V^, V^SR
et la surface des ondes se réduirait au système des deux surfaces sphé-
OEuires de C. — S. Il, t. IX. 53
riques représentées par les équations
En général, lorsque de la formule (10), combinée avec les formules (33) et (8) ou (38) et (36) du § I, on a déduit les trois valeurs ■ de s^ relatives au cas où les coefficients
(70) 3, Î3, C, B, (Ê, £ ou G, H, l
des formules (7) ou (35) (§ I) s'évanouissent, il suffît évidemment d'ajouter à ces valeurs le polynôme
(71) aa2+<362+€c2+ 2l)Z?c4- 2€ca + 2iFaZ>
ou
(72) Ga-+H62+Ic%
pour trouver ce qu'elles deviennent dans le cas contraire. On sait d'ailleurs que les coefficients (70) représentent les projections algébriques des pressions supportées dans l'état naturel par des plans perpendiculaires aux axes coordonnés.
Supposons maintenant que l'élasticité du système reste la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des z. Alors, en admettant que les pressions s'évanouissent dans l'état naturel, on tirera de la formule (10), jointe aux équations (4i)» (4^) du § I,
[ ¥{a,b,c,s) = {3Ra^-hRb'+Qc^—s-)ina--^3Rb'-^Qc^—s^){Qa^+Qb^-\-'Sc^—s') (73) -^Q^b^c\3Ra^-hRb'-+Qc^—s'-)-/^Q-c^a^Ra^-i-3Rb^+Qc^—s^)
( — 4R*a'^''(Q«'+ Q6'+ Nc2— .ç2) + i6Q^Ra^b'-c\
D'autre part, on aura identiquement
{3Ra^^Rb'-+Qc-—s-'){ Ra--i- ^Rb'^-}- Qc'— s'^) - ^R^a^b'- = { Ra--i-Rb'-^Qc^ — s^)i3Ra^-h6Rb^-hQc^~s^),
et
= {Ra^ -h Rb' + Qc^ - s^) {a^ + b^).
Donc, la formule (73) pouvant être réduite à
'^'^^ \ =(Ra2H-Rfeî+Qcî-^2)[(3Ra'+3RZ;*+Qc«-5^)(Qa^+Q62 + Nc2-.vî)-4QVn«-4-^')],
l'équation (i i) se décomposera en deux autres, savoir, (76) Ra2+R^2 4-Qc5 52^o
et
(76) (3Ra--f-3R62 + Qc^-,9^)(Qa*+Q^'^ + Nc*-5^)-4Q'-cH«'-H^') = o-
Ajoutons que l'équation (76), pouvant être présentée sous la forme
I (Qa2-+-Q^>-+Qc"-5'-)(3Ra2+3R6^4-Nc2-.s--^) ^"^^ i +[(N-Q)(3R-Q)-4Q^Jc-n«^^^'^)=o,
sera elle-même décomposable en deux autres, savoir,
et
(79) 3R(a2+^>2)-t-Nc''— s* = o,
si les coefficients N, Q, R vérifient la condition
Alors on pourra prendre
(S'.î) s'^— R(a2-+-6*)-hQc»,
(83) 5"'*=3R(rt«-^fe*)-f-NcS
et, par suite, les trois nappes de la surface des ondes se réduiront aux
surfaces de la sphère représentée par l'équation
(84) f!!:tr!±£' = ,,,
et des deux ellipsoïdes représentés par les deux équations
(85) ^-tZ%f!,.
Alors aussi, en posant successivement s = s', s = s", s = s'", on tirera des formules (i4) du § I""
a b 3R-Qrt2^6'-'
( 88 ) a X"+ b \SV= o, G"=: o,
(8q) 4^^ilî^__^Q £^
puis on conclura des équations (87), (88), (89), combinées avec les formules (20), (22), (24) du § P'', que, dans les trois ondes planes, parallèles à un même plan OO'O", et dont les vitesses de propagation seront^', s", s'", les déplacements absolus des molécules se mesureront parallèlement aux trois droites représentées par les formules
-=y =— ^0 c^ __ N — Q cz
(9O ax -\' byz=o, z^o,
a b N — Qc 2Q c'
Or il résulte des équations (91) que, dans les ondes planes dont la vitesse de propagation sera /', les droites suivant lesquelles se mesureront les déplacements dos molécules resteront toujours parallèles au plan OO'O" et perpendiculaires à Taxe des z. Au contraire, il suit des formules (90) et (92) que, dans les ondes planes dont les vitesses de propagation seront s" et s'\ les droites suivant lesquelles
A LA THÉORIE DE LA LUMIÈRE. V2l
se mesureront les déplacements des molécules resteront toujours comprises dans des plans parallèles à l'axe des z et perpendiculaires au planOO'O".
Si, la condition (80) étant vérifiée, ainsi que les conditions (Sq) du § F% on ne supposait pas les pressions nulles dans l'état naturel, il faudrait aux formules (81), (82), (83) substituer les suivantes
et par conséquent les trois nappes de la surface des ondes coïncideraient avec les surfaces des trois ellipsoïdes représentés par les équations
(96) TTIITh + Q^TÎ = ^''
S'^zn
(97' irnr "^ on ^ ''*
Quant aux déplacements absolus des molécules dans les ondes planes dont les vitesses de propagation seraient s', s", s'", ils se mesureraient toujours suivant des droites parallèles à celles que représentent les formules (90), (91), (92).
Il est important d'observer que la condition (80) se trouve remplie, en même temps que les conditions (43) du § I", dans le cas où l'élasticité du svstème que l'on considère est la même en tous sens autour d'un point quelconque. Alors aussi on a
et la formule (92), réduite à
montre (jue, dans la troisième onde, les déplacements absolus des moIé-
(lO.)
cilles so mesurent suivant des droites perpendiculaires au plan OO'O". Ajoutons que, si la condition (99) n'est pas rigoureusement mais sensiblement vérifiée, il en sera de même de la formule (100), et que par suite les déplacements absolus des molécules dans la troisième onde se mesureront suivant des droites sensiblement, mais non exactement perpendiculaires au plan OO'O".
On pourrait demander si le cas où l'on suppose la condition (80) vérifiée est le seul dans lequel les deux valeurs de s-, fournies par l'équation (76), se réduisent à des fonctions rationnelles de a, b, c. Pour répondre à cette question, il suffira d'observer qu'on tire généralement de l'équation (76)
( ±-h/(3R-Q)Ma2+6^)='+2[8Q^-(3R — Q)(N — Q)](a^+6-^)c2+(N — Q)*c*.
Or la valeur précédente de s"^ deviendra une fonction rationnelle de a, h, c, si la quantité comprise sous le radical est un carré parfait, ou, ce qui revient au même, si l'on a
et suivant qu'on réduira le double signe i au signe + ou au signe —, la formule (102) reproduira la condition (80) ou la suivante
(io3) Q — o.
Donc, si le coefficient Q n'est pas nul, l'équation (76) ne pourra fournir une valeur rationnelle de ^^ à moins que les trois quantités Q, R, N ne satisfassent à la condition (80). Remarquons d'ailleurs que, si, les pressions étant nulles dans l'état naturel du système que l'on considère, le coefficient Q s'évanouissait, les valeurs de s- déterminées par les formules (70), (76) deviendraient
(io4)
= Nc%
= 3n{a'--hb^).
A LA THÉORIE DE LA LUMIÈRE. i23
Alors aussi les trois nappes de la surface des ondes disparaîtraient et se trouveraient remplacées par des points et des cercles. En etl'et, on tirerait des formules (37) ou (38) et (3o) : i** en supposant
^(x, y, z) = Nz-,
(107) a: = o, y=^o, ^=^^ 2*' en supposant #(x, y, z) = R(x- -f- y-),
rpî -4- v'
(108) —^=t\ z=.o; 3^ en supposant .f (x, y, z) = 3R( x^ -*" y^)»
Donc, au bout du temps /, les ondes planes douées de la vitesse de
propagation ± N'c passeraient toutes par l'un des deux points situés
± sur l'axe des :; à la distance N't de l'origine des coordonnées, tandis
que les plans tracés de manière à diviser en parties égales les épais-
seurs des ondes douées de la vitesse de propagation R"(«--f- h^)'- ou
3^R" (a' + b^y^ toucheraient les circonférences de cercles représentées parles équations (108) ou (109). Enfin l'on tirerait des formules (i4)» (4i) et (42) du § l" : 1° en supposant s'^ = Nc^,
(110) Jla = O, l)b -— O, G— ±1;
2" en supposante' — R(a'* -h />-),
(m) «ol, H- 6i)l) — o, S=:o;
3** en supposant s^ = 3R(rt^ + />-),
Par suite, dans les ondes planes dont les vitesses de propagation seraient données par les formules (lo'j), (io5) et (106), les dépla-
céments absolus des molécules se mesureraient parallèlement aux droites représentées par les équations
(ii3) ^ = 0,^ = 0,
(ii4) ax -{- by = 0y z=io,
(iio) -=T' - = o-
Or ces trois droites se confondent, la première avec l'axe des z, la seconde avec la perpendiculaire menée à cet axe dans le plan OO'O" que représente l'équation (2), et la troisième avec une perpendiculaire au plan des deux premières.
Si, les pressions n'étant pas nulles dans l'état naturel, le coefficient Q s'évanouissait, il faudrait aux formules (to4), (io5), (106) substituer les suivantes
(117) .ç'-=(R + H)(«2+/>-) + lc%
(118) ^^=(3R4-H)(«2+62) + IcS-
et, par conséquent, les trois nappes de la surface des ondes coïncideraient avec les surfaces des trois ellipsoïdes représentés par les équations
Quant aux déplacements absolus des molécules dans les ondes planes, ils se mesureraient toujours suivant des droites parallèles à celles que représentent les formules (r i3), (ii4) et (ii5).
Lorsque, l'élasticité du système restant la même en tous sens autour de l'axe des z, les valeurs de s- fournies par l'équation (76) sont des
A LA THÉORIE DE LA LUMIÈRE. !^'2o
fonctions irrationnollos de a, h, c, chacune de ces valeurs est de la forme
Or, en substituant l'équation (122) avec la suivante
(.23) <2=^[(x2+y2)iz]
aux formules (29), (3o), et posant d'ailleurs
on reconnaîtra sans peine que, pour obtenir, dans l'hypothèse admise, l'équation propre il représenter une nappe de la surface des ondes, il suffit d'éliminer x, y, z, non plus entre les formules (3o) et (37) ou (38), mais entre l'équation (i23) et les formules
ou
Or, dans cette élimination, on pourra évidemment aux équations { 1 25) ou (126) substituer les formules
(r27) (;r' + 7*)^=o[(x'-i-y')%zJ, ^ = ^-^ix-^-r- v^)S zj,
OU
(128) (.r'+vî)*r:r-<p[(x'-f-yMSz], 5--»J-^[(x^-+-yMizJ;
OF.uvres de C. — S. Il, l. IX. ^4
et, comme on tirera de ces dernières, combinées avec la formule (i i3), une équation de la forme
il est clair que, dans la surface des ondes, les deux nappes correspondantes aux valeurs de s^ déterminées par la formule (76) seront des surfaces de révolution autour de l'axe des z. Cette conclusion, qu'il était aisé de prévoir, s'étend au cas même où, les pressions n'étant pas nulles dans l'état naturel, on devrait modifier les deux valeurs de s- cidessus mentionnées, en ajoutant à chacune d'elles le trinôme
(i3o) H(a--^62) + Ic^
Quant à la troisième nappe de la surface des ondes, elle coïncidera toujours avec l'ellipsoïde (85) ou (97), qui est pareillement de révolution autour de l'axe des z.
La section méridienne, faite par le plan des x, z dans la surface de révolution que représente la formule (129), a pour équation
Or on peut obtenir directement l'équation (i3i); et, pour y parvenir, il suffit évidemment d'éliminer les deux variables x, z entre les formules
et
ou
L'équation (i3i) étant ainsi trouvée, on en déduira immédiatement la formule (129), en remplaçant x par (x--4- r^)^
(Concevons à présent que le système proposé n'offre plus la même élasticité en tous sens autour de l'axe des z, mais seulement trois axes d'élasticité rectangulaires entre eux. Si l'on admet en outre que les pressions soient nulles dans l'état naturel, la fonction F(a, b, c, s) sera déterminée par la formule (lo), jointe aux équations (36), (38) du § I, c'est-à-dire, en d'autres termes, par la formule
^F{a, b,c, s)= {La'- -\- Rb'-h Qc'— s'-) {na'-^Mb'--[- Pc'— s') {Qa'--h V b'--^^c'— s') (i35) -^P^b^c^{La''-i-Rb^ +- Qc'- — s^)— /iQ'-c^a^Ra^ + Mb^-}- Pc^—s^)
[ — 4R2«2^,2(Q^2^p^2^IVç2„^2) -^lePQRa^b^cK
Gela posé, la formule (i i) deviendra
/ {La^ + ï{b'--hQc^ — s^){Y{a'--^-Mb^-{- Pc^— s^) {Qa--\-Pb'--i-'Sc'' — s-') (i3G) . — 4P2 62c2(Ltt-+R62+Qc- — 52) — 4Q2c'-a2(R«2 + M62+Pc2— 5^)
( —\l\''a'-b\Qa^ + Pb^-^'\c^—s^) + i6PQ[{a-b'C^=o.
Si, dans cette dernière, on fait successivement « = o, b = o, c = o, on obtiendra les trois suivantes
(187) (R62+Qc2 — 5-)[(M6^-+-Pc2 — 52)(Nc* + P6' — 5') — 4P»62cï] — o, (i38) (Pc2 +Ra2 — 5^) [(Ne" 4-Q«-— 5'-)(La2 + Qc2 — 5^) — /iQ'-c2a«] = o, (139) (Qa^-t- Pb^— s'')[{La'- -hRb'— s^){Mb'+na'— s-)- lil{-a'-b^] = o,
qui détermineront les vitesses de propagation des ondes renfermées entre des plans perpendiculaires à l'axe des ce, ou à l'axe des j, ou à l'axe des z. Soient d'ailleurs
l'une des valeurs de s- déduites de la formule (i36), et ^(a,b,c), X(a,b,c), W(a,b,c) les demi-dérivées de §{a,b,c) prises par rapport aux trois quantités a, b, c. On vérifiera les équations (137), (i38), (139) en posant successivement
(i/io) s'=ê{o,b,c),
et les plans qui diviseront en parties égales les épaisseurs des ondes dont les vitesses de propagation seront déterminées par la formule (i4o) ou (i4i) ou (142), toucheront, au bout du temps t, la surface cylindrique dont l'équation sera produite par l'élimination de y et z, ou de z et x, ou de x et y entre les formules
ou
ou
i,fK\ ri -i, \ ^(x,.y,o) X(x,y,o)
D'ailleurs, la fonction homogène •f(x, y, z) étant de degré pair, et les fonctions dérivées 2$(x,y,z), 2X(x,y,z;, 2^'(x, y, z) de degré impair, les valeurs de x, y, z tirées des formules (i43), (i44), (i45) changeront de signe avec x, y, z. Il en résulte que, avant d'effectuer l'élimination dont il s'agit, on pourra remplacer le double signe ± par le signe +, et réduire les formules (i43), (f44)» (i45) à celles qui suivent :
J'ajoute que les surfaces cylindriques dont les équations seront produites par l'élimination de y et z, ou de z et x, ou de x et y, entre les formules {il\^), ou (147)» ou (i4B), couperont les plans coordonnés suivant des courbes comprises dans la surface des ondes, c'est-à-dire dans la surface (i5). En effet, pour obtenir les sections faites dans cette dernière surface par le plan des y, z, il faudra éliminer x, y, z entre les formules (3o) et (S;), après avoir posé dans la première des formules (37)^7 = 0. D'ailleurs, si l'on difîerentie, par rapport à la
quantité a, l'équation (i3G), après y avoir remplacé s'^ par j(«, b, c), on obtiendra la formule
[La — <t(a, b,c)] [Ra — 0(a, Z/,c)| [Qa-(i»{a,h,c)\
4- i[Q«'-T- P^- + Nc^— J'(a, b, c)] [La'- + Kb'-+- Qc'- — ^{a, b,c)]— ^Q^c'-a^\ + i[La^+ R^;2 + Qc^— ^{a, b, c)] [lia^-^Mb'-h Pc^ — S {a, b, c)] — 4R'«'^'Î — 4a 1 Q2c'-[Ra2-f- M6^+ Pc^ — É{a, 6, c)] + R^ ^^ [Q a^-i- P 6^ + Nc^— ^{a, b, c)] — 4 PQR ^-c^ ; = o.
dont l'inspection suffît pour montrer qu'on vérifiera l'équation
en prenant « = o, et par conséquent l'équation
(i49) *(x,y, z)=:j;=ro,
en prenant
Or, en vertu de la formule (i5o), l'équation (3o) et les deux dernières des équations (37) se réduiront aux formules (i46). Donc les sections faites par le plan des y, z dans la première des surfaces cylindriques ci-dessus mentionnées appartiendront en même temps à la surface des ondes; et il est clair qu'on pourra en dire autant des sections faites dans la seconde surface cylindrique par le plan des z, x, ou dans la troisième par le plan des x, y. En d'autres termes, les courbes qui, dans les trois plans coordonnés, seront représentées par les équations résultantes de l'élimination de y et z entre les formules (146), ou de z et X entre les formules (147)» ou de x et y entre les formules (i48), appartiendront à la surface des ondes. Il reste ii savoir de q.uelle nature sont ces mêmes courbes. C'est ce que nous allons maintenant examiner.
L'équation (137) se décompose en deux autres, savoir
(i5i) 5*=R^*4-Qcî
et
(l52) (M/>^-hP6--^-55)(Nc'-f-P^-— 5^) — /4P=^2c-=:0.
Ajoutons que l'équation (i'j2) pourra être présentée sous la forme
ou sous la suivante
(i53) [P(Z>^+c2)-5^][M62+Nc2-52] + [(M-P)(N-P)-4P2]è2c^r=o,
et sera elle-même décomposable en deux autres, savoir
(i55) s'-=Mb^ -+-^c\
si les coefficients P, M, N vérifient la condition
Alors, en prenant successivement pour ^'(o, b, c) les valeurs de s'^ déterminées par les formules (i54), (i5i) et (t55), on tirera des formules (i46)
et ces trois dernières équations représenteront trois sections faites dans la surface des ondes par le plan des j, z. Or ces trois sections seront évidemment un cercle et deux ellipses. De même, en supposant que les coefficients Q, N, L vérifient la condition
('^o) (N-Q)(L-Q) = 4QS
on déduira des formules (i38) et (147) les trois équations
propres à représenter un cercle et deux ellipses suivant lesquelles la surface des ondes sera coupée par le plan des z, ce. Enfin, en supposant que les coefficients R, L, M vérifient la condition
(i64) (L-R)(M-R) = 4RS
on déduira des formules (139) et (i48) les trois équations
propres à représenter un cercle et deux ellipses suivant lesquelles la surface des ondes sera coupée par le plan des x, y.
Lorsque l'élasticité du système est la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des z, on a
et des trois conditions (i56), (iGo), (164) les deux premières coïncident avec la formule (80), tandis que la dernière se trouve satisfaite d'elle-même. Ces trois conditions se transformeraient en trois équations identiques, si l'élasticité du système était la même en tous sens autour d'un point quelconque.
Les conditions (i56), (160), (164) étant supposées remplies, on pourra présenter l'équation (i36) sous une forme qui mérite d'être remarquée. En effet, comme on a généralement
La"- 4- R62 i Qc»= La2+ M^^ + Ne*— (M - \\)b'- - (N - Q)c\ Ra2 + M6^+ Pcî=:La2-i-M62^Nc2- (N — l>)c'- — (L - K)a\ Qa* + P62 + Nc* = La2+MZ/^-f-Nc2— (L — Q)a2-(M- V)b\
on tirera d(! l'équation (i36), en développant son premier niembre suivant les puissances de
La»-+-M^>2 4-Nc*-5»
et en ayant égard aux conditions (i56), (i6o ), (1G4),
-[(2L — Q-R)«2+(2M — R — P)6^4-(2N-P-Q)c2](La'-+M62+Nc5-.95)2
+ [i6PQR-(L-Q)(M-R)(N-P)-(L-R)(M-P)(N-Q)]a^^^c^rr:o.
De plus, on aura évidemment
La^ + M^^^^Nc^ — 52— [(2L — 0-R)«^+(2M — R-P)^>2+(2N p Q)c2]
==:(Q + R)a-+(R-hP)^2+(P-hQ)c^-52— (La2+Mè-+Nc^),
(170) \ -i-[(N-Q)(L-R)«2+(N-P)(M-R)6'-H-(N P)(N-Q)cMc2
=:(La2+M^= + Nc^-)'-[(Q+R)«'+(K + P)^'4-(P + Q)c^](La2 + M^2+Nf-) + (QRa-+RP62+PQc^)(a2+è2+c2),
et par suite
(LaM-M62+Nc^-.ç2)^-[(2L-0-R)a'-+(2M— R-P)^'-+(2N-P-Q)c2](La^+M62 + Xcî— .S-) + [(L-Q)(L-R)a^+(L-R)(M-P)Z;2-{-(L-Q)(N-P)c=]«2 + [(M — R)(L — Q)a'+(M-R)(M-P)^>2+(^J-P)(N-Q)c2]//- + [(N - Q) (L - R)a^+ (N - P) (M - R)Z>M- (N - P) (N - Q)c^-]c-' = s''— 1(Q + R)a-+ (R + P)Z>2+ (P + Q)c2]5^+ (0R«^+ RP6^4- PQc'-) (aM- 6^4- c').
Donc l'équation (i36) ou (168) pourra être réduite à
\ (L«-+ M^-4- jNc-— 5-) '
(171) • i -\-{QRa^-^l\Pb'--hPQc-){a'-+b''+c'-) \
I + [16PQR - (L - 0) (M - R) (N - P) - (L — R) (M - P) (N - Q)]a'b'-c'- = o.
Lorsque les coefficients L, j\l, N, P, Q, R vérifient, non seulement les conditions (i56), (160), (164), mais encore la suivante
(172) (L - Q) (M - R) (N - P) 4- (-L- R) (M — P) (N - Q) = 16PQR,
A L A T II È 0 W \li 1 ) 1<: L A L U M I K H E
l'équalion (171) se (lécomposc en doux autres, savoir
(1-3) s-^zLa^-^-Mb'+'Sc'
ot
( + (QR«- -^ RP^M- PQc^) (rt^+ ^;î 4- c^) = 0.
Par suite, l'uue des trois nappes de la surface des ondes coïncide avec rellipsoïde auquel appartient Féquation
