D'UNE CEHÏAINE CLASSE D'INTÉGRALES
la vak'iir de K étant
Cola posé, la formule (33), jointe à l'équation (27), donnera
= i / / f l-( a' -+- b' y- r cos/>, /• J /• dp dr,
OU, ce qui revient au même,
(89) . S=~/ / ({Krcosp, r)rdpdr.
En comparant cette dernière équation à la formule (10), on irouvera
(4o) f f i{Vr,Qr)rdpdr= ^^ I j H^r cosp, r)r dp dr,
les valeurs de P, Q, i2 et K étant déterminées par les formules (iV), ( 7 ), (8), (3o)et(38).
Si l'on remplace, dans le premier membre de l'équation (f\o), r par
— , on en tirera
puis, en posant, pour abréger,
on trouvera
(43) r"/((i) % • il C'j'^^ co,p)dp.
On arriverait encore au même résultat en prenant
ou bien
etc. Ainsi, par exemple, en adoptant la valeur de f(^, p) donnée par la formule (44). on réduirait l'équation (/\i) à
puis, en divisant les deux membres par la quantité
J' re~'' dr =z i^
on retrouverait l'équation (43).
Si, dans l'équation (43), on remet au lieu de P, Q, Q, K leurs valeurs respectives, on obtiendra la formule
a cos/> -h b siii/j>
dp
(A cosv. + lî sinV + 2 C smp cospy j '^ '^^''^^ ^ ^ '"^'^^ + '"^ ^^ ^'"/^ *''»^/^
(AR-C^)Vo
{\a--hV>b'— 'iCab)- cosp (AR — C^)^"
dp,
de laquelle on peut en déduire plusieurs autres par des différentiations relatives aux constantes a, b, A, B, C, D. Si, dans la même formul<>, on pose
si de plus on divise chacun de ses membres par 2, on trouvera
.1 '[(AcosV + BsiaV)^]^^"^^^-^'^^"^^^ A^R^/ \ A-/
dp;
et Ton en conclura, en prenant cosp = ^,
da:
I) UNE CERTAINE CLASSE D'INTÉGRALES. :Wl
Entin, si, dans l'équation (46), on pose
elle donnera simplement
5i) / /{acosp-\-bi^\np)dp= /[{a'-i- 1/')' cosp]c/p.
Les équations (46), (4«)» ('19)' (5i)paraissentdignes de remarque, et fournissent les moyens de transformer les unes dans les autres un
grand nombre d'intégrales définies.
^ II, Sur la transformation de l'intégrale 1 ^{l, ?) dx dy dz,
dans laquelle l, p^ désignent deux fonctions entières et homogènes dex, y,
z, du premier et du second degré.
Désignons par a, h, c. A, B, C, D, E, F des constantes réelles dont les six dernières soient tellement choisies que le polynôme
(,) A.r-+ B7- + C--4- 9-D/:; + iMzx -\-iVxy
reste positif pour toutes les valeurs réelles possibles des variai)les .r, j, ^ ; et considérons l'intégrale triple
(2) 8=:/" j J ïa,p)dxdydz,
l, s- étant deux fonctions déterminées par les formules
(3) l^.ax-\-by + cz,
(4) pr=(A^'-4-B/--l-Cc-^+2Dj--+-2E:;^-+-2F^j)"^
On pourra regarder les variables x, j, :; comme propres à représenter des coordonnées rectangulaires, et leur substituer des coordonnées polaires/;, q, r, qui soient liées avec elles par les équations
(5) xz^rco^p, y = rs\npcosf/, z — rs\ups\uq.
Cela posé, si l'on fait, pour abréger,
(^) Mr=cos/>, v=zs\npcosq, H' = sin/? sin^,
(7) V =^au + bç -\- civ,
on trouvera
(9) ^^Pr, p = Qr.
De plus, en vertu des règles connues, on devra, dans l'intégrale (2), remplacer le produit dxdydz par r-ûnp dpdqdr, et cette intégrale deviendra
('O) S = ff f fiPr,Qr)r'^smpdpdgdr.
En comparant la formule (2) à la formule (10), on en conclura
<'0 II ^{l,p)dxdydz=f f f ?{Pr,Qr)r^smpdpdqdr.
Si l'on suppose en particulier
a zzzi , Ij =: C = 0
A=zBz=:C=:i, I)=.rE=:F =
on aura
P =r COS/?, Q = I,
et la formule (i i) donnera
J J nx,{œ-'+f^-i-z'-)-jda;djdz = 2nf f i{r cosp, r)r^ amp dp dr Supposons maintenant que, les conditions (i3 ) étant remplies, on
