^, déduites des formules (58), ((3o), (Gi), (62), (3G), (37), (48) et (49)» conservent les mêmes formes, tandis qu'on y substitue l'angle t -i- t: à l'angle z. Il est clair que, après cette substitution, les valeurs des quantités
uj: ()y Oy ujc Oy dx
fournies par les équations (45), (4^), (Go), (61), n'auront pas changé, tandis que les valeurs des quantités
O.v oy uz Oz
fournies par les équations (46), (58), (62), auront simplement changé de signe. Donc les formules (36), (87) continueront de subsister lorsqu'on y changera seulement les signes des quantités (67). Donc ces formules entraîneront les suivantes :
à^ àf] âi: [ dl ùr\\ ( dl ùr\\
(68) |B = b + b,^+b,^+b.î5?+bi|I + !|:?Ut(|lî^V j dx dy ôz \dY dxj \dx dy )
, ^^ ^ dl ^ dn àK [ dl an \
^dz dy) "Xdx dz) 2 \<)z dy)' i\dz dx)'
j \^- ày) "Xdx dz) 2 \dx dz) iXdz dy)
^-'^^^dx-^^^Ty^ ^^Tz + ^\Ty ^-dx)^-V-\jy- dJp
^^ ^^^\ , . f^^ , àl\ [dl d^
''='^\d-z'-Ty}^^'\rx^tz)^\fz-^
^^"^ <'' = ''^^Tz-^dj')^''-\Tx^tz
.fà-n d^\
Tz^d'y)^''-\Tx^Tz)-^\dy-rz)-^\d:.--dl
, . de , an ^ dK , dl d-f]\ c /dl l dx dy ^ dz \dy dx) 2 \dy
} /i^ /îvn rir /Ai A.^\ N /A^
df] dx
, . , ^ àE dn dt: dl dn\ ^ dn dl
dx dy dz \dy dx ) 2 \dx dy
, ""-^dz + dy)^^\dx ^ Tz)- -^\Ty- Tz)- -lyTx- -dz
Or les équations (70), (71) devant subsister pour des valeurs quelconques de \y Y], ty et, par conséquent, pour des valeurs quelconques des quantités
^, ^, ^, ^x^, ^ + 1^ J| dr^. 0:i\iK àK di dl dn dx' dy' dz' dz dy' dx dz' dy dx' dz dy' dx dz' dy~dx'
ET LE MOUVEMENT INTÉRIEUR DES CORPS ETC. 361 on on conclura immédiatement
(72) 34=85=0, bi^bj^zo, €4 = 05=0,
(-3) b= (1,=: d2=fl3=d6=0, f=rei= 62=63=60=0, f4=f5=o.
Concevons à présent que l'on attribue à § la valeur particulière -> et supposons que les valeurs de X, i)]>, G, (D, C, rf doivent encore conserver les mêmes formesquand on substitue l'angle c H — à l'angle z.
Cette nouvelle substitution, opérée dans les formules (45), (4^), (58), (Go), (61), (62), aura pour effet de changer les valeurs de
ôK dt; â^ dn dP dn 01 dn
(74) A, B, I), E, r, ^.' ^' ^' ^' dy + ^' â~z' ô~z
en celles de
Donc les formules (68), (69) devront continuer de subsister quand on y remplacera les quantités (74) P^r les quantités (75), et l'on aura nécessairement
, ^, ] „ <?5 à-n d', I ai drt\ J&n di,\
Or, ces dernières valeurs de A, B, C, D, E, F devant s'accorder avec celles que fournissent les formules (68), (69), quels que soient les
OF.iwrcs f/c C. — S. Il, t. IX. 46
déplacements ^, v], C on en conclura
(78) a-=zb, aii = h2, a2=b,, aa^bj, ae = — bg, Ci^rCz, Cg^o,
(79) di=e5, d5 = — e^, f=:o, f, = — f,, f3:=.o.
Par suite, les formules (68), (69) pourront être réduites à
dl an ÔK [ dl an
^ + ^1 ^ + 83 ^ - as(^^ + ^^
c — a / ôt] ()t
(80) <( B = a + aa^T^ +ai -T- +83 ;v^ — as
„ /dl ()n\ ÔK
2 \dz âf (8.) ^E=-d3('$ + ?Ud^^^ . "^'^^ ' ^-"^^^^ ^'
(^c ôyj *\dx ôzj 1 \dz ôx
^ P i dl à-f]\ p f àl an \
et l'on en tirera
A + B^ , aii-^a^fâl , dn\ , „ â^
