JU2-H
De plus, le rapport
représentera évidemment le cosinus de l'angle formé par la nouvelle droite avec la direction suivant laquelle se mesure le déplacement absolu de la molécule m. Par conséquent, la valeur de «, déterminée par la formule (9), représentera le déplacement de cette molécule mesuré parallèlement à la droite OA, et sera positive si ce déplacement se compte dans le même sens que la direction OA, mais négative dans le cas contraire. D'ailleurs, si l'on combine par voie d'addition les formules (G), après avoir multiplié les deux membres de la première par x, de la seconde par aJl, de la troisième par 3, et si l'on
OEuvres de C. — S. U, t. IX. 5o
choisit <x, -Ob, S ou plutôt les rapports y? y ^^ manière que les trois
fractions
JU Db
deviennent égales entre elles, on trouvera, en désignant par s^ la valeur commune de ces trois rapports,
Or il existe trois valeurs de s^ propres à vérifier la formule
, ^ , f cAo 4- c'R.llb + se c'RJlo H- DlLilb + $3 S.l> + (Plti) + 3^3
et, par conséquent, les équations
[ i^l— s'-)X + siyi\y + ^3 — -o,
(i4) ) <!/lo\. + (DIL — 5-)Db -h a^3 = o,
( ^.l> + 'î'iPo + (^ï, — 5^)3 = o,
desquelles on tire
De plus, à ces trois valeurs de s- correspondent trois systèmes de
il') 3
valeurs pour les rapports j, y, et, par conséquent, trois droites OA', OA", OA" avec lesquelles on peut faire coïncider successivement la droite OA. Enfin, il résulte de la forme des équations (i3) et (i4) qne ces trois droites se confondent avec les trois axes de la surface du second degré représentée par l'équation
(i6) 41x2+01Ly2 4^î;,z2+2$yz4-2^zx + 2Jlxy— i;
et l'on peut ajouter que, dans le cas où cette surface est un ellipsoïde, les trois valeurs de -^ sont précisément les trois demi-axes. Donc, à
l'aide de la formule (12), on pourra déterminer, au bout du temps ^ les trois déplacements de la molécule m mesurés parallèlement aux trois axes de l'ellipsoïde, et, par suite, à trois droites perpendiculaires entre elles. Si l'on désigne ces trois déplacements par
et les valeurs correspondantes de s, .x>, ii!., S par
(.8) s', .V, il!>', G'; .9", A,", ^.", C"; s'\ X'" , MW", e'\
on pourra supposer que les quantités s', s", r restent positives; et le déplacement «', déterminé en fonction de t et t par la formule
se mesurera dans une direction parallèle à celle de la droite OA', représentée par l'équation
De même, le déplacement «", déterminé par la formule
se mesurera dans une direction parallèle à celle de la droite OA", représentée par l'équation
et le déplacement «'", déterminé par la formule
se mesurera dans une direction parallèle a celle de la droite OA", représentée par l'équation
Lorsque, à l'aide des formules (19), (21), (28), on aura calculé les valeurs de «', «", 8"', on en déduira facilement celles de ^, rj, l; et, pour y parvenir, il suffira de recourir aux équations
/ 8' = Jlo' I + 1)1' Y] + 3' Ç,
( 25 ) < 8" — ..i," I + Dî," n + 3" C,
( 8'"=:clU'"£ + DV''y) + 3"'^,
desquelles on tirera
( 26 ) 1 Y} = lll' 8' + Dl" 8" + DV" 8"',
Ml ayant égard aux conditions
JU'2 + Ui,'2 + 3'2 z= I ,
ju" 01,'"+ aiy -Dî,"'-i- 3" Q'" = 0,
X"X' + Db'"iJl' + 3'" 3' -— o, X' cAo" + ilb' IJÎ," H- 3' 3" = o,
que vérifient nécessairement les cosinus ju', dî,', 3'; .C, -dî,", 3"; .a,'", ia>"', 3'" des angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par trois autres axes OA', OA", OA'" qui se coupent à angles droits.
Observons encore que, si, au bout du temps /, l'on nomme w la vitesse absolue de la molécule m qui coïncide avec le point (x,y,z), les projections algébriques de cette vitesse sur les axes coordonnés seront, en vertu de ce qui a été dit dans le IIP Volume (p. 166) ('), respectivement égales à
en sorte qu'on aura
dt) ^\dt) '^\dt
(') OEuvres de Cauchj, S. II, t. VIII, p. 20?., 2o3.
Si, au lieu de projeter la vitesse w sur les axes des x, y, z, on la projette sur les droites OA', OA", OA'", on trouvera pour projections algébriques, non plus les quantités (28), mais les suivantes
ds' d^" dn" (^°) Tt' Tt' ~dï
et, par conséquent, on aura encore
fd'é'Y fdwy /ds"'Y
Il suit de ce qui a été dit dans le IIP Volume (p. 2i3 et suiv.) (') que, en divisant les coefficients
par la densité naturelle du système de molécules que l'on considère, on obtient pour quotient les projections algébriques des pressions ou tensions supportées dans l'état naturel, et du côté des coordonnées positives, par trois plans perpendiculaires aux axes des x, y, z. Si ces pressions ou tensions s'évanouissent, on pourra en dire autant des coefficients (32), et les formules (7) se réduiront à
/ 4; =zLa2 + R62 + Qc2+2U^^c 4-2Vca +2Waè,
(33) 01L = Ra2+M6'-+Pc2 + 2U'6c + 2V'ca +2W'a6, ( DL =Qa2 4 p^,2^]Vc2 + 2U"6c4-2V"ca + 2W"a6,
les valeurs de 'l*, ^, <^ étant toujours
/ cp — Ua^ + U'Z>2 +U"c2 -^iVbc 4- 2W"ca -+- 2 V'a^,
(8) < ^ = Va2 4- V'fe2 + V"c2 4-2W''6c + 2Qca -h2U«^,
( a = Wa« + W'6«+ WV*4-2V'^>c 4-2Uca +2Ra^.
Dans le cas où le système des molécules proposé offre trois axes d'élasticité rectangulaires entre eux et respectivement parallèles aux
(») Œuvres de Cauchy, S. II, T. VIII, p. 253 et suiv.
axes (les x, y, z-, les coefficients
s'évanouissent; et, en écrivant G, H, I au lieu de 3, <3, C, on réduit les formules (ii) de la page iGG aux fornriules (G8) de la page 208 du IIP Volume ('). Alors aussi les équations (7) et (8) donnent simplement
(35) 0rL=(R + G)a5+(M + H)6=-f-(P +l)c% ( ^ :z^(Q + G)a2+(P + H)62+(N -i-l)c\
(36) ^S=2Pbc, ^=2Qca, A=<?A{ab.
Si, de plus, les pressions relatives à l'état naturel s'évanouissent, on aura
et les valeurs de 4^, OTl , 5ii se réduiront à
(38) ort = R«2 + M^-+Pc2,
( DL =Qa''+Pb'' +Nc^
Lorsque le système proposé offre la même élasticité en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des z, les coefficients G, H, P, Q, R, L, M vérifient les conditions (107) de la page 367, savoir
et les formules (35), (36) deviennent
(40) 0^u=:(R + H)a2+(3R^-H)^^2 4-(Q + I)c^ ( dL =(Q4-H)(a2+^,2) + (N + I)c'^
(40 ^S = 2Qbc, ^—-2Qca, ili = 2nab.
(») OEuvres de Cauc/ij, S. II, T. VIII, p. ■247.
Si, de plus, on suppose nulles les pressions relatives à l'état naturel, les formules (4o) se réduiront à
/ 4: =:3Ra2+R62+Qc%
(42) ) DlI = Ra2-i-3R^»-+Qc%
Enfin, si le système proposé offre la même élasticité en tous sens autour d'un point quelconque, on trouvera
et, en ayant égard à l'équation
(44) a^+6-+c2=i, on tirera des formules (35), (36)
(45) -C=2Ra2 4-R4-I, on— 2R6'-+R + 1, -V- = 2 Rc^ + R -+- I,
(46) a^=2R6c, ^ =2Rca, c;A. = 2Ra^^;
puis, en supposant les pressions nulles dans l'état naturel, on réduira les équations (45) à
(47) .C=2Ra^+R, OÏL — 2RZ>2-t-R, 9î, = 2Rc2+R.
Lorsqu'on adopte les valeurs de 4^, Dit, dX,, <r, ^, Jl fournies par les équations (45), (46), la formule (i5) se réduit à
et, par conséquent, des trois valeurs de s généralement représentées par s', s", s'", deux deviennent égales entre elles, en sorte qu'on peut prendre
(49) ^'^r^^'^rrR + I, ,Ç'^2=3R+L
Nous avons précédemment supposé, et nous supposerons généralement dans ce qui va suivre, que la surface représentée par l'équation (16) est un ellipsoïde. Or on peut s'assurer qu'il en sera effecli-
vement ainsi, toutes les fois que, les valeurs de ^, mu, 0ï„ ^\ ^, si étant déterminées pour les formules (35), (36), les coefficients G, H, I seront positifs ou nuls, et les coefficients L, M, N, P, Q, R positifs. Alors, en effet, l'équation (iG) pouvant être présentée sous la forme
( (Ga'--+-H62+Ic2)(^2}^2, -2) + La2^2^M^>y+Nc2^2
le polynôme que renferme le premier membre restera évidemment positif pour des valeurs quelconques de ce, y, z, et ne deviendra jamais nul, d'où il est aisé de conclure que la surface représentée par l'équation (i6) n'offrira pas de rayon vecteur infini, et sera un ellipsoïde. Il y a plus; on peut, dans tous les cas, présenter sous une forme très simple les conditions qui doivent être remplies pour que la surface (i6) soit un ellipsoïde. En effet, si l'on nomme r le rayon vecteur mené, dans l'état naturel du corps, de la molécule m à une molécule voisine m, cf,, [3, y les angles formés par ce rayon vecteur avec les demiaxes des coordonnées positives, et mmf(r) l'attraction ou la répulsion mutuelle des deux masses m et m, on tirera des formules (7) et (8), réunies aux équations (3), (4), (5), (6), (7) des pages iG3, 164,
et
