D'UNE CERTAINE CLASSE D'INTÉGRALES

Cela posé, si l'on fait, pour abréger,

(6) u=:cosp, t' = sin/),

(-) P = au -h bv,

(8) Q = (Aw2-i-Bp2-i-2CwiOS

on trouvera

(9) ^ = Pr, p = Q/-.

De plus, en vertu des règles connues, on devra, dans l'intégrale (2), remplacer le produit dccdy par rdpdr, et cette intégrale deviendra

(10) S=r rf{Pr,Qr)rdpdr.

En comparant la formule (2) à la formule (10), on en conclura

(11) r rHlp)da;dy=J J {{V r,qr)r dpdr.

Si Ton suppose en particulier

(12) a — i, b — Oy (i3) A = B=:i, C = o,

on aura

(i4) 1 = ^, p=:(.r'--hJ*)S

(i5) P = cos/?, Q = i,

et la formule (i i) donnera

(16) rrA^,{^^ + y'y^dxdf=ff ï{rcosp,r) rdpdr.

Supposons maintenant que, les conditions (i3) étant remplies, on attribue aux quantités a, b des valeurs a, ^ qui vérifient la formule

On pourra concevoir qu'aux coordonnées rectangulaires x, y on substitue deux autres coordonnées rectangulaires ^, r\ dont la première ^ serait déterminée par l'équation

et considérer a, [3 comme représentant les cosinus des angles formés par le demi-axe des ^ positives avec les demi-axes des x et des y positives. Alors on aura nécessairement

(19) X^+f-=l^-^Tl\

Par suite, la seconde des formules (i4) donnera

et l'on tirera de l'équation (2) : i''

S=r r ihAl^^-n'YAdld-rr, 2° en ayant égard à la formule (16),

/ î{r cosp, r)dp dr.

On aura donc, en admettant que la condition (17) soit remplie, (22) / / flciœ + ^y,{x--]~y^y\dj:dy=zl j {{/• cosp) r dp dr.

On trouvera de même, en désignant par h une nouvelle constante et remplaçant f(i, p) par {{k\^ p),

f f i[k{a.a:-^^y),{œ' + y^y]djr-df

= / / {{kr co?, p, r)r dp dr D'ailleurs, pour faire coïncider le premier membre de l'équation (28)