î)(cosj32COsy3 4-cos{33COsy
i(3,cosy3)
Dcos(3i- Dcos[32-
DcOsPa-
2 c^ cos ai cosaj,
2^cosj3i cos [32,
2^ cos y, cosyj; 3cos(33 cosy3
C (cos(33COsyi4- cos( 4-3^ (cos(3i cosy2 4- cos|32 cosy,),
E = c/l> cosyi cos a, 4- i(b cosy2 cosa2 4- 3cosy3 cos as 4- (B(cosy2 cos as 4- cosys cosaa) 4-Ȕ^ (cosy3COsai4-cosyiCOSa3) 4-^ (cosyi cosa24- cosy2 cosai),
F = o-l, cos ai cos |3i 4- ifb cos aj cos |32 4- 3 cos as cos (Sj 4- (î)(cosa2 cos|3s4- cosas cosiSj) 4- C (cosas cosi3i4- cosa, cosjSs) 4- J' (cosai cos[324- cosa2COs[3i).
- Ecosyi, -Ecosya, - E cosys;
Dcosyi, D cosyj, D cosys;
C cosyi, C cosyj, G cos y 3;
On pourrait, au^reste, déduire les équations (i3) et (i4) des équa-
lions (7) et (8) à l'aide d'un échange opéré entre le système des demiaxes des ^, j, z positives et le système des demi-axes OL, CM, ON.
Concevons, à présent, que les pressions ou tensions principales soient précisément celles qui ont été désignées par /?,, p^, p^, et que, de ces trois pressions ou tensions, les deux dernières s'évanouissent. On aura
(i5) ol,— ±/?,, ift> = o, G = o, (D = o, C=:o, ^ = 0.
Par suite, les formules (i3) et (i4) donneront
A = e.1, cessai, B =: siU cos2[3i, G = -Jl. cos'*)/,,
D =;<A.cos[3i cosyi, E = JU cosyi cosai, F = Jl> cosaj cos(3i.
De même, si, en attribuant des valeurs nulles à deux des pressions ou tensions principales qui correspondent au point (x, y, ^), on supposait la troisième pression ou tension principale dirigée suivant la droite qui forme avec les demi-axes des coordonnées positives, non plus les angles a,, j3,, y,, mais les angles a, p, y, on trouverait, en désignant par X cette pression prise avec ie signe —, ou cette tension prise avec le signe +,
A = =/l.cos^a, B = ^l>cos^(3, G =: <vl> cos^'y,
D = JlaCOSjScosy, E = c-l) cosy cosa, F=: X cosa cos(3.
D'autre part, si l'on nomme p la densité naturelle du corps solide supposé élastique et homogène, £ la dilatation linéaire mesurée au point (^, y, z) suivant la droite dont il s'agit, et i2 la vitesse de propagation du son dans une verge rectangulaire infiniment mince, qui aurait pour axe cette même droite, on trouvera, en vertu de la formule (77) de l'article précédent,
pe
Enfin, si l'on désigne par ;, yj, 'C les déplacements infiniment petits du point (ir,y, z) mesurés parallèlement aux axes coordonnés, on aura
[voir la formule (9) do la page 1 1 1
de , âri ,0 ^s ,
ûjc: ây '^ ôz '
- + - j cos^cosy + (^ + j^ j cosy cosa + (^ - ^ j cosacos^B;
puis on conclura des équations (17) et (18), combinées avec les formules (5) et (6) des pages 10 et 11,
/ xj ^^^ v.à-n ,dK ,(dn dK\ ,fàK , d'c\ , ,/^^ , ^'^\ 00 .« , .) <?c , <^n „dK Jdn d%\ ( dX dl\ [ dl dri\ „
ôx ' ôy dz \dz âyj \âj; âz
Cela posé, l'élimination des six quantités
Kl^"^^)"'^^'''''''^''''^-
dx^ ()/' ôz^ Oz dy' âx ôz^ ôy ' àx
entre les équations (19), (20) et (21) produira évidemment une autre équation de la forme
—rr-, = 21 cos*a 4- 13 cos^S 4- C cos'^y 1 + 2D cos-[3 cos-y -h 2(5 cos-y cos^a -t- 2^ cos^a cos-|3
(^^) 1 -f- 2lt cos^a cosl3 cosy + 2V cos^a cosy -{- 2ÎU cos^a cos|3
[ H- 2lt' cos'(3 cosy H- 2Î'' cosacos^|3 cosy + 2tU'cosa cos^|3
+ 2î("coSt3 cos^y 4- 211" cosa cos^y + 2VD"coscx. cos;3 cos-y,
21, 6, C, B, (g, i^, i(, î», w, u', V, W, 11", V", W" désignant de nouvelles
constantos qui seront exprimées à l'aide des quinze coefficients a, b, c, d, e, f, u, V, \v, u', v', \v', u", v", w". L'équation (23) fait voir comment la vitesse de propagation du son, dans une verge rectangulaire intiniment mince, extraite d'un corps élastique, varie avec les angles a, p, Y qui déterminent la direction que prenait dans ce même corps l'axe de la verge.
Concevons maintenant que, à partir du point (oo,y, z), on porte sur la droite qui forme avec les demi-axes des coordonnées positives les angles a, ^, y, une longueur dont le carré représente le produit ^v^, et désignons par x -^x, j + y, z -\- z les coordonnées de l'extrémité de cette longueur. On aura
^ ^ cosa cosp cosy '
et l'on tirera de la formule (23)
/ vlx*-M3y*^Cz*-l-2lly2z2+2(Êz2x2+24rx2y2 \ H-2x-(Kvz 4-t)zx +îl'xy)
j +2y2(ît'yz -f-D'zx +îa'xy)
[ + 2z2(K"yz + V"zx + ît)"xy) = 1.
Cette dernière équation appartient à une surface du quatrième degré qui a pour centre le point (x,y, z) ; et, comme le rayon vecteur mené de ce centre à un point de la surface est d'autant plus grand que la vitesse Î2 est plus petite, on peut affirmer que la vitesse H acquiert une valeur minimum quand ce rayon vecteur devient un maximum, et une valeur maximum quand ce rayon vecteur devient un minimum. Dans l'un et l'autre cas, les coordonnées x, y, z de l'extrémité du rayon vecteur vérifient la formule
(26) { = £\- -i-ùy^ -\-Dz^-{-U'yz -{-V'zx-hWxy -i- —{yi\^ +U'y^ +U"z^) -+-
ax'
(Êz'
M-îlyz
tlZX -T-
ÎOxy
(tDx^
+ ll'yz
tl"7Y U
Wxy
(ltx2
(Vx*
+ îi'y*
(Wx=
'+îll'y=
(Hx«
+ rz«).
Donc par suite, lorsque la vitesse H deviendra un maximum ou un minimum, on aura
3 cos^a -+- £ cos^[3 -\- (Ê cos^y + Ht cosj3 cosy -h f cosy cosa 4- ÎU cosa cos[3
cos ô f*o^ V
H ^ (H) cos^a H-ÎU' cos^fi + Î0"cos2y ) + ^ (î) cos^a + U'cos^û + UVos^y )
2 cos a ^ ' 2 cos a ^ ''
= -^cos^a -H il3cos^j3 4-15 cos-y + ît'cos(3 cosy + U'cosy cosa 4- W cosa cos {3
cosy
cosa
2 cos
75 (m cos^a + îl' cos^S + m" cos^y) h p- (ÎU cos^a + ÎD'cos-S -+- tD"cos2y)
p ' acosp ^ '
<B cos- a + D cos^ j3 -j- C cos- y + It" cos (3 cos y + U" cos y cos a 4- ÎO" cos a cos (3
cos a cos 0
4 (î)cos2a4-f'cos2S4-t)"cos2y) h ^(Icos^a 4- II' cos- (3 +l("cos2y)
2 cosy '2 cosy '
Si le corps solide que l'on considère offre trois axes d'élasticité rectangulaires entre eux et parallèles aux axes des cc,y, z, les neuf coefficients
s'évanouiront; et les formules (20), réduites aux suivantes
de, „ df] dK r^,
dx dy az ^
(28) ( f ^ + b^ +d^=pi2^-cos^(3,
oœ dy az '
e--^4-a^; — hc^r-=pi2^£ cos- y, Oj^' ôy oz ' '
donneront
de, ^2 C^c — d'^) cos^a 4- (de — cf) cos-(3 4- (fd — be) cos-y
-T- = p il s ôy
abc — ad^ — be^ — cP 4- 2 def
(de — cf) cos^a 4- (ca — e^) cos^{3 4- (ef-
- ad) cos^y
abc — ad^ — be^ — et- -h 2 def
(fd — be) cos^a 4- (ef — ad) cos^^ 4- (ab -
-P)cos^y,
abc — ad- — be^ — cP 4- 2 det
SUPPOKTÉKS PAR THOIS PLANS ETC.
landis ([iic l'on tirera dos formules (2])
; Or, 0
on o. ,»,cospcosy az ÔY (1
; â^ ô\ „, cosycosa
j o.v oz ^ e
F dî an • „, cosacosS
' ôy o.r ' 1
Par suile, l'équation ('23 ) deviendra (3i)
les valeurs de 3, 0, (C, D, (B, £ étant respectivement
\ -7TT = vt ces* a -h i3 cos* 3 4- (C cos* y
' -f- 2ID cos-(3 cos--/ + 2(Ê cos-y cos"-a -h 2 4- cos-a cos-|3,
abc —
— be-— cl-ca — 0-
r 2 clef
abc —
■ad^
-bo-— cPab— f^
f- 2 clef
iB =
abc — aci- — be- — cl- + 2 tlef '
ef-ad I
abc — ad- — bo- — cl- -h 2 deî" 2 d '
1(1 — bc I
abc — ad- — be- — ct"-+2der 2e'
de — cf f
abc — ad- — be^ — cP -h 2 dcf ' 2 ('
<'t les diverses valeurs du produit il\jp auront pour mesure les divers rayons vecteurs menés du point (oc, y, z) à la surface représentée par l'équation
^^x'-'-h Oy -f- a;z*+ 2Dv^z-4- 2<5/-\--4- i£\-\-ziz 1,
Alors aussi, en désignant par i>', i^", iï" et par 12,, £>., 12., les valeurs de i2 correspondantes à des verges dont les axes seraient parallèles aux or.uiics </<• 6. — s. u, t. IX. 7
axes coordonnés, ou diviseraient les angles formés par ces derniers axes en parties égales, on trouverait : i"
(3.5) çjr,=?3, n^=P"' ô^i=?'^-
(30) iè^i^l''^-^''''
A l'aide des équations (3 )) et (3G), on peut fixer les valeurs des coefficients ^, 0, (C, D, (E, iT, lorsqu'on a déduit de l'expérience celles des vitesses ^', Q,', Q,'", £2,, i^o, 12.,. Ajoutons que, si l'on pose
ces a 3= ces |3 ::= cos 7 =^ ± — '
la formule ( 3i) donnera
et, par conséquent.
Telle est la relation qui existe entre les vitesses 12', 12", 12"; 12,, i2,, il.j et la vitesse 12 relative à une verge dont l'axe forme trois angles égaux avec les trois axes des x, j et :;.
Si l'on suppose les molécules du corps élastique primitivement distribuées de la même manière par rapport aux trois plans menés par l'une d'entre elles et parallèles aux plans coordonnés, on aura
( 39 ) a = b = c, d = e rz: f,
(4o) a:=iJ=:€=^^-^tJL^, D = € = £ ' ^
a'+af— 2P 2f a"-4- al"— 2(--
ot l'équation (3i), combinée avec la formule connue
cos^a + cos^p H- cos-y = i, donnera
/s I -jy, = -H(cos*a + cos*|3 + cos'*y) + 2i^(cos^^ cos-y 4- cos-y cos'a + ces- a eus- (3) ' = i^ + (3 — i^) (cos'*a + cos^jî 4- cos'*y).
Alors aussi, en comparant la première des formules (2) et la dernière des formules (3) de la page 10 à la première des formules (38) et à la dernière des formules (39) de la page 199 du IIP Volume des Exercices (' ), on trouvera
(4'i) a = pL, f=pR,
et, par suite, on tirera des équations (^^[O),
[{nfin, si l'élasticité du corps est la même dans tous les sens, la condition (45) de la page 201 du IIP Volume (-), savoir
sera remplie, et les formules (43) donneront
a pK D 1" Cela posé, l'équation {\\) pourra être réduite à
(») OEuvrex de Caucliy, S. II, T. VIII, p. 238. (») Tbid., p. 241.
on, ce (jui rcviciil au même, à
Cette dernière tbrnuile ccjïncide, eomme on devait s'y attendre, avec l'équation ( )3) de la page 365 du IIF Volume des Exercices (').
(') OEuvrcs de Vauchy, S. II, T. VIII, p. 4>3.
