DIL

dX. =

\ nir

( mv \ 2 \ mr

e signe V indiquan

acosa + 6cosj3 + ccosj/)- [cos-a/(/-) ± f(r)] , acosa + b cos(3 + c cosy)^ [cos^(3/(/-) ±: ['(r)] , a cosa + b cos[3 + c cosy)- [cos-y /(/•) ± ('('")]

a cosa

b cos[3 -j- c cosy)^ cos{3 cosy /(/•) , b cos(3 + c cosy)2 cosy cosa/(/-) L b cos(3 + c cosy)- cosa cos[3/(/-) L

une somme de termes semblables, mais relatifs

a cosa

A L\ THÉORIE DE I.A LUMIÈRE. VOl

aux diverses molécules m, m\ ..,, le double signe ± devant être réduit au signe -h ou au signe —, suivant que la masse m sera attirée ou repoussée par la molécule m, et la fonction /(/) étant déterminée en fonction de r par la formule

(]ela posé, l'équation (iG) deviendra

.V4) X — (acosotH-^cosp + ccosy)^ [(x cosa + ycosjS 4- zoos ■/)-/('■) =t (x-4-y-+z^) f(/-)]

Si, maintenant, on nommée étales angles que forme le rayon vecteur/-: [•' avec la perpendiculaire au plan représenté par l'équation (i); 2** avec le rayon vecteur yx' -t- y + z" mené de l'origine au point (x, y, z), on trouvera

(55) cosô = a cosa + ^ cos|3 + c cos-/,

X cos a + y cos (3 -h z ces y

(;)0) cosT

puis, en posant, pour abréger,

on tirera de la formule (5G)

(58) X COSOC + y C0S(3 + ZCOSy =r: r COST.

Par suite, la formule (iG) ou (54) donnera

(59) "' S ("T" COs2o[COS-T/(/-) ± IX/-)] I = ï,

ou, ce qui revient au même,

(Go)

<^j^"cos^ô[cos^r/(/-)± (•('•)] j

Or la surface représentée par la formule (iG) sera un ellipsoïde, si le rayon vecteur r mené de l'origine à un point quelconque (x, y, z) de cette même surface conserve constamment une valeur réelle et finie,

OEuvres de C. — S. U. t. IX. 5l

i02 APPLICATION DES FORMULES ETC.

c'est-à-dire, en d'autres termes, si l'on a pour toutes les directions possibles de ce rayon vecteur

(6.) 1^ j ^■cosM[cos^r/(/-) ± f(0] j > o.

Si l'on suppose que les pressions s'évanouissent dans l'état naturel, le polynôme

(62) :^a'--{-iib^-{-<Cc^-+'2Bbc-h2(èca + 2£ah

= S[±"^^os'a|(.)]

s'évanouira en même temps que les coefficients 3, 5, C, iD, (g, £, et par conséquent la condition (61) se trouvera réduite à

(63) |^r^cos25cos2r/(/-)l>o.

§ IL — Propagation des ondes planes dans un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Surface des ondes.

Concevons que les valeurs initiales des déplacements et des vitesses de la molécule m mesurés parallèlement aux axes, c'est-à-dire les valeurs initiales des quantités

j. c. de. ()f\ dZ

^' "'' ^' ai' w w

soient connues et représentées par certaines fonctions de r. On en déduira sans peine les valeurs initiales des quantités

, „ „, d^' dH" à^'" '' '' '' Tt' Tt' Tt'

et dès lors on pourra facilement déterminer les fonctions arbitraires introduites par l'intégration des équations aux différences partielles (19), (21), (23) du § I. Or ces trois équations sont toutes renfermées dans la formule (12), § I, de laquelle on les tire en attribuant successivement à s les trois valeurs particulières s', s", s". D'ailleurs, si l'on désigne par f^ (t), f, (t ) les valeurs initiales de » et de ^ ? la valeur gé-

nérale de «, donnée par la formule (12), § I, sera

fo(t-^0 + |'o(t-f-^0 , /•'[\(t-.90 + |\(t + .'>0

dt.

Cela posé, concevons qu'au premier instant « et ^ n'aient de valeurs sensibles que dans le voisinage du plan représenté par l'équation (i) du § I, ou

et que fo(ï)» f, (ï) s'évanouissent, par exemple, pour toutes les valeurs de X situées hors des limites

/'désignant une longueur très petite. Il est clair qu'au bout du temps / les fonctions

s'évanouiront pour toutes les valeurs de x situées hors des limites

(4) -L^-st — i, \. = sl-\- i,

c'est-à-dire, pour tous les points situés hors de la couche très mince dont l'épaisseur 2.1 sera divisée en parties égales par le plan que représentera l'équation

( 5 ) x.:=St

(()) ax -\- by -\- cz = si;

et les fonctions

pour toutes les valeurs de x situées hors des limites

( 7 ) v = — st — i, X — — st-h i,

c'est-à-dire, pour toutes les valeurs de t situées hors de la couche très

minco dont l'épaisseur ii sera divisée en deux parties égales par le plan que représentera l'équation

(8) ^=-st OU

(9) ax + by-Jr czz=. — st.

Donc le déplacement « et la vitesse —, mesurés parallèlement à la droite OA, s'évanouiront constamment hors des deux couches ci-dessus mentionnées; et, comme, au bout du temps t, il existera deux couches de cette espèce pour chacune des trois valeurs de « désignées par «', «", «'", nous devons en conclure que le mouvement, qui n'était d'abord sensible que dans le voisinage du plan OO'O", représenté par l'équation (i), se propagera dans l'espace de manière à produire six ondes planes indéfinies qui offriront toutes la même épaisseur -li, et resteront comprises entre des plans parallèles à OO'O". Ces ondes, considérées deux à deux, auront des vitesses de propagation égales, mais dirigées en sens contraires, savoir, dans le sens des t positives et dans le sens des t négatives. De plus, ces vitesses, mesurées suivant une droite perpendiculaire au plan OO'O", pour trois ondes qui se mouvront dans un même sens, seront constantes en vertu de la formule (5) ou (8), et respectivement égales aux trois valeurs de s que détermine la formule (i5) du § I, c'est-à-dire, aux quantités/, s", s'". Les points situés hors des ondes planes dont il s'agit seront en repos, puisque les valeurs de

Ol ÔL Ot

correspondantes à ces mêmes points, s'évanouiront. 3Iais, pour les points renfermés dans l'épaisseur d'une onde plane, l'un des trois déplacements «', a", «'" et l'une des trois vitesses ~, ~, ~ cesseront

dt dt dt

de s'évanouir. Ainsi, en particulier, dans l'onde plane qui se propage avec la vitesse s\ le déplacement a' mesuré parallèlement à la droite OA'

A LA THÉORIE DE LA LUMIÈRE. iOo

, , , . , ., ch'

acquerra une valeur différente de zéro, ainsi que la vitesse -^; et, comme les déplacements ou les vitesses mesurés parallèlement aux droites OA", OA'" continueront de s'évanouir, on peut affirmer que, dans l'intérieur de la même onde, le déplacement absolu et la vitesse absolue d'une molécule m seront dirigés suivant une droite parallèle à l'axe OA', et représentés par les valeurs numériques des quantités y', ^'. Pareillement, dans l'onde plane qui se propage avec la vitesse s" ou s"\ le déplacement absolu et la vitesse absolue d'une molécule seront dirigés suivant une droite parallèle à l'axe OA" ou OA'", et représentes par les valeurs numériques de « , ^ ou de a , -^•

En résumant ce qui précède, on obtient la proposition suivante :

Théorème I. — 5/, dans un corps homogène, les dèplacemenls el les vitesses des molécules sont nuls au premier instant, pour tous les points situés hors d'une couche plane très mince dont l'épaisseur 21 est divisée en deux parties égales par un certain plan OO'O", et restent les mêmes pour tous les points de la couche qui se trouvent situés à la même distance de ce plan, la propagation du mouvement, de chaque côté du plan OO'O", donnera généralement naissance à trois ondes renfermées entre des plans parallèles. Chacune de ces ondes offrira une épaisseur égale à ii. De plus, les vitesses de propagation des trois ondes, mesurées suivant une perpendiculaire au plan OO'O", seront constantes et respectivement égales aux quotients qu'on obtient en divisant l'unité par les demi-axes de l'ellipsoïde que représente la formule (16) du § I. Enfin les déplacements absolus ainsi que les vitesses absolues des molécules dans les trois ondes se mesureront suivant trois directions respectivement parallèles aux trois axes de l'ellipsoïde.

Le théorème I suppose que la surface représentée par l'équation (iG) du § I est un ollipsoide. Si la même équation devenait propre à représenter un système de deux hyperboloïdes conjugués, ou si elle ne pouvait plus être vérifiée par des valeurs réelles de x,y, z, quelques-unes des trois vitesses de propagation s', s", s"\ ou même ces trois vitesses à

la fois deviendraient imaginaires; et, dans le dernier cas, la propagation des ondes planes deviendrait impossible.

Si deux ou trois axes de l'ellipsoïde ci-dessus mentionné devenaient égaux, les ondes planes qui se propageraient dans le même sens, avec des vitesses réciproquement proportionnelles à ces axes, coïncideraient, et la vitesse absolue de chaque molécule renfermée dans une onde plane serait, au bout d'un temps quelconque, parallèle aux droites suivant lesquelles les vitesses initiales se projetaient sur le plan mené par les deux axes égaux de l'ellipsoïde, ou même, si l'ellipsoïde se changeait en une sphère, aux directions de ces vitesses initiales.

Concevons maintenant qu'au premier instant plusieurs ondes planes, peu inclinées les unes sur les autres, et sur un certain plan OO'O", se rencontrent et se superposent en un certain point 0. Le temps venant à croître, chacune de ces ondes se propagera dans l'espace, en donnant naissance, de chaque côté du plan qui divisait primitivement l'épaisseur de l'onde en parties égales, à trois ondes semblables renfermées entre des plans parallèles, mais douées de vitesses de propagation différentes. Par conséquent, le système d'ondes planes que l'on considérait au premier instant se subdivisera en trois autres systèmes, et le point de rencontre des ondes qui feront partie d'un même système se déplacera suivant une certaine droite, avec une vitesse de propagation distincte de celle des ondes planes. Soient^, j, z les coordonnées de ce point de rencontre, et faisons, pour abréger,

(lo) ^ ^i^'b,c,s) = {Sl-s^-){d\\-s^){dZ-s'-)~r-{-^~s^)

Pour calculer, au bout du temps t, les valeurs de x, y, z, on devra, dans l'équation (6) ou (9), considérer s comme une fonction de a, h, c, déterminée par la formule (i5) du § I, ou, ce qui revient au même, parla suivante

et joindre à l'équation (6) ou (9) celles qu'on en déduit en attribuant

aux trois paramt;trcs a, h, c, ou seulement à l'un d'entre eux, des accroissements infiniment petits ('). Donc, les coordonnées x, y, z du point de rencontre des ondes planes qui feront partie d'un même système seront déterminées par l'équation (G) jointe aux formules

ds ds ds

ou par l'équation (9) jointe aux formules

ds ds ds

^ ' da -^ db de

suivant que les ondes dont il s'agit se propageront d'un côté ou d'un autre par rapport au plan 00' 0". De plus, comme, au bout du temps /, les formules (12) ou (i3) suffiront pour fixer les valeurs de x, y, z, il est clair que ces formules devront entraîner l'équation (6) ou (9). Or c'est oe dont il est facile de s'assurer directement. En effet, si, dans la formule (10), on substitue les valeurs de 4;^, on, dJo, (S, ^, A données par les équations (7), (8) du § I, on obtiendra pour F(«, h, c, s) une fonction homogène de a, b, c, s. Donc la formule (i i) donnera pour s une fonction homogène de a, b, c, du premier degré, en sorte qu'on

(1) Dans les formules (0) ou (9) et (11), les trois paramètres «, b, c, étant les cosinus des angles compris entre une certaine droite et les demi-axes des coordonnées positives, sont liés entre eux par l'équation

Mais on doit observer que le plan représenté par l'équation (6) ou (g) ne se déplacera point si les valeurs «, /', c, .v varient dans un môme rapport, et qu'alors ces valeurs continueront de satisfaire à la formule (11), en cessant de vérifier la condition

rt:2^^2^c2 = I.

11 en résulte qu'en prenant pour s une fonction de «, b, c déterminée par la formule (ii) on peut, dans l'équation (6) ou (9), supposer les trois paramètres o, b, c indépendants l'un de l'autre. Dans cette hypothèse on établit facilement les formules (12) ou (i3); cl,

comme — > -rr» -r sont des fonctions homogènes de a, b^ c d'un degré nul, il est clair da 00 oc

que ces formules déterminent les rapports 7 ' 7" ' 7 ^n fonctions des rapports - , -y quelle

que soit la valeur du trinôme a^-^-b^-^c^, par conséquent dans le cas où ce trinôme môme se réduit à l'unité.

aura ideiitiqucment

, / -, as , ds ds

aa où de

D'ailleurs, en ayant égard à l'équation (i4), et combinant entre elles, j)ar voie d'addition, les formules (12) et (i3) respectivement multipliées par a, h, c, on reproduit évidemment l'équation (G) ou (9).

Il est important d'observer que, s étant une fonction homogène du premier degré en a, h, c, les dérivées |^' |^' ^ seront des fonctions homogènes d'un degré nul, ou, en d'autres termes, que ces dérivées dépendront uniquement des rapports -, -• Cela posé, concevons que, entre les formules (12) ou (i3), on élimine les rapports dont il s'agit. L'équation produite par cette élimination sera de la forme

et représentera une certaine surface courbe, qui sera touchée, au bout du temps /, par les plans tracés de manière à diviser en parties égales les épaisseurs très petites des ondes ci-dessus mentionnées. Cette surface courbe sera donc l'enveloppe de l'espace traversé par les plans dont il s'agit. Nous la nommerons, pour abréger, surface des ondes.

Si, au bout du temps t, l'on désigne par a', h', c' les cosinus des angles que forme le rayon vecteur mené de l'origine à la surface des ondes, avec les demi-axes des coordonnées positives, et par r' ce même rayon vecteur, les valeurs de x, y, z correspondantes à l'extrémité du rayon r' seront déterminées par les formules

Par suite, l'équation (i.>) donnera

(.7) n(a'^,6'fc'0=o;.

et l'on en déduira, pour r', une valeur générale de la forme

('8) v'=ztTu{a',b\c').

Donc, le temps venant à croître, le rayon vecteur x' croîtra proportionnellement au temps ou, en d'autres termes, la vitesse avec laquelle l'extrémité du rayon r' se déplacera dans l'espace sera une vitesse constante pour une direction donnée de ce rayon, et la surface des ondes acquerra des dimensions de plus en plus grandes, sans cesser d'être semblable à elle-même.

Il existe des relations dignes de remarque entre la surface des ondes et celle dont les coordonnées x, y, z vérifient l'équation

\in effet, désignons par r le rayon vecteur mené de l'origine à cette dernière surface de manière à former, avec les demi-axes des coordonnées positives, les angles "X, [Ji, v, dont les cosinus sont a, h, r. Les coordonnées x, y, z de l'extrémité du rayon r étant liées à ce rayon par les formules

(9.0) x = ar, y-zbx, z = cr,

l'équation (19) donnera

(21) Y{ar, /jt,cr, t) = o,

OU, ce qui revient au même, attendu que F( x, y, z, /) est une fonction homogène de x, y, z, /,

{'A2) vla,b,c,-^=o.

Or, les diverses valeurs de - déduites de l'équation (-l'i) coïncideront évidemment avec les diverses valeurs de s déduites de la formule (1 1). D'autre part, si, dans l'équation (G) ou (9), qui représente le plan tangent à la surface des ondes, on pose

on trouvera

(24) au^-hby + cz-±~-

OF.Ui'res<leC—^.l\,t.\\. ^^

I^]ntin, il est clair que la formule (22) représentera un plan mené perpendiculairement au rayon vecteur r par un point situé sur ce rayon vecteur à la distance - de l'origine des coordonnées. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème IL — Construisez la surface représentée par l'équation (lo^)^ et, après avoir mené de l'origine à cette surface un rayon vecteur r, portez sur ce rayon vecteur, à partir de l'origine, une longueur égale au rapport qui existe entre le carré du temps et ce même rayon. Menez enfin, par l'extrémité de cette longueur, un plan perpendiculaire à sa direction. Ce plan sera le plan tangent à la surface des ondes. Par conséquent, cette dernière surface sera V enveloppe de l'espace que traverseront les divers plans qu'on peut construire en opérant comme on vient de le dire.

Nous observerons encore que, en vertu des formules (16) et (20), l'équation (24) peut être réduite à

(20) xx' {aa' + bb' -\- ce') =z±t-

ou bien à

(26) x\+ yy -i- zz-=± t^.

D'ailleurs, si l'on nomme -; l'angle compris entre les rayons vecteurs menés de l'origine à deux points correspondants {x,y, z), (x, y, z) des deux surfaces représentées par les équations (i5) et (19), on aura

(27) cos-] = aa' 4- 6^' 4- ce'.

Donc, l'équation (2$) donnera

(28) rr'coST =±: ^2

Or il résulte évidemment de la formule (28) qu'en multipliant les rayons vecteurs r et r' par le cosinus de l'angle aigu compris entre eux, ou, ce qui revient au même, le premier de ces rayons vecteurs par la projection du second sur le premier, on obtiendra toujours un produit égal au carré du, temps.

La fonction V(a,h,c,s), déterminée par l'équation (lo), est du sixième degré par rapport à s, et du troisième degré par rapport à s-. Donc, la formule (ii) fournira généralement trois valeurs de s-, auxquelles répondront trois nappes différentes de la surface des ondes. Soit

l'une de ces valeurs. L'équation (19) donnera, pour /-, une valeur correspondante, savoir

et '^(x, y, z) sera une fonction homogène du second degré. De plus, celle des trois nappes de la surface des ondes à laquelle se rapportera la valeur ^'(«, b, c) de s^ sera l'enveloppe de l'espace que traverse le plan mobile dont les coordonnées x, r, z satisfont à l'équation (2G) quand on considère x, y, z comme des paramètres variables assujettis à vérifier la condition (3o). Cela posé, faisons, pour abréger,

^., X ' drf(x, y, z) a»(x, y, z) = ~ y

I ,Tr. , I ().f(x,y, z)

\ ^ -^ ^ 2 dz

Puisque, en difPérentiant, par rapport aux paramètres x, y, z, les formules (26), (3o), on obtiendra les suivantes

(3a) a:dx-^ydy-i-zdz=:o,

(33) 4»(x, y, z)<ix-(-X(x, y, z)rfy + 't'(x, y, z) dz ~ o,

et que, en égalant à zéro, dans l'équation (,33), les coellicients des différentielles dx, dy, après avoir éliminé dz à l'aide de la formule (32). on trouvera

il est clair que Féquation de la nappe ci-dessus mentionnée sera fournie par l'élimination des paramètres x, y, z entre les formules (26), (3o) et (34). Comme on aura d'ailleurs, en vertu du théorème des fonctions homogènes,

on tirera de l'équation (34)» jointe aux formules (26) et (3o),

^^ <I»(x,y,z) X(x,y,z) W(x,y,z) ;f(x,y, z) ^^ ( Sb ) ■ = =^ — ; ; — ^^ I »

et, par conséquent,

(37) (^{\,\-,z)-—x, X(x,y, z)=7, ^'(x,y, z) = :;, . OU

Donc, pour obtenir l'équation de la nappe dont il s'agit, il suffira do substituer, dans la formule (3o), les valeurs de x, y, z exprimées en fonctions de x, y, z, à l'aide des formules (37) ou (38). Observons, au reste, que les fonctions homogènes ^(x, y, z), ^"^(x, y, z, t) étant de degré pair, et les fonctions dérivées 2$(x, y, z), 2X(x, y, z), '2W(\, y, z) de degré impair, les valeurs de x, y, z changeront de signe avec X, j, z, de sorte qu'on arrivera au même résultat en partant des équations (37) ou des équations (38), et qu'on pourra réduire la formule (36) à la suivante :

Pour montrer une application des principes que nous venons d'établir, supposons que, en résolvant la formule (ii\ on obtienne pour .vune valeur de la forme

(4o) x-=: ûa-+ b6-+ rc-+ n'^hc -\- lica -V liab.

L'équation (3o) deviendra

(4i) t^= ci\^+ ^f-+ fz2+ 2byz + 2ez\H- afxy,

et, par suite, les formules (37) donneront

(42) rtx4-fy H- fz = .r, fx + by + &z=:y, ex. + îiy + rz =r :;. Or, en substituant, dans l'équation (41), ou plutôt dans la suivante

(43) t^- = xx+yy -\-zz,

les valeurs de x, y, z tirées des formules (42), savoir

(bc- î)2)^l(î,e rf)y4- (fi)bc)^

abc — aî>^ — be- — ci- + itti

__ (if — ti)x -4- (ctt — t^)y + (cf — aî>)z ^ abc — ay- — bc"^— rP-i- 2Î>cf

(fïr — be)^ + (ef — «ti) j + ("l» — f^)^ ûbf — ûb'^ — bf "^ — rf ^ + 2 bff

on trouvera

(bf — î)2)a^2+(ra — c^)j2+ (ab — (^)j--f-2(cf— aîi)jc + 2(ft — bc):;a: + 2(bc — cf).rj

ûbf — aî|2 — bf =* — ff2 | 2 iif f

Telle est l'équation qui représentera une nappe de la surface des ondes, si la valeur de ^% correspondante à cette nappe, est donnée par la formule (4o). Si l'équation (4i) appartient à un ellipsoïde, la nappe représentée par l'équation (44) sera un second ellipsoïde, et les rayons vecteurs menés de l'origine à deux points correspondants de ces ellipsoïdes seront tellement liés entre eux que le produit de ces rayons vecteurs par l'angle aigu qu'ils comprennent sera égal au carré du temps. Si, dans la formule (40), on substitue la valeur de s tirée de l'équation (G) ou (9), on trouvera

(45) (aa--\- bZ;-+ rc--h 'i'isbc + 2fca + 2{ah)r-= {ax + by -f- czy.

Or, au lieu d'éliminer x, y, z entre les formules (4i)» (42), on pourrait éliminer a, h, c entre l'équation (45) et ses dérivées prises successivement par rapport à chacune des trois quantités a, h, c. En opérant

^i'* APPLICATION DES FORMULES ETC.

ainsi, on obtiendrait l'équation

qui coïncide effectivement avec la formule (44).

Si la valeur de s"-, déterminée par la formule (^|o), se réduisait à

(47) s'-—(xa'--\-\ib''--^tc^,

l'équation (44), qui représente, au bout du temps /, la surface de Tonde, deviendrait

Supposons maintenant que i{a, b,c) désigne seulement une valeur approchée de s-, et que l'on trouve, en poussant plus loin l'approximation, ou même en ne négligeant rien,

(49) s- — î{a,b,c)-\-{ia,b,c).

Pour obtenir la nappe de la surface des ondes à laquelle correspondra la valeur précédente de s\ il faudra substituer, non plus dans la formule (3o), les valeurs de x, y, z fournies par les équations (37), mais dans la formule

les valeurs de x', y', z' fournies par les équations

'P'(x',y',z')+^(x',y',z')rz:c.

on faisant, pour abréger,

(52) / xi^^y^^)'-'

[4^(x,y,z)-=^ dz

Supposons maintenant que, les quantités f(x,y,z) et x'— x, y'— y, //— z étant considérées comme infiniment petites du premier ordre, on néglige les infiniment petits du second ordre. En ayant égard au théorème des fonctions homogènes, on tirera des équations (5i), respectivement multipliées par x', y', z',

(53) ^x'4-7y'+ zz'= ^\', y', z') + f(x', y', z'), ou, à très peu près,

(54) xx'+yy'-^ zz'= ^{\', y', z') + f(x, y, z). Comme on aura d'ailleurs, en vertu des formules (35) et (37),

(55) œ\-^yy-hzz = ^{\,y,z),

on trouvera encore

ou, ce qui revient au même,

(56) ^(x'-x)-nr(y' — y)-4-3(z'-z)-----f(x,y,z),

et, par conséquent,

(57) jox' -^ yy' -h zz' = x\ -\- yy -^ zz - {{\, y,z) - ri {X, y, 1) - r(x,y, z).

Cela posé, les formules (.)o) et (53) donneront

Telle est l'équation qui représentera, sans erreur sensible, une nappe de la surface des ondes, cette nappe étant relative à la valeur de s- que détermine la formule (49)-

Au reste, les méthodes que nous venons d'indiquer comme propres à fournir les diverses nappes de la surface (i5) seraient évidemment applicables dans le cas même où l'on désignerait par B(a, h, c,s), non plus une fonction homogène du sixième degré, déterminée par l'équation (to), mais une fonction homogène de degré quelconque.

Revenons maintenant à la formule (lo). Cette formule se trouvera réduite à l'équation (48) du § I, si l'élasticité du système de molécules que l'on considère reste la même en tous sens autour d'un point quelconque. Par suite, les trois valeurs de s, représentées par s', s", s'", se réduiront à celles que déterminent les formules (49) du § I, savoir

Donc alors, quelle que soit la direction du plan OO'O'qui, au premier moment, divise en deux parties égales l'épaisseur d'une onde plaue, la propagation du mouvement de chaque côté du plan OO'O" donnera seulement naissance à deux ondes planes dont les vitesses de propagation seront

(<iO (R + I)^ (3R + I)S

et la surface des ondes se réduira au système de deux surfaces sphériques qui seront, au bout du temps /, représentées par les équations

Alors aussi les formules (i3), (45) ot (40) du § I donneront

( 2R(acîU + ^;ill,4-c3)~ =i2R(aa, -f-èill, ■4-c£)4 (64) < .

1 —2K{aX-\-bMi\>^c^)^—s'—'^-\.

D'ailleurs, si, dans la formule (G4), on pose s-= R + I, on en conclura

(a^-^ ^1)1, + cS) -?• =(aol, + 61)!, 4-cS)— = (orJl, + 6\IJ, + cS) ^ — o, cl) ub o

et, par conséquent,

(65) flîol, + Z;!)'.) + c3 =0,

attendu que les quantités a, b, c, liées entre elles par la condition

ne peuvent s'évanouir simultanément. Si l'on pose, au contraire, ^2= 3R j i^ on tirera de la formule (64)

abc 1

et, par suite.

„{, ■" D!) "~ S ~ ac\, + 6\)b -h c3

De plus, comme deux racines égales de l'équation (i i) correspondent à la première des ondes planes ci-dessus mentionnées, cette onde plane pourra être considérée comme produite par la superposition de deux autres ondes de même espèce. Cela posé, il résulte évidemment des formules (65), (G(j) que les déplacements et les vitesses absolues des molécules se mesureront, dans la première onde, suivant des droites parallèles au plan OO'O", et dans la deuxième onde, suivant des droites perpendiculaires au même plan.

Si la quantité I, c'est-à-dire la pression supportée par un plan quelconque dans l'état naturel s'évanouissait, les vitesses de propagation de la première et de la deuxième onde deviendraient respectivement