PAR TROIS PLANS PERPENDICULAIRES ENTRE EUX

Rapportons la position d'un corps solide à trois axes rectangulaires des x,y, z. Soit 0 le point qui correspond aux coordonnées (^, j, c). Supposons que par le point 0 on mène : i° trois plans parallèles aux plans coordonnés; 2° trois autres plans perpendiculaires entre eux. Soient d'ailleurs

«<»?)♦ y, ; «2, ^o, Y,,; «3» Ps» 73 les angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par trois autres demi-axes OL, OM, ON, perpendiculaires aux trois derniers plans, et partant du point 0 ;

Pt* />2» Ps les pressions ou tensions supportées au point 0 par les faces des mêmes plans qui regardent les trois demi-axes OL, OM, ON;

^1» î^)» V, ; Xo, [X2, V2; X3, fi.3, Vg les angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par les pressions ou tensions/?,, /^o» y»»;

p'fP'^p' les pressions ou tensions supportées au point 0 par les plans perpendiculaires aux axes coordonnés;

A, F, E; F, B, D; E, D, C les projections algébriques des pressions ou tensions/?', /?",/>'";

X, §,C; §, oPo, (0 ; £, (D, e ce que deviennent les projections algébriques des forces/?,, /?2,/?3, quand on prend pour demi-axes des coordonnées positives les trois demi-axes OL, OM, ON.

OEwres de C. — S. W," l. IX. 6

On aura, on vertu des formules (3) de la page 162 du IIP Volume ('),

Pi cos}^i = Acosai + F cos|3i+ E cos'/i,

(i) \ pi cos|Xi = F cosa, + R cos(3i+ D cosyi,

Pi cosvi = E cosai+ D cos[3iH- C cos-/i ;

/>2COS>i2 = A cosûCa-f- F cos(32+ E cosy2>

(2) <| /?2 cosfi2= F cosoco-f- R cosj32+ D cos}/2> P2COSV2 ■=■ E cosa2+ D cos(32-+- C 003^2;

P3COSA3 = A COSOCsH- F cosfSaH- E cosys,

(3) \ j03cos/j(.3 = F cosasH- R cos|33+ D cosya, Pi COSV3 --=. E cosa3 4- D 008(33+ C cosys-

De plus, comme la direction de la force /?< formera évidemment avec les demi-axes OL, OM, ON des angles qui auront pour cosinus les trois

expressions

cos>.i cosoci-f- cosfjt.1 cos[3iH- cosvi cosyi,

cosAi cosa2+ cos/Jii cos|32+ cosvi cosya, cosAi cosa3+ cosjjii cos|33+ cosvi cosys, on trouvera

/ X r= /?i(cosAi cosaj + cosjULi cosj3i+ cosvi cosyi),

(4) < ^ =; /?i(cos>ii cosa2+ cos/jL, cos(32+ cosvi cosy2). \ C = />i(cos)-i cosaj-t- cos/jii cos(33+ cosvi cosys).

On trouvera de même

/ § = /?2(cosA2 cosai+ cos|ji.2COS|3i+ COSV2 (^osyi),

(5) < Iti, r^ /J2(C0SA2 C0Sa2+ COS/JL, COSjSa-f- COSV2 cosy2),

( (D =3 />2(cos>v2 cosa3-^ cos|m.2 cosfSj-i- cosv, cosy:j)

/ c :=/)3(cosÀ3 cosai + cos/jts coS[3i+ COSV3 cosyi),

(6) < (D =-. 7^3(008X3 cosa2+ cos/jt3 cos|32+ cosy3 cosy2), ' \ 3 = />3 ( cos >^3 cos 5:3 + CO8 /Jt.3 CO8 [33 -+- cos V3 C08 y3 ) .

C) OEuvres de Cauc/iy, S. II, T. VIII, p. 197.

Si maintenant on substitue, dans les équations (4), (5). (<j)» les valeurs de7?,cosX,, /?,cosui,, ..., tirées des équations (i), (2), (3), on obtiendra les six formules

Olîi

Acos^cci-h R cos^Pi-f- Ccos-yi îD cos|3i cosyi -r- 2E cosyi cosai

2E ces y 2 cosa2

A cos^a2

+ 2D COSjSj cosya

R cos-|33H- C cos-y3

aFcosoti cosj3i, 2 F ces «2 ces (3,,

A COS" C(-^ —I— ij \^\ja j-/^ —i- yu y^\jj ^3

-f- 2D COS (33 COS y 3-!- 2Ecosy3Cosa3

2 F cosa, cosjSs; R ces (3, COS (33+ C cosy2 cosys

A cosaj COS «3

-h D( COS (Sa COS y 3 + cos[33Cosy2 ) -1- E(cosy2 cosa3H- cosys cosaa) + F (cosa, cos(33-h cosa3 008(3,),

~ A 008^3 cosa,H- R cosfSg cos[3i-t- Gcosy3 cosyi + D(cos[33 cosyi -+- cos(3i cosyj ) H- E(cosy3 cosai-i- cosyi cosocj) 4- F ( COS 0:3 C08,3i + COS a, co8(33),

A cosai 0085(2+ R co8(3i co8(32+ C cosy, cosy2 -f-D(cos(3, cosyj + C08[32 cosyi ) -h E(co8yi cos(x.2 +- cosy2 cosaj) -+- F (cosa, cos(32-f- cosaa co8(3,).

Ces six formules fournissent le moyen de calculer les projections algébriques des pressions/?,, />2, /?3, supportées par trois plans perpendiculaires entre eux, sur trois demi-axes perpendiculaires à ces mêmes plans, quand on connaît les projections algébriques des pressions supportées par trois plans parallèles aux plans coordonnés sur les axes des ce, y, -•

Observons encore que, les demi-axes OL, OM, ON étant perpendiculaires l'un à l'autre, on aura, en vertu de formules connues,

cos^aiH- cos^a2+ cos^a3=: i, cos(3i cosyi -+- cos[32Cosy2 + cos(35COsy3 — o, (9) / cos^[3,H- cos^[3j-i- cos-(33= I, cosyi cosai-h cosyj cosa2+ cosyj cosaj^ o, cos^y» H- cos^yîH- cos*y3 = i, cosa, cos(3,h- cosasCvs(3jH- cosa3cos(33=o.

Par

(II

puis

suite, on

/ JId cosaj < ^ cosai

tirera des équations (4), (5), (6)

iCosA, = Acosai + FcosjSj

: Acosa2+ Fcos^j-

- Fcos(33-

^cosa,-i-.f COS0C2+C cosaj — />!

4- ilb cos a, -h (D cos as = /?2 cos A2 C cosai 4- OD cosa,+ 3 cosa3= paCOsT^j = Acosa3- ^l>cos(3,4-^ cos(32+ C cos;33r=/;,cosfXi=:F cosa, + Bcos[3i ^ cos(3,-h\)l,cos(32+(Dcos[33=:/?2Cosjui2=Fcosa2 4-Bcos[32- •C cos[3,+ (Dcos[32+ecos[33=r/?3cos]UL3=:^Fcosa3-hBcos[33-

<.l.cosyi + of cosy2 + <J^ cosy3 = /?iCOsyi = E cosaf .f cosy, 4- ilî)COsy2 + (Dcosy3=/>2Cosv2 = Ecosa2- »î^ cosyi4- (Dcosy, 4- S cosy3 = /j3COSV3 -=E cosocs-

on conclura des formules (10), (11), (12)