CERTAINE CLASSE D'INTÉGRALES
Conxidé rations générales.
Considérons une masse M concentrée sur une surface plane ou comprise sous un volume donné. Si l'on rapporte les divers points de cette surface ou de ce volume à deux axes rectangulaires des x, y, ou à trois axes rectangulaires des x, y, z, la masse M sera représentée par une intégrale double ou triple relative aux variables x, y ou x^ j, ^, et dans laquelle la fonction sous le signe / sera précisément la densité correspondante au point {x,y) ou {x,y,z). Supposons maintenant que la surface ou le volume donné s'étendent indéfiniment dans l'espace. La masse M pourra conserver une valeur finie, si la densité devient sensiblement nulle à de très grandes distances de l'origine des coordonnées; et, si l'on désigne cette densité par/(a7,r) ou par f{x,y, z), on aura
ou
M= / / f{x,y)dxcly.
(2) M= I f{x,y,z)dxdydz.
Concevons enfin que la densité /(^,y) on f{x,y,z) se réduise à une
expression de la forme
^, p- désignant deux fonctions entières et homogènes de Xy y, - du
premier et du second degré. Les intégrales (i) et (2) deviendront
(3) M=j"^ J'^ï{lp)dxdy,
(4) ^^=j j"^ £{{l,p)dxdyclz.
Or ces dernières intégrales peuvent subir diverses transformations qui conduisent à des résultats dignes de remarque, et que je vais exposer dans les paragraphes suivants.
§ 1. — Sur la transformation de l'intégrale 1 1 i{E„ p)dx dy, da/is
laquelle ^, p^ désignent des fonctions entières et homogènes de x, y, du premier et du second degré.
Désignons par a, h, A, B, G des constantes réelles dont les trois dernières soient tellement choisies que le trinôme
(i) A^^+ B/^4- 2Cir/
reste positif pour toutes les valeurs réelles possibles des variables x, y ; et considérons l'intégrale
(2) S= f f {{l,p)dxdy,
^, p^ étant deux fonctions de x,y, z, déterminées par les formules
(3) l = ax-^by,
(4) ç> = {kx^-^^y''+iCxyy-,
On pourra regarder les variables x, y comme propres à représenter des coordonnées rectangulaires, et leur substituer des coordonnées polaires/?, r qui soient liées avec elles par les équations
(5) .r = /-cos/), j = /-6in/>.
