I . f ai i dK\ , / Oj , d^\^c-a ( di i dK
' o . ( ai dK\ . f ai ^i d:\^c-a ( dj d\
\ ' \dr dvj \d- dt
Comme ces dernières valeurs de J^, Dl,, 3, (D, vC, ^ ne changent pas de forme, quand on remplace l'angle ^ par t + 5, S désignant une quantité constante, il en résulte que les conditions (72), (73), (78), (79) et (89) sont les seules auxquelles il faille assujettir les quarante-deux coefficients a, b, c, tr, c, f; a,, b,, c,, d,, e,, f,; a., b„ ..., pour que le corps, dans son premier état, puisse être considéré comme offrant la même élasticité en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à
l'axe des z. Lorsque ces conditions sont vérifiées, les valeurs des pressions
se réduisent à celles que fournissent les équations (90), (91). Si, pour plus de simplicité, on écrit dans ces équations
au lieu de
fl, c, a., 83, c,, C3, di, d.5, fi, fe,
on trouvera
\ oa: ay oz
l \dz dyj \dx dzj 1 \dz dy
Il est bon d'observer que les équations (90), (91) ou (100) et (loi) renferment seulement dix coefficients dépendants de la nature du
corps, savoir
Si l'on combine les formules (4o), (4i) avec les conditions (72), (73), (78), (79) et (89), on trouvera
(102) a3-f-n = c,+ r — di— — S a.,+ a=:f6 — a,
puis, en écrivant a et c au lieu de a, c, et posant
(io4) a3+a = C24-c = d4— ?-^^ — d, a2+a = fo-a = f, C3-c = k,
on tirera des équations (90), (91),
(io5) |B==a + (f-a)||-i-(3f+a)g + (d-a)|.
C=c + (cl-c)^+(d-c)^ + (k + c)|,
^ ^ dz ^ dy
(106) < E = (d + a)|^ +(dH-c) ^,
Ces dernières formules ne renferment que cinq coefficients dépendants de la nature du corps, savoir
Elles sont d'ailleurs comprises, comme cas particuliers, dans les équations (24), (23) de la page 170, et se déduisent de ces équations lorsque, en supposant
on prend
a = GA, cr=IA, d=:QA, f =- RA, k=:NA.
11 suit, du reste, des principes exposés dans le III^ Volume (p. 199 et 201) (') que les conditions (107) sont précisément celles auxquelles il faut assujettir les quantités
pour que l'élasticité du corps reste la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des z.
Si l'on veut que le corps, dans son premier état, puisse être considéré comme offrant la même élasticité en tous sens autour d'un point
(') OEuvrcs (le Caiic/tj , S. II, T. VIII, p. .iSij et ?4o.
quelconque, et par conséquent autour d'un axe quelconque parallèle ou non parallèle à l'axe des z, il faudra que les valeurs de A, B, C, D, E, F, fournies par les équations (90), (91), ou (100) et (loi), ne changent pas de forme après un échange opéré entre les axes des x, y, z. Or, si l'on remplace l'axe des r par l'axe des z, et réciproquement, on devra, dans les formules (100), (loi), échanger entre elles les quantités B et C, E et F, y eiz-, y] et '(. On aura donc, par suite.
dz Oy J \dy ôx) 1 \dy dx
Pour que ces dernières valeurs de A, B, C, D, E, F s'accordent avec celles que fournissent les équations (100), (loi), il suffit d'assujettir les coefficients
aux conditions
(iio) a = c, a'=a"=c', çJ'^d+iV, d'= f", d"=f'=o.
Gela posé, si l'on désigne par / la valeur commune des deux quantités a, c, par K la valeur commune des trois quantités a', a", c', et par rjt la valeur commune des deux quantités d', f", on trouvera, en ayant égard à la formule (10),
ax dy dz
Les formules (m), (n'^) pourraient être établies directement par la méthode à l'aide de laquelle nous avons obtenu les formules (12) et (i3). En supposant / constant, c'est-à-dire indépendant de x, j, z, on déduit de ces deux systèmes de formules les mêmes équations d'équilibre ou de mouvement intérieur des corps élastiques. Ajoutons que l'on peut tirer les formules (m), (112) des équations (67) de la page 178 du Ilf*' Volume des Exercices ('), en posant dans ces équations R = K'j + /.
(») GEuvres de Cauchy, S. IL T. VIII, p. 21G,
OEuvres de C. — S. U, t. IX. 4?
