QUI REPRESENTENT

LE MOUVEMEKT D UN SYSTÈME DE MOLÉCULES SOLLICITÉES PAR DES FORCES d'attraction OU DE RÉPULSION MUTUELLE

Considérations générales. *

J'ai donné le premier, dans le IIP et le IV« Volume des Exercices {'), les équations générales d'équilibre et de mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, en admettant que ces forces fussent représentées par des fonctions des distances entre les molécules; et j'ai prouvé que ces équations, qui renferment un grand nombre de coefficients dépendants de la nature du système, se réduisaient, dans le cas où l'élasticité redevenait la même en tous sens, à d'autres formules qui ne renferment qu'un seul coefficient, et qui avaient été primitivement obtenues par M. Navier. Si l'on désigne par m la molécule qui coïncide, au bout d'un temps quelconque /, avec le point {x,y, s); par H, y], *( les déplacements de cette molécule mesurés parallèlement aux axes des x, y, z, que nous supposons rectangulaires; et si l'on fait abstraction des coefficients qui s'évanouissent, lorsque les masses m, m', m", ... des diverses molécules sont deux à deux égales entre elles, et distribuées symétriquement de part et d'autre d'un point {x,y, z) sur des droites menées par ce point; les équations du mouvement du système seront

(') OEuvra de Cauchy, S. II, T. VIII et IX.

celles qui se trouvent inscrites, sous le n° 11, à la page iGG. Nous montrerons, dans un autre article, comment on peut trouver les intégrales générales des équations dont il s'agit, et en déduire les lois de la propagation du son dans les corps solides. Mais, pour établir la théorie de la lumière, nous n'aurons pas besoin de recourir aux intégrales générales, et il suffira de considérer, parmi les mouvements que peut prendre le système, ceux dans lesquels les déplacements restent les mêmes pour toutes les molécules situées dans un plan parallèle à un plan donné. Or, dans la recherche des phénomènes que doivent présenter les mouvements de cette espèce, on peut substituer aux équations ci-dessus mentionnées d'autres équations différentielles beaucoup plus simples. La formation de ces dernières sera l'objet du paragraphe suivant.

^ 1. Équations différentielles du inou^-enient d'un système dans lequel les molécules situées à la même distance d'un plan donné éprouvent les mêmes déplacements.

Concevons que, par l'origine 0, on mène un plan OO'O" perpendiculaire au demi-axe OD qui forme avec les demi-axes des ^, j et :; positives les angles X, [x et v. L'équation de ce plan sera

(1) vCCOsX + JCOS/JL -i- ^ cosv = o.

De plus, si l'on considère un point {x,y,z) situé, non plus dans le plan OO'O", mais en dehors, et si l'on nomme t la distance du point {x,y,z) au plan OO'O", cette distance étant prise avec le signe -f- ou avec le signe —, suivant qu'elle se mesure à partir du plan dans le même sens que le demi-axe OD ou en sens inverse, on aura

(2) t = a;cosX 4- jcosjjn- -3C0SV.

Si l'on pose, pour abréger,

(3) a=:COS>., b = CO%\J., C=:COSV,

on aura simplement

(4) ■^^=^ ax -^- by -\- cz.

Gela posé, soient, au bout du temps /, m la molécule qui coïncide avec le point {x,y,z) et \, y], ^ ses déplacements mesurés parallèlement aux axes coordonnés. Si ces déplacements restent les mêmes pour toutes les molécules situées dans un plan parallèle à celui que représente l'équation (i), \ pourra être regardé comme fonction des seules variables i, /; et, comme on tirera de l'équation (2)

ox dy ôz

on trouvera

dx dt dx ô^

On aura donc

àx (Jx dy ât' OZ dx.

(5) < âx^-~'' âv-^' dy^-'' d^' J^="'''^'

âyàz-''''âx^' ~dzdx-'''d^^' d^-''^^

Les mêmes équations subsisteraient encore si l'on y remplaçait l par yj ou par t. Donc, si, dans les formules (i i) de la page iGG, on suppose les coefficients a, 0, C, S, €, i^, L, R, . . . constants, et les forces accélératrices X, Y, Z réduites à zéro, on tirera

Ci a^- ox.^ ôx-

dt'' - <dx.^ ^ ^ dc- '^'^^^'

les valeurs 4^, oïL, SfL, 0:\ ^, Si. étant

= a«2^£jz»2

+ Cc2

-+- 2£ab

+ La2 +R62

+ Qc'-

+ alJ^c

+ 2 Vca

-h 2W ab,

DTl

= aa2 + fJ^;2

+ alDôc

+ 2(Êca

-+- 2£ab

+ Ra2+M62